На головну

Вправа 96.

  1.  дихальна вправа
  2.  заключне вправа
  3.  Отже, як робити вправу на фокусування?
  4.  Як виконувати цю вправу.
  5.  Короткий вправу
  6.  Розігріваючих вправ №4
  7.  третя вправа

покладемо теперJ ={1,2, ..., r} \ I, І W2= L {ei, er+j}; iII, jIJ. Доведіть, що

i) W2, Як і W1, - Изотропно.

ii) W1= W1^; W2= W2^; М = М^.

iii) М = MCW1+ N ортогонально W2CW1 і W2CW1IМ.

iv) W2CW1= (W2CМ) C (МCW1) = NC (MCW1) = {0}.

Вправа 97.

Отже, ви довели, що, якщо W1 - Максимальне изотропное підпростір V, то є інше максимальне изотропное підпростір W2 таке, що V = W1AW2.
 Доведіть тепер, що билинейная форма на V індукує ізоморфізм W2®W1 * .
Вправа 98.

Будь-які пари взаємно додаткових ізотропних підпросторів в V однаково розташовані, а саме: якщо V = V1AV2= W1AW2 , То існує ізометрія f: V®V така, що f (V1) = W1; f (V2) = W2.

Виведіть звідси як наслідок, що будь-які ізотропні підпростору однаковою розмірності переводяться одне в інше якоїсь ізометрією.

Вправа 99.

Безліч всіх ізометрійf: V®V симплектична простору V над полем F, dimV = 2r, утворює групу. Безліч матриць, що представляють цю групу в симплектична базисі {e1, ..., Er; er+1, ..., E2r} називається сімплектіческой групою і позначається Sp (2r, F). Доведіть, що AI Sp (2r, F) ? detA = ± 1.

3.5. СТО (Спеціальна Теорія відносності)

простором Маньківського[4] називається чотиривимірний речовий простір М із симетричною білінійної формою сигнатури (1,3). Початок координат цього простору означає подія, що відбулася «тут і зараз» з точки зору деякого спостерігача. Тобто, в іншого спостерігача - інші годинник і з його точки зору це ж подія відбулася в інший час. Відсутність єдиного, «всесвітнього», універсального часу - одна з головних рис, що відрізняють фізику високих швидкостей (фізику елементарних частинок), від класичної фізики. У «класиці» у нас для часу і простору різні одиниці виміру - метри і секунди, наприклад. Тут же, оскільки ми будуємо модель простору-часу, нам потрібні єдині координати, допускають перерахунок одиниць простору і часу. Прийнято за одиницю довжини брати відстань, яку проходить світлом (фотоном) за одиницю часу, наприклад, за 1 секунду. Уже в основу цієї моделі покладено принцип сталості швидкості світла.
 Отже, s = ct (c - швидкість світла) і після вибору одиничного вектора по t швидкість світла (в цих одиницях довжини і часу) стає рівною 1.
 Отже, ми маємо метрику (в ортонормального базисі) (t, x1, x2, x3)2= t2-x12-x22-x32.

Замінивши всі три просторових координати однієї,  ; (  ), Маємо: (t, x)2= t2-x2.

Ця форма, як і сам простір М, називаються також «Псевдоевклидова».
 Таким чином, ми бачимо, що квадрат вектора в просторі Маньківського може бути позитивним, негативним або нульовим.
 Відповідно до цього, вектора ці (у фізиці) носять назви временіподобних, светоподобного або пространственноподобних. Якщо вектор, наприклад, временіподобен, то і будь-який колінеарний йому вектор временіподобен, а вся пряма L, його містить, називається тоді «світової лінією инерциального спостерігача». Час між двома точками l1 і l2 - Подіями на цій прямій, виміряний по годинах спостерігача утворює цю пряму, відноситься саме до цього спостерігачеві (в іншого спостерігача - інша світова лінія!) Обчислюється за формулою cl1-l2c =  . Система координат в М, задана в ортонормированном базисі називається інерційної системою.
 Група ізометрій простору М називається групою Лоренца.

Знайдемо тепер матрицю Р, що переводять один ортонормованій базис в інший: .

Вправа 100.

Використовуючи ортонормірованность обох базисів, доведіть, що w = b і z = a.
 Отже, t'= At+ bx; x'= Bt+ ax. Тепер визначимо швидкість v, З якої система (t ', x') рухається щодо системи (t, x). Для цього треба відстань, на яке вектор х 'перемістився по годинах системи (t, х) c моменту t = 0 до теперішнього часу, поділити на час, який минув «за цей час» по годинах системи (t', x ').

Вправа 101.

Доведіть, що v = b: a.

Вправа 102.

Використовуючи отриману формулу для швидкості, і те, що довжина вектора t'Дорівнює 1, висловіть обидві величини а і b через швидкість v.
 Остаточно, запишіть матрицю переходу Р у вигляді Р = P (v).
 Як ви пам'ятаєте (вірніше, - як ви мали б пам'ятати!), Відповідна матриця перетворення координат Lv пов'язана з матрицею Р формулою Lv=tP-1.
 Знайшовши цю матрицю, ви і знайдете так зване перетворення Лоренца.
 Знайдемо тепер закон складання швидкостей в СТО.
 Нехай (t ', x') рухається зі швидкістю v1 щодо (t, x), а (t '', x '') рухається зі швидкістю v2 щодо (t ', x'). тоді .

Вправа 103.

Знайшовши v таке, що  ви і отримаєте шукану формулу. Отримайте ж її!

Перевірте, що у вас вийде, якщо складатися будуть дві швидкості світла (два фотона летять назустріч один одному). Навпаки, яким буде результат, якщо (як це зазвичай і буває в спостережуваної нами життя, навіть якщо мова йде про кулю, снаряді або ракеті) обидві швидкості малі в порівнянні зі швидкістю світла.
 Прочитайте (або запитайте у вчителя фізики) про досліди Майкельсона-Морлі.

3.6. Характеристичний многочлен.

Def.  Нехай в скінченномірному ВП над F заданий лінійний оператор f: V®V.
 Виберемо в V якийсь базис, і нехай А - матриця оператора f в цьому базисі.
 назвемо характеристичним многочленом оператора f (а також матриці А) многочлен P (t) = det (tE-A).Виявляється, що

Вправа 104 * .

Характеристичний многочлен не залежить від вибору базису, і є, таким чином, інваріантом самого оператора f.

(Hint: E = B-1EB).

Вправа 105.

Нехай P (t) = tn-an-1tn-1+ ... + (- 1)na0. Чому рівні аn-1 і а0? Впізнаєте старих знайомих?

Тепер до них додалися нові інваріанти - всі інші коефіцієнти многочлена Р.

Вправа 106. *

Доведіть, що оператор f має власний вектор з власним значенням a U P (a) = 0.

Def. Безліч всіх коренів характеристичного многочлена називається спектром[5] оператора f. Якщо серед коренів немає кратних (всі кратності рівні 1), то спектр називається простим.


[1] Інша, невдале, на мій погляд, назва цієї функції - антілінейная.

[2] Взагалі-то в сучасній літературі скалярним твором називається будь-яка полуторалінейная (або билинейная) форма, все, з чим ми мали справу до сих пір. Але в старих і, особливо, в шкільних підручниках, дотримуються саме такого визначення. У школах, взагалі-то прийнято навіть за визначення скалярного твори брати вид, який вони ухвалюють в ортонормального базисі.

[3] У разі ермітової форми званому також нерівністю Коші-Шварца.
 Augustin Louis Cauchy (1789-1857) - великий французький математик.

[4] Hermann Minkowski, 22.06.1864 -12.01.1909. Народився в Литві, викладав в Zurich, Gottingen де і помер раптово від апендициту. Блискучий математик, який зробив значний внесок в комбінаторних геометрію і теорію чисел. Його лекції уважно слухав, будучи студентом, Альберт Ейнштейн (який взагалі-то не відрізнявся старанністю і нечасто відвідував лекції інших викладачів).

[5] При цих значеннях оператор f (t) = tE-f є незворотнім. У разі бесконечномерного простору V ця обставина кладеться в основу визначення спектру, як безлічі тих значень t, при яких оператор f (t) є незворотним. У разі конечномерного V обидва визначення збігаються.




 Полілінейние форми. |  Матриці. |  Визначники. |  Вправа 50 *. |  Вправа 52. |  Вправа 54. |  Вправа 59. |  Вправа 71. |  Вправа 72. |  Вправа 78. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати