На головну

Визначення. Числа і називаються комплексно - сполученими.

  1.  N, n) -Розміщення без повторенійназиваются n-перестановками, або перестановками з n елементів.
  2.  А) Оксиди. Оксидами називаються складні речовини, що складаються з двох елементів, один з яких кисень.
  3.  Абсолютна величина (модуль) дійсного числа
  4.  Абсолютними цивільними правовідносинами називаються правовідносини, коли уповноваженій особі протистоїть ...
  5.  АКТУАЛЬНІСТЬ, ВИЗНАЧЕННЯ.
  6.  У 2009 році - громадянам, які стали інвалідами внаслідок впливу радіації, а також інвалідам з числа реабілітованих осіб.
  7.  У Росії сумарний коефіцієнт народжуваності опустився нижче критичної позначки (2,1) в 1964-1965 роках, але число народжених стало менше числа померлих тільки в 1992 році.

Визначення. Два комплексних числа и  називаються рівними, якщо відповідно рівні їх дійсні та уявні частини:

Визначення. Комплексне число дорівнює нулю, якщо відповідно дорівнюють нулю дійсна і уявна частини.

Поняття комплексного числа має геометричне тлумачення. Безліч комплексних чисел є розширенням безлічі дійсних чисел за рахунок включення безлічі уявних чисел. Комплексні числа включають в себе всі безлічі чисел, які вивчалися раніше. Так натуральні, цілі, раціональні, ірраціональні, дійсні числа є, взагалі кажучи, окремими випадками комплексних чисел.

Якщо будь-яка дійсна число може бути геометрично представлено у вигляді точки на числовій прямій, то комплексне число представляється точкою на площині, координатами якої будуть відповідно дійсна і уявна частини комплексного числа. При цьому горизонтальна вісь буде дійсною числовою віссю, а вертикальна - уявною віссю.

 
 


у

A (a, b)

r b

j

0 a x

Таким чином, на осі ОХ розташовуються дійсні числа, а на осі ОY - чисто уявні.

За допомогою подібного геометричного уявлення можна представляти числа у так званій тригонометричної формі.

Тригонометрична форма числа.

З геометричних міркувань видно, що  . Тоді комплексне число можна представити у вигляді:

Така форма запису називається тригонометричної формою записи комплексного числа.

При цьому величина r називається модулемкомплексного числа, а кут нахилу j -аргументомкомплексного числа.

.

З геометричних міркувань видно:

Очевидно, що комплексно - зв'язані числа мають однакові модулі і протилежні аргументи.

Дії з комплексними числами.

Основні дії з комплексними числами випливають з дій з многочленами.

1) Додавання і віднімання.

2) Множення.

У тригонометричної формі:

,

З разі комплексно - спряжених чисел:

3) Розподіл.

 У тригонометричної формі:

4) Зведення в ступінь.

З операції множення комплексних чисел слід, що

У загальному випадку отримаємо:

,

де n - ціле позитивне число.

Цей вислів називається формулою Муавра.

(Абрахам де Муавр (1667 - 1754) - англійський математик)

Формулу Муавра можна використовувати для знаходження тригонометричних функцій подвійного, потрійного і т. Д. Кутів.

Приклад. Знайти формули sin2j і cos2j.

Розглянемо деякий комплексне число

Тоді з одного боку .

За формулою Муавра:

Прирівнюючи, отримаємо

Т. к. Два комплексних числа рівні, якщо рівні їх дійсні та уявні частини, то

Отримали відомі формули подвійного кута.

5) Витяг кореня з комплексного числа.

Зводячи в ступінь, отримаємо:

Звідси:

Таким чином, корінь n - Го ступеня з комплексного числа має n різних значень.

Показова форма комплексного числа.

Розглянемо показову функцію

Можна показати, що функція w може бути записана у вигляді:

Дане рівність називається рівнянням Ейлера.Висновок цього рівняння буде розглянуто пізніше. (Див.).

Для комплексних чисел будуть справедливі такі властивості:

1)

2)

3)  де m - ціле число.

Якщо в рівнянні Ейлера показник ступеня прийняти за чисто уявне число (х = 0), То отримуємо:

Для комплексно - сполученого числа отримуємо:

З цих двох рівнянь отримуємо:

Цими формулами користуються для знаходження значень ступенів тригонометричних функцій через функції кратних кутів.

Якщо уявити комплексне число в тригонометричної формі:

і скористаємося формулою Ейлера:

Отримане рівність і є показова форма комплексного числа.

 



© um.co.ua - учбові матеріали та реферати