Головна |
ВСТУПВказівки до завдання. Завдання 4. пов'язана з діями над матрицями. Для вирішення цього завдання слід використовувати такі відомості: 1. Будь-яка система m · n, Розташованих у вигляді прямокутної таблиці, що містить m рядків і n стовпців, називається матрицею розміру m ? n і записується у вигляді: 2). матриця розміру m ? m (Кількість рядків дорівнює кількості стовпців) називається квадратною матрицею порядку m. 3). Діагональ квадратної матриці, що йде від лівого верхнього утла до правого нижнього, називається головною діагоналлю, а друга діагональ називається побічної. 4). Квадратна матриця, у якої на головній діагоналі стоять одиниці, а решта цифри нулі, називається одиничною матрицею n, позначається наступним чином: 5) Дві матриці однієї розмірності дорівнюють один одному, якщо рівні всі елементи цих матриць, які стоять на однакових місцях, т. Е. Якщо 6). твором матриці на число ? називається матриця Cm?n, Кожен елемент якого дорівнює добутку відповідного елемента матриці Am?n на число ?. 7). Сумою двох матриць однієї розмірності називається матриця Cm ? n тієї ж розмірності, кожен елемент якої дорівнює сумі відповідних елементів матриць Am?n и Bm?n , Т. Е. 8). Множення матриці на матрицю Нехай дано дві матриці Am?n и Bn?k, таких що число стовпців матриця А дорівнює числу рядків матриці В. Тоді твором матриць називається матриця Cm?k, Кожен елемент якої cij дорівнює сумі попарних добутків елементів i-го рядка матриці А на відповідні елементи j-го стовпця матриця В, т. е. Зауважимо, що A · B ? B · A 9). Визначники квадратних матриць Кожній квадратній матриці ставиться у відповідність число, що позначається Розглянемо визначника для матриць першого, другого і третього порядків: а). нехай А = (а11), тоді ?А= ¦a11¦ = a11. (1) З формули (1) випливає, що визначник для матриці першого порядку збігається з елементами матриці А1 · 1. б) Нехай (2) З формули (2) випливає, що визначник матриці другого порядку дорівнює різниці добутків елементів матриці, що стоять на головній і побічної діагоналях. в). нехай (3) Формулу (3) запам'ятати значно важче, ніж (1) і (2), але це і не потрібно, так як існують різні правила, що дозволяють легко підрахувати ті шість доданків, з яких складається визначник для матриці третього порядку. Наприклад, можна використовувати «правило трикутників», яке умовно показано на схемах 1 і 2. Перші три складові, що входять в формулу (3) зі своїм знаком, підраховуються відповідно до схеми 1, а наступні три складові, що входять з протилежним знаком, підраховуються за схемою 2. 10). Алгебраїчним доповненням елемента аij квадратної матриці Am?n називається число Аij, Що обчислюється за формулою: Aij= (- 1)i+j· Mij, де Mij- Визначник, отриманий з визначника матриці Am?n видаленням рядка з номером i і стовпці з номером j. 11). зворотна матриця матриця А-1 називається оберненою до матриці А, якщо A · A-1= A-1· A = E , де Е - одинична матриця. З визначення випливає, що матриці А и А-1 - Квадратні матриці одного порядку. Квадратна матриця має зворотну, якщо її визначник відмінний від 12). Рішення найпростіших алгебраїчних рівнянь а) А · X = У, де А и В - Задані матриці, причому А - квадратна матриця, визначник якої ? 0. тоді X = А-1· В. б) X · А = В, - Де,А и В задані матриці, причому А - Квадратна матриця, визначник якої ? 0. тоді X = А-1· X. приклади1). Виконати дії: (А + 2В) · З, де Рішення 2). знайти А-1, якщо Рішення , Тоді Перевіримо, чи правильно знайшли А-1. Для цього помножимо А на А-1 і переконаємося, що отримаємо одиничну матрицю. 3). Вирішити рівняння AX-B = C, де Рішення
тоді , Перевірка
Завдання 4. Вирішити матричне рівняння, зробити перевірку. 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7. 4.8. 4.9. 4.10. 4.11. 4.12. 4.13. 4.14. 4.15. 4.16. 4.17. 4.18. 4.19. 4.20. завдання 5 5.1-5.20. Знайти власні числа і власні вектори матриці. 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6. 5.7. 5.8. 5.9. 5.10. 5.11. 5.12. 5.13. 5.14. 5.15. 5.16. 5.17. 5.18. 5.19. 5.20. Вказівки до завдання. Число ? називається власним числом матриці А n-го порядку, якщо існує такий ненульовий n-мірний вектор Х, що АХ = ?Х. Цей ненульовий вектор Х називається власним вектором матриці А, відповідним її власному числу ?. Безліч всіх власних чисел матриці А збігається з безліччю всіх рішень рівняння , Яке називається характеристичним рівнянням матриці А. Безліч всіх власних векторів матриці А, відповідних її власному числу ?, збігається з безліччю всіх ненульових рішень системи однорідних рівнянь Завдання. Знайти власні числа і власні вектори матриці Рішення. Знайдемо характеристичне рівняння матриці А: При обчисленні цього визначника використовувалося його розкладання за елементами 3 стовпці. Знайдемо тепер власні числа матриці А - коріння характеристичного рівняння . отримуємо ?1 = 3, ?2 = 1, ?3 = -1. Далі власні вектори матриці А, що відповідають кожному з власних чисел. нехай шуканий власний вектор. Тоді система однорідних рівнянні матиме вигляд: або (1) Ця однорідна система лінійних рівнянь має безліч рішень, так як її визначник дорівнює нулю. При ? = ?1= 3 система (1) набуває вигляду: . Загальне рішення цієї системи , Де х2 - Будь-яке число. Як власного вектора досить взяти будь-яка приватна рішення. Нехай, наприклад, х2 = 1, тоді власний вектор,, що відповідає власному числу ?1= 3, має вид При ? = ?1 = 1 система (1) набуває вигляду: . Загальне рішення цієї системи , Де х3 - Будь-яке число. Нехай, наприклад, х3 = 1, тоді власний вектор,, що відповідає власному числу ?2= 1, має вигляд . Аналогічно при ? = ?3 = -1 Система (1) набуває вигляду: . Загальне рішення цієї системи , Де х2 - Будь-яке число. Нехай, наприклад, х2 = 1, тоді власний вектор,, що відповідає власному числу ?2= -1, Має вигляд . Відповідь: ?1= 3, ?2= 1, ?3= -1, , , ВСТУП Вивчення нової дисципліни «Філософія» є підставою гуманітарної підготовки студента вищого навчального закладу. Даний навчальний посібник з філософії призначене для направлення бакалаврат (специалитет) і відповідає вимогам федеральних державних стандартів третього покоління. У пропонованому виданні з курсу «Філософії» крім навчального матеріалу з філософії, рекомендованого для самостійної роботи, представлені завдання, контрольні питання, тематика есе, доповідей, словник основних понять і список рекомендованої літератури. Даний навчальний матеріал допоможе освоїти нову дисципліну в обсязі, передбаченому навчальною програмою для студентів вищих навчальних закладів з курсу «Філософія». Філософія являє собою найвище досягнення думки і закономірний результат всієї духовної культури людства. Вона є одночасно теоретичної формою світогляду, обгрунтуванням системи загальнолюдських цінностей і критикою обставин і ідей, які суперечать твердженням гуманізму і соціального прогресу. Філософія - це засіб формування культури раціонального мислення, що включає: вміння обгрунтовувати і спростовувати ті чи інші положення; відокремлювати істотне від несуттєвого; розкривати закономірні зв'язки між явищами і подіями; виявляти протиріччя в навколишньої дійсності. І навіть не зовсім розуміючи необхідність філософії, кожен з нас містить в собі глибинні потенціали, пов'язані з культурним досвідом предків. Ці можливості, приховані в нас, завдяки вихованню та освіті, приймають конкретні індивідуальні, особистісні форми. І сама жива прихована сила в нас - це філософія, яка допомагає висловити творчі здібності особистості. Давньоримський філософ Сенека писав про необхідність філософії: «Філософія - НЕ лицедійство, придатне на показ натовпі ... вона не для того, щоб приємно провести день і без нудьги вбити час, немає, вона виковує і загартовує душу, підпорядковує життя порядку, керує вчинками , вказує, що слід робити і від чого утриматися ... Без неї немає в житті безстрашності і впевненості, адже щогодини трапляється так багато, що нам потрібна порада, якого можна запитати тільки у неї ». Освоєння великого, багатого філософського матеріалу неможливо без серйозної самостійної підготовки та глибокого осмислення матеріалу, що викладається в навчальному посібнику. Тому, вивчаючи матеріал з філософії, вам потрібно продумувати його і зіставляти з власними уявленнями з того чи іншого питання. Такий підхід до вивчення дисципліни допоможе навчитися самостійно мислити, аргументувати свою позицію, відстоювати свою думку і свої переконання. Вироблення цих навичок навчить вас критично переосмислювати свої погляди і коригувати їх відповідно до придбані знаннями. Вивчення філософії не повинно ставати для вас самоціллю, воно повинно бути засобом пізнання життя і вміння приймати оптимальні рішення в умовах постійно мінливої ??соціальнойдействітельності. Тому осмислення філософських проблем передбачає не тільки філософське знання, а й уміння творчо використовувати власний життєвий досвід, аналізувати відомості про поточне життя в країні і за кордоном, задіяти знання з інших наук, мистецтва та художньої літератури. Для більш успішного освоєння досліджуваних питань рекомендується конспектувати прочитаний матеріал, використовувати тематику есе, доповідей, рекомендовану літературу для самостійної роботи і підготовки до участі в семінарських заняттях, колоквіумах, круглих столах, конференціях. Історичні типи світогляду | Проблема визначення предмета філософії | Місце і роль філософії в культурі | Вправи і завдання | Філософія в древніх цивілізаціях Сходу | Давня індійська філософія (VIII ст. До н. Е.- II ст. Н. Е.) | Завдання для самопідготовки | Геракліта, пифагореизм, Елейський школа | Вчення про буття Аристотеля, античний атомізм | Філософські школи епохи еллінізму і Стародавнього Риму | |