Головна

Десять книг рахункового канону

  1.  За десять хвилин до (хвилин) три (години) - за десять (хвилин) третя (година)
  2.  Глава 9. Я голодую по сім-десять днів, чотири рази на рік
  3.  Десять днів в Москві
  4.  Десять років, збережені для життя
  5.  ДЕСЯТЬ звичайних СКАРГ, ЯКІ ЛЕГКО витлумачити НЕПРАВИЛЬНО
  6.  Десять відмінностей великих знавців людей.

Спочатку китайська цивілізація розвивалася по берегах річок Янцзи (Довга) і Хуанхе (Жовта) за часів легендарної династії Ся у другому тисячолітті до нашої ери. Династія Чан правила приблизно з 1520 по 1030 рік до нашої ери, після чого її витіснили загарбники Чжоу, які до восьмого століття до нашої ери почали поступово втрачати владу. Потім, приблизно з 400 по 200 рік до нашої ери, імперія перетворилася в роздроблену плутанину ворогуючих держав. Саме до цього періоду, відомому як Період Воюючих царств, відноситься перший чисто математичний текст «Чжоу бі суань цзин» ( «Канон розрахунку чжоуського / всеохватного гномона»). То був час Конфуція, одного з численних вчених-перипатетиків, які вели небезпечну життя радників при невеликих правителях. За часів возз'єднання Китаю при імператорі Цинь Шихуанді сталося як об'єднання розрізнених оборонних стін у Велику Китайську стіну, так і безпричинне спалювання книг. При наступній династії Хань (200 до н. Е. - 200 н. Е.) Вчені шукали рукописи, уникли знищення, і нерідко відновлювали тексти по пам'яті. До цього періоду відносяться як важливий математичний текст «Цзю чжан суань шу» ( «Правила рахунки / методи обчислень в дев'яти розділах» / «Дев'ять глав про математичному мистецтві»), так і коментарі до «Канону розрахунку чжоуського / всеохватного гномона». Наступний значний текст з'явився в сьомому столітті нашої ери, коли за часів династії Сунь (581-618) і династії Тан (618-907) була проведена освітня реформа, в результаті якої математика стала викладатися в «Школі для синів держави». Там використовувався підручник, який носив назву «Суань цзин ши шу» ( «Десять книг рахункового канону» / «Математичне десятікніжіе») - компіляція найбільш значних робіт, відомих в той час. У нього входили «Канон розрахунку чжоуського / всеохватного гномона» і «Дев'ять глав». Цей підручник вважався важливим навчальним посібником протягом багатьох століть. У сьомому столітті був здійснений найбільший інженерний подвиг - дві найбільші річки Китаю були з'єднані Великим каналом. Зрештою люди повстали проти тягот, які принесло їм будівництво цього каналу, і яка проіснувала зовсім недовго династія Сунь поступилася місцем династії Тан. Столиця імперії Тан - місто Чанань (сучасний Сіань) - стала інтелектуальним мостом між Китаєм і Середньою Азією, граючи ту ж роль, що і інший великий космополітичний місто, розташоване набагато західніше, - Багдад. У період трьохсотлітнього правління династії Тан відбулося винахід друкарства і пороху. Наша екскурсія закінчується династією Цзінь, яка проіснувала до 1234 року. Зараз ми розглянемо «Дев'ять глав про математичному мистецтві».

Інтерес китайців до магічних квадратах, схоже, більше пов'язаний з прогнозами, ніж з математикою. Легенда свідчить, що імператор Юй, що правив в третьому тисячолітті до нашої ери, став володарем двох важливих діаграм на нефритових пластинках. Одну він отримав від чарівного дракона-коня, який піднявся з Хуанхе, а іншу імператор вийняв з панцира черепахи, знайденої в річці Лохе - правій притоці Хуанхе. Перші ілюстрації чарівного хреста і квадрата відносяться до десятого століття, і аж до тринадцятого століття ніякі магічні квадрати розміром більше 3 x 3 не обговорювалися. До цього часу згадки про передбачувані магічні властивості квадратів вже припинилися, а математик Ян Хуей сконцентрувався на числових властивості різноманітних числових квадратів і кіл. Починаючи з дев'ятого століття властивості магічних квадратів вивчали арабські математики, і недавно в Сіані був знайдений арабська магічний квадрат, що відноситься до періоду монгольського завоювання Китаю (1279-1368).

«Дев'ять глав» - найважливіша праця китайської математики. Зараз майже неможливо виокремити оригінал з маси пізніших коментарів. Коментатор третього століття нашої ери Лю Хуей заявляє, що в його час робота була в значній мірі переписана, був включений новий матеріал і викинуті деякі непотрібні розділи. Найраніша збережена версія тексту датується тринадцятим століттям, але це тільки частина книги; найповніший текст відноситься до вісімнадцятого сторіччя. Це дуже схоже на брак оригінальних грецьких текстів, хоча в даному випадку проміжок між повторами і оригіналами, які, як стверджується, він відображає, набагато довше. «Дев'ять глав» містять 246 завдань. Кожен розділ починається із заявленою завдання, після чого наводиться числовий відповідь і метод, що дозволяє отримати рішення. Чи не наводяться ніякі логічні пояснення або докази. Велика частина книги складається з практичних обчислювальних задач, на кшталт розподілу землі, поділу товарів і управління великомасштабними будівельними роботами. В даному випадку ми розглянемо методи вилучення квадратних коренів і рішення рівнянь.

Обчислення проводилися шляхом викладання рахункових паличок на лічильної дошці. Іноді лічильна дошка виконувалася у вигляді спеціальної сітки, але в деяких текстах згадується, що для підрахунків могла використовуватися будь-яка поверхня. Головне - правильно викласти палички під час обчислення, що дозволяє відновлювати перерване обчислення з того місця, де воно було перервано, що особливо важливо при тривалих розрахунках. Відповіді записувалися відразу ж після того, як вони з'являлися на лічильної дошці. Що виходить зображення числа паличками за своїм характером відноситься до десятковій системі числення, але цифри з 1 до 9 будуються за допомогою додавання - вертикальні палички позначали кожну одиницю, а горизонтальна паличка позначала 5. В деяких джерелах наводяться ілюстрації, на яких напрямок паличок змінюється, але паличка , що позначала 5, завжди була перпендикулярна одиницям - це, без сумніву, візуально полегшувало процес рахунку і прискорювало обчислення. Використання спеціального символу для 5 перенесено на абаку, яка, схоже, не стала загальноприйнятим інструментом рахунки аж до шістнадцятого століття. Як і вавилоняни, китайці, мабуть, не мали особливого символу для позначення нуля. При розкладанні рахункових паличок, там, де повинен бути нуль, залишали порожнє місце, але це, схоже, не фіксувалося під час запису відповіді, і тільки з контексту можна було зрозуміти, чи була відповідь, скажімо, 18, 108 або 1800. Є письмове свідчення - китайський переклад індійського тексту, - що у восьмому столітті в якості нуля використовувався пункт. Круглий нуль з'явився набагато пізніше, в тринадцятому столітті, так само як і «квадратний» нуль, легко виходить при роботі з рахунковими паличками.

Витяг квадратного і кубічного коренів починається з визначення порядку величини кореня шляхом огляду, і потім по черзі обчислюється кожна цифра. У прикладі з «Дев'яти глав» обчислюється квадратний корінь з 71 824. Легко зрозуміти, що значення квадратного кореня знаходиться між 200 і 300, і тому ясно, що це число з трьох знаків - abc - де а дорівнює 2. Таким чином, завдання полягає в тому, щоб обчислити значення b і с. Пояснення процедури обчислення, згідно Лю Хуею, виходить з геометрії. Квадрат аналізується специфічним способом. Встановивши, що корінь більше 200, ми видаляємо зі схеми квадрат 200 х 200, залишаючи L-подібну форму, звану «гномоном». Потім ми знаходимо максимальне значення десятків, яке вписується в гномон. Це число 60, і в результаті виникає наступне L-подібний гномон. Процес триває до тих пір, поки не буде отримано необхідну рішення. Якщо відповідь - не ціле число, процес або продовжується до отримання необхідної кількості десяткових значень, або залишок подається у вигляді дробу. Та ж сама техніка використовується для обчислення кубічного кореня - куб розчленовується аналогічним чином.

Ця геометрична техніка еквівалентна використанню біноміального розкладання, числові коефіцієнти якого можуть бути виражені тим, що зараз відомо як трикутник Паскаля. Цей алгебраїчний метод активно застосовувався в одинадцятому столітті і, можливо, ще раніше, дозволяючи китайцям обчислити корінь будь-n-го ступеня, який їм було потрібно. І знову неясно, чи був трикутник Паскаля отриманий з індійських джерел або відкритий самостійно. Кожен крок вилучення квадратного кореня вимагає рішення квадратного рівняння. Аналогічно вилучення коренів більш високого порядку, наприклад кубічного кореня, потребує вирішення рівнянь вищого порядку, або поліноміалов. Відповідно подібний метод міг використовуватися для того, щоб вирішити будь-яке поліноміал без застосування геометричної структури гномони. Як і в інших культурах, одного кореня було завжди достатньо, і ми не можемо сказати, чи знали китайці про те, що поліноміал міг мати кілька рішень. Рівняння не записувалися в термінах змінної воді «х», вони виражалися тільки в термінах числових коефіцієнтів, які викладалися на обчислювальної дошці. Схоже, китайців не цікавило, звичайно або нескінченно рішення, - алгоритм був однаково ефективний в обох випадках, і обчислення закінчувалося в той момент, коли досягалася необхідна точність.

У «Дев'ять глав» також входять завдання, що представляють собою системи лінійних рівнянь з більш ніж одним невідомим. Лю Хуей заявляє в своєму коментарі, що загальний метод важко пояснити без звернення до конкретного прикладу. У цьому методі коефіцієнти системи рівнянь представлені рахунковими паличками, розкладеними в вигляді матриці. Потім з числами виробляються певні маніпуляції, щоб усунути деякі з коефіцієнтів, залишаючи явні числові рішення. Це дуже схоже на сучасний метод, відомий як Гаусове виключення (по імені математика Карла Фрідріха Гаусса), але китайці не розвинули ідею до обчислення детермінанта матриці, так що, можливо, більш коректно розцінювати конфігурацію рахункових паличок не як матрицю, а як таблицю.

Є також важлива робота по невизначеним рівнянням, де існує кілька можливих відповідей - іноді нескінченне їх безліч. У книзі представлені два типи завдань: перша - завдання на залишок, друга відома як «завдання про сотні свійських птиць». Завдання про сотні домашніх птахів в самому різному вигляді зустрічається в самих різних куточках середньовічного світу - в європейських, арабських і індійських текстах. У «Десяти канонах» сказано, що півники стоять 5 цянь, курки - 3 цянь, а 3 курчати - 1 цянь. Якщо 100 птахів куплені за 100 цянь, скільки яких птахів було куплено? Наводяться три рішення. Одне з них - 4 півника, 18 курок і 78 курчат. (Є рішення з відсутнім елементом, коли можна купити 25 курок і 75 курчат, але жодного півня.) Ці відповіді правильні, але пояснення, схоже, невірне.

При описі завдання на залишок наводиться і результат, і загальний метод, але знову без пояснення. У цьому завданні, згідно з описом в «Дев'яти главах», набувається невідоме число предметів. Якщо порахувати їх по три, залишається дві штуки, якщо порахувати їх по п'ять штук, залишається три, а якщо вважати їх по сім штук, залишається два. Мета полягає в тому, щоб знайти число куплених предметів. Рішення швидше методологічне, ніж пояснювальний. В цілому для виконання завдання потрібно знайти найбільший спільний співмножник для чисел 3, 5 і 7. Дивно, але в наступний раз ця ж задача згадується тільки в тринадцятому столітті в роботі Цинь Цзюшао.

Цинь Цзюшао народився в місті Аньюе (нині в провінції Сичуань). Його батько обіймав безліч різних адміністративних посад, включаючи посаду заступника директора Двірцевій бібліотеки. Цинь Цзюшао вивчав астрономію в столиці, Ханчжоу, але в 1234 році вступив в армію, щоб протистояти монгольським загарбникам. Це були десять важких років. У 1244 році він повернувся і став «придворним чиновником з широкими повноваженнями» (це високий титул) в префектурі Цзянькан (нині Нанкін), проте в тому ж році Цинь Цзюшао віддалився від служби на три роки, щоб оплакати смерть матері. Ймовірно, саме в цей період він склав свою працю «Шу шу цзю чжан» ( «Дев'ять книг з математики»), структура якого нагадує «Десять канонів», але трохи складніше.

У «Шу шу цзю чжан» описуються методи вирішення завдань індивідуального порівняння і ряду одночасних порівнянь, як в разі завдання на залишок. Порівняння, можливо, краще відомі в формі модульної арифметики (арифметичні операції над абсолютними значеннями чисел). Рішення відповідають тому, що тепер відоме як китайська теорема залишку. Цинь Цзюшао стверджує, що він навчився цього методу в укладачів календарів, які працювали в Імператорському Астрономічному бюро в Ханчжоу, але там використовували правило, не розуміючи його. Це правило було виведено для того, щоб вирішити проблему зіставлення різних циклів на кшталт місячного місяця, сонячного року і штучного шістдесяткова циклу. Фактично навіть Гаусс, який знову відкрив метод п'ять століть потому, використовував для прикладу завдання з календарними циклами. Неясно, де Цинь Цзюшао насправді дізнався це правило. Справжнє новаторство першокласного математика полягає у виході за межі традиції коментарів. Він застосував давню китайську обчислювальну традицію для вирішення реальних проблем.

 




 Річард Манкевич |  вступ |  Початок початків |  охоронці неба |  будинок Мудрості |  Сім вільних наук і мистецтв |  Перспектива в епоху Відродження |  Математика для загального блага |  Одруження алгебри і геометрії |  Всесвіт як годинниковий механізм |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати