Головна

Математика для загального блага

  1.  I. Загальнодержавні норми і правила з ОП
  2.  II. Вимоги до результатів освоєння основної освітньої програми основної загальної освіти
  3.  III. Вимоги до структури основної освітньої програми основної загальної освіти
  4.  IV. Вимоги до умов реалізації основної освітньої програми основної загальної освіти
  5.  V. Основні проблеми і завдання загального мовознавства.
  6.  Агрегатна форма загального індексу
  7.  Агрегатний індекс як форма загального індексу. Вибір ваг при побудові загальних індексів. Індекси цін Г. Пааше і Е. Ласпейреса, їх практичне застосування.

Шістнадцяте століття в Європі відзначений обіцянкою нескінченних можливостей. У попередні два століття континент стрясали різними лихами, як природними, так і створеними руками людини: в середині чотирнадцятого століття Чорна смерть викосила фактично половину населення, не звертаючи уваги на соціальний статус і багатство, закінчилася Столітня війна між Англією і Францією, вимотати населення цих двох країн і фізично, і морально. У 1453 році за ударами оттоманських турків упав Константинополь, що стало кінцем Візантійської імперії. Одночасно ми можемо побачити розквіт італійського Ренесансу і гуманістичних традицій, поєднання поваги до античності з зновувідкритої вірою в особисту свободу і освіту. Винахід друку і гравюри означало, що нові ідеї могли поширюватися ширше, ніж було можливо до цього. Європа з інтересом дивилася на решту світу, збільшувалася кількість заморських подорожей, відкриттів, завоювань, розширювалася торгівля. Але навігація вимагала точних карт морів і неба, торгівля потребувала ефективної бухгалтерії - в той час все це було практично не розвинене. Алгебра, тригонометрія, нарисна геометрія, логарифми та обчислення - все це або з'явилося вперше, або активно розвивалося. Перш ніж повести розповідь про ці досягнення, варто сказати про зростаючий в той час статус математики.

Як ми вже бачили раніше, математика була невід'ємною частиною навчання в монастирях, вона входила в квадрівіум, що складається з арифметики, геометрії, гармонії і астрономії. Але рабське повагу до давніх текстів і тісні межі вимог до математики духовної влади обмежувало те, що можна було досягти в рамках цієї схоластичної традиції. Термін «mathematicus» використовувався для того, щоб позначити або математика, або астролога (Кеплер скаржився, що отримував набагато більший дохід від обчислення астрологічних діаграм, ніж від своєї роботи астронома). Хоча в той час не було поки такого явища, як професійний математик, економічне зростання в Європі створив потребу у великій кількості людей, навчених обчислень, які могли займатися фінансовими і комерційними розрахунками. Ці посади займали люди не з університетів, а з гільдій і ремісничих цехів. В епоху Ренесансу сини торговців здобували освіту, вивчаючи елементарну математику в школах або цехах. Саме там стало дуже популярним використання індо-арабських цифр.

Нові числа прийшли в Європу в дванадцятому столітті разом з перекладами на латину з арабських текстів. У 1202 році побачила світ «Книга аббака» (Liber abbaci ) Леонардо Пізанського (бл. 1170 - бл. 1250), відомого також як Фібоначчі. Тепер цю книгу вважають поворотною віхою в історії математики, але в той час вона була набагато менш популярною, ніж достатньо проста книга «Алгоритм» математика і астронома Джона Голівуд (Халіфакс) (бл. 1 195 - ок. 1256), більш відомого як Сакробоско. Назва Liber abbaci, на жаль, швидше за вводить в оману. термін abbacus, з двома b, відноситься до методів обчислення, в яких використовуються нові цифри, і не має ніякого відношення до обчислювальному пристрою, відомому як «абака». Дійсно, існувала конкуренція між прихильниками двох форм обчислення, і краще використовувати термін «алгоритмісти» для того, хто використовував техніку abbacus, і «майстер абаки» для позначення людини, який все ще вважав за краще абаку або лічильну дошку. Математика, досвідченого у використанні техніки abbacus, називали maestro d'abbaco - «Майстром аббака».

У «Книзі аббака» Фібоначчі відвів значне місце комерційної математики. У міжнародній торгівлі комерсантам доводилося мати справу з безліччю різних систем мір і ваг, здійснювати угоди в різних валютах, і їм потрібні були ефективні методи обчислень, щоб уникнути серйозних помилок. У 1494 році Лука Пачолі видав свою працю «Сума арифметики, геометрії, вчення про пропорції і відношення», нині відомий як перша робота про методи бухгалтерії, наприклад про подвійну бухгалтерію [9], але це також був звід корисних математичних методів того періоду, включаючи прийоми з області арифметики, алгебри і геометрії. За шістнадцять років до цього, в 1478 році, в Тревізо був анонімно надрукований найраніший підручник з арифметики. У той час нотація була все ще нестійкою, дробу і раніше записувалися в Шістдесяткова нотації або у вигляді дрібних одиниць. В шістнадцятому столітті стали популярні десяткові дроби, хоча шістдесяткова запис збереглася в астрономічних обчисленнях, а Джон Непер [10] зробив популярною десяткову точку.

Виникла тенденція писати підручники з математики на місцевій мові, а не на латині, що робило їх більш доступними для звичайних людей, хоча одночасно перешкоджало їх поширенню внаслідок мовних бар'єрів. Німецький математик, видатний учитель арифметики Адам Різе (1492-1559) вплинув на поширення індо-арабських цифр на територіях, де говорили на німецькій мові. Уельський лікар і математик Роберт Рекорд (бл. 1510-1558) був, мабуть, першим популяризатором математики. Він написав найраніші підручники з математики англійською мовою, і його робота «Основа мистецтв» (бл. 1540), присвячена арифметиці, перевидавалася більше ста п'ятдесяти років. Більшість книг Рекорда були написані у формі діалогу, в них входили схеми і приклади, які допомагали йому в педагогічній діяльності, - в якомусь сенсі він був першим ведучим першого в історії курсу «дистанційного навчання». Найбільш відома його робота - книга «Точильний камінь мудрості» (1 557). Це підручник з елементарної алгебрі, в якому ми знаходимо перше використання = - знака рівності.

Як торговці сідають на кораблі, щоб знайти величезні багатства,

Так і я міг би з повним правом на встати на їх місце. Кораблі в морі, ті, що з вітрилами і дорогоцінної рудою,

Були вперше створені і з тих пір робляться

завдяки знанням у практичній геометрії. Їх компас, їх карти, їх блоки, їх якоря Були створені за допомогою практичних навичок мудрих геометрів.

Теслі, різьбярі по каменю, столяри і муляри, Художники, ілюстратори рукописів, якщо вже вони цим займаються,

Вишивальниці, золотих справ майстри, якщо вони хочуть бути вправні в своїх ремеслах,

Повинні застосовувати геометрію при навчанні майстерності.

Хороші і точні карти, а також межі між полями Можна зробити тільки з використанням геометрії.

І вона також потрібна Портним і взуттьовикам, що б вони не робили,

Їх роботу не похвалять, а то й дотримані правильні пропорції.

Ткачі використовують геометрію при створенні тканин, Їх ткацький верстат - пристрій, створене дивним уявою.

Гончарний круг, який обертається, жорно, який обертається,

Млин, що меле зерно, що приводиться в дію вітром або водою, -

Їх робота стала можливою завдяки геометричним розрахункам.

Мало хто змогли б зробити такі ж пристрої, якби ці ще не були винайдені.

І все, що вимагає для виготовлення вимірювань ваги або розмірів,

Не може бути надійно зроблено без знання геометрії.

Годинники, що вимірюють час, - це саме хитромудрий пристрій З усіх, що коли-небудь вивідав людина.

Тепер, коли вони стали звичайними, їх не цінують, на майстерність годинникаря дивляться зверхньо, ??його робота не винагороджується.

Але оскільки вони були створені за допомогою геометрії, то люди повинні знати:

Ні мистецтва більш дивовижного і мудрого, а також більш потрібного людям, ніж добра геометрія.

Роберт Рекорд, з книги «Шлях до знання» (1551)[11]

У цьому вірші ми можемо виявити два протилежні погляди на математику, що збереглися і в більш пізній час: математика як прикладна наука і як дослідження, здійснюване органами почуттів. Рекорд завжди залишався вірним пошуку істини, незважаючи ні на які авторитети. Він вважав математику шляхетним мистецтвом, покликаним шукати і відкривати справжні знання. Мабуть, таке ставлення до науки поділяли не всі, тому що, хоча він займав пост керівника Королівського монетного двору і був до того ж Генеральним контролером шахт і грошового обігу в Ірландії, Рекорд провів останні дні свого життя у в'язниці, швидше за все, в внаслідок політичного доносу.

У сучасника і колеги Рекорда, Джона Ді (1527-1609), була схожа успішна кар'єра, котра закінчилася не менше запаморочливим падінням. Вони обидва були консультантами в Московській компанії, де займалися питаннями навігації і картографії. 1577 року Ді опублікував книгу «Мистецтво навігації». Але найбільше його займали окультні науки, на які в Єлизавету епоху був спрямований основний науковий інтерес з огляду на поширення неоплатонических традицій Ренесансу. Ді вивчав каббалу і алхімію. Він займав пост Королівського астролога при королеві Єлизаветі I, становив гороскопи і давав поради щодо календарних реформ. Але, внаслідок його репутації при дворі, він одночасно викликав захоплене захоплення і страх, і, хоча він був радником Єлизавети з тих часів, коли вона ще не була королевою, Ді розумів, що його вороги не дрімають. Він часто відчував необхідність публічного захисту, старанно доводячи всім, що його дослідження спрямовані на користь держави. Дійсно, після повернення з подорожей по Європі йому обіцяли пенсію, але він так ніколи і не отримав її і помер в бідності в 1608 році. У передмові до «Початкам» Евкліда в перекладі Генрі Биллингсли, який пізніше став лорд-мером Лондона, Ді проголосив неоціненне значення математики. Ця книга була першим академічним випуском «Почав» англійською мовою, і, ймовірно, її відредагував сам Ді.

Джон Непер не була професійним математиком, а багатим поміщиком, шотландським бароном (восьмим Лерд Мерчістона), і більшу частину життя займався управлінням своїм маєтком. Однак він знаходив час і для того, щоб писати праці на найрізноманітніші теми, і навіть був втягнутий в антипапські богословські дебати. Хоча на той час вже активно використовувалися індо-арабські цифри, проте обчислення виконувалися за допомогою ручки і паперу, і люди шукали способи прискорити часом дуже довгі процедури обчислень. Непером приписують два винаходи, які дуже полегшили обчислення, - кістки Непера і логарифми. Кістки Непера, також відомі як палички Непера, - це ті, що були на яких були вирізані таблиці множення. Вони могли бути розкладені у вигляді решітки так, щоб можна було швидко зробити будь громіздке множення. Палички, по суті, перетворювали довге множення в прості складання. Винахід логарифмів також було навіяно пекучим бажанням прискорити обчислення. Сам термін був придуманий Непером і являє собою злиття слів logos ( «слово, пропорція») і arithmos ( «число»). Багатьох математиків вражали взаємини між арифметичними і геометричними рядами і те, що обчислення добутку двох ступенів може бути скорочено до обчислення суми ступенів. Відкриття Непера полягало в тому, що воно могло ставитися до будь-яких ступенях, і він склав таблицю логарифмів Непера, яка була опублікована в 1614 році в його книзі «Опис дивовижної таблиці логарифмів» (латинською мовою).

У вихідному міркуванні він не використовує підставу системи числення: замість цього він ділить числову вісь до 107, Отримуючи частини, які дають цілком задовільний результат для більшості обчислень. Потім він визначив відношення: N = 107 (0,9 999 999) L, де L - логарифм N. При цьому логарифм 107 = 0, логарифм 9 999 999 = 1. Проміжні значення варіюються від 0 до 1. У його таблицях описані швидше логарифми тригонометричних функцій, ніж натуральних чисел, що відображає дратували його проблеми з нудними обчисленнями, необхідними в астрономії і навігації. Одним з великих шанувальників Непера був Генрі Бріггс, перший савільянскій професор геометрії в Оксфорді (інакше кажучи, перший професор Савільянской кафедри геометрії, заснованої в Оксфордському університеті у 1619 році). Вони обидва прийшли до висновку, що можна побудувати більш практичну таблицю, задавши відповідність log 1 = 0 і log 10 = 1. Але в 1617 році Непер помер, і саме Бріггсу випало скласти першу таблицю логарифмів з основою 10, яка служить основою для тієї таблиці , що ми знаємо тепер. Ця таблиця була складена для чисел від 1 до 1000; в 1624 році Бріггс розширив її до 100 000. Обидва набору логарифмів були обчислені до 14 десяткових знаків. Перевага наявності фіксованого підстави полягало в тому, що видалення з обчислень множника 107 продемонструвало фундаментальне правило логарифмів - логарифм добутку двох чисел дорівнює сумі окремих логарифмів. Сьогоднішні калькулятори зробили непотрібними таблиці логарифмів, тригонометричних функцій і зворотних чисел, так само як і логарифмічні лінійки, але в той час таблиці Бріггса вважалися чудовим побутовим приладом, істотно прискорює і полегшує обчислення. Штурмани на кораблях, які повинні були постійно вираховувати синуси і косинуси, побачили, що звична для них завдання множення двох семизначних чисел скоротилася до звернення до логарифмам, виконання одного складання, а потім повторного звернення до таблиці, де зворотний логарифм дасть необхідний відповідь. Перш, коли обчислення могло зайняти цілу годину, отриману відповідь на цілу годину відрізнявся від положення корабля зараз. Тепер обчислення скоротилися всього до кількох хвилин.

Френсіс Бекон (1561-1626) не був ні математиком, ні вченим і все ж, як і Платон, мав величезний вплив на філософію науки. За часів панування королеви Єлизавети він був членом палати громад і одним з радників королеви, хоча без відповідних повноважень. Його кар'єра різко пішла в гору після вступу на престол короля Якова I. Він послідовно займав ряд досить впливових постів. Найзначнішим його кар'єрним досягненням було отримання в 1618 році поста лорд-канцлера. За часів, коли заступництво і роздача посад своїм людям були зовсім звичайним явищем, здається дивним, що в 1621 році Бекона притягли до відповідальності за хабарництво. Незважаючи на це, Яків I продовжував платити йому пенсію, і відставка, схоже, більше вдарила по гордості Бекона, ніж по його кишені. Його публікації ініціювали процес, завдяки якому натурфілософія стала важливою темою як для уряду, так і для Корони. Його праці «Про гідність та примноження наук» (1605) і «Велике відновлення наук. Новий Органон »(1620) були присвячені Якову I і служили закликом до короля стати покровителем науки. Праці Бекона вплинули на більш пізніх вчених начебто Ньютона і Галлея, яким приписується честь бути англійською наріжним каменем наукової революції, духовною основою створення Королівського товариства. Його положення також означало, що наука отримала потужного захисника з політичним і фінансовим впливом. Знання було силою, і наука стала цінуватися як двигун до подальшого процвітання, до Загального Блага, уявлення про який Бекон ввів в своїй праці «Новий органон». Погляди Бекона на математику були надмірно прагматичними - він вважав математику мовою науки і інструментом, що знаходяться в її розпорядженні. Але він також володів достатньою скромністю і передбаченням, передбачивши, що математика - не статична дисципліна і напевно будуть виникати нові гілки цієї науки. Використання математики торговцями, навігаторами і вченими вважалося зримою допомогою для створення більшого багатства нації. Розвиток математики більше не було турботою всього лише кількох вчених, це був сполох, який почули практично всі.

Якщо починати знайомити дитя з числами з тієї

хвилини, коли воно лише пробує лепетати,

це, можливо, не збагатить держава, окремого

людини або дитини,

але послужить поповненню скарбнички мудрості всього

людства.

Числа є всюди - від найважливіших діянь

до дрібних справ,

Так що той, у кого немає навичок рахунку, може бути

уподібнений тварині:

Адже що може бути більш скотоподібної,

ніж небажання людей

Вивчати мистецтво, яке має допомогти їм

набагато перевершити всіх інших тварюк.

Невміння вважати відкидає людину до його

початкового стану.

Уміння рахувати - це (майже) все, що відокремлює

людини від тварини,

Кожному чоловікові необхідно навчитися рахувати.

Потрібно осягнути це мистецтво,

Якщо ти вирішив стати військовим або тебе чекають

при дворі,

На службі або в селі, де ти живеш, або

якщо ти вирішив

присвятити дні свого життя фізиці, філософії або

вивчення законів,

Знаю я, що без цього мистецтва ти ніколи

не зможеш домогтися успіху.

Я не сказав ще про астрономію, а також про геометрію,

космографії, географії та багато іншого,

Про музику з її приємними мелодіями, тобто

про все, що, не вивчивши мистецтво рахунку,

Ти ніколи не зможеш осягнути ні повністю,

ні навіть частково.

Не знаючи чисел, ти не зможеш також бути аудитором

або зробити правильні спостереження,

Провести правильні підрахунки.

Якщо ти хочеш бути торговцем, що не розлучався

з цією книгою,

І ти знайдеш в ній необхідні тобі правила,

будь-які, які тільки побажаєш.

Якщо ти всього лише ремісник, навіть тоді ти

знайдеш тут такі речі,

Які послужать тобі добру службу і збагатять

твій розум.

Навіть якщо ти пастух, тобі буде досить важко

Виконувати свої обов'язки без допомоги чисел.

Щоб перелічити всі вигоди, які числа

приносять людині,

тут довелося б витратити дуже багато місця,

набагато більше, ніж я можу зробити.

Ось чому я говорю тільки одне і відкидаю всі

інше:

без цього мистецтва людина - не людина,

а кам'яний валун.

Томас Хіллес.

Мистецтво звичайної арифметики (одна тисяча п'ятсот дев'яносто дві)[12]

 




 Річард Манкевич |  вступ |  Початок початків |  охоронці неба |  теорема Піфагора |  Десять книг рахункового канону |  математичні сутри |  будинок Мудрості |  Сім вільних наук і мистецтв |  Всесвіт як годинниковий механізм |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати