Головна

Вправа 84 *.

  1.  дихальна вправа
  2.  заключне вправа
  3.  Отже, як робити вправу на фокусування?
  4.  Як виконувати цю вправу.
  5.  Короткий вправу
  6.  Розігріваючих вправ №4
  7.  третя вправа

Сигнатура форми j визначається числом позитивних і негативних елементів в послідовності detM1, detM2: detM1; detM3: detM2; ...; DetMn: detMn-1.

Def. Форма j називається позитивно певної, Якщо j (х, х)> 0 "xIV, x?0.

Її матриці Грама також називаються позитивно певними.
 З попередньої вправи випливає, що j позитивно певних U все її detMi позитивні (Критерій Сильвестра).

Вправа 85 *. (Теорема Якобі)

Будь-яку квадратичну симметрическую форму j з невиродженими діагональними минорами Mi над будь-яким полем F можна лінійними перетвореннями змінних привести до виду  , detM0= 1.

До сих пір ми намагалися вести вивчення різних видів просторів паралельно, відзначаючи їх подібності та загальні властивості. Все-таки, між ними є і суттєві відмінності, і зараз ми приступаємо до їх роздільного, послідовного вивчення. Спочатку займемося класикою, тим, що і є предметом вивчення в програми з геометрії середньої загальноосвітньої школи.

3.3. Евклідові простору.

Def. Симетрична позитивно певна форма називається скалярним твором. [2] Конечномерноевещественное лінійне простір E, в якому задано скалярний твір, називається евклідовим.
Прийнято скалярний твір позначати дужками, т. Е., Замість j (х, у) писати просто (х, у). число  називається довжиноювекторах і позначається || х ||.
 З самого визначення скалярного твори слід, що в евклідовому просторі довжина будь-якого ненульового вектора позитивна, а довжина нульового вектора дорівнює нулю. З попередніх вправ випливає, що в евклідовому просторі завжди є ортонормального базис, в якому скалярний твір має вигляд (х, у) =  . Таким чином, евклидово n-мірний простір Е ізометрічни координатного простору Rn, В якому довжини векторів обчислюються по теоремі Піфагора. "Х, уIЕ розглянемо величину || lх + у ||2 як функцію від l. За визначенням скалярного твори вона завжди неотрицательна. Зробивши звідси висновок про дискримінант квадратичної функції, доведіть знамениту теорему Коші-Буняковського [3]:

Вправа 86.
"Х, у(Х, у) ? || х || ? || у ||.
З цієї нерівності випливають далекосяжні наслідки.
 Ну, по-перше, доведіть, що
Вправа 87.Рівність в ньому досягається U х и у лінійно залежні.
 По-друге, доведіть, що має місце нерівність трикутника:
Вправа 88. || х + у || ? || х || + || у ||
Def. Векторний простір V (на цей раз не обов'язково конечномерное) над полями R або С називається нормованим, Якщо на ньому визначена така функція ||.||: V®R+ звана нормою, що
 а) ||0||= 0; ||х||> 0 "x?0
 b) ||ax||= ?a? ?||x|| и
 с) ||х + у||?||х||+||у||"Х, у.
Def. Безліч М із заданою на ньому речової функцією r: М'М®R+, Що володіє наступними властивостями:
 а) r (х, у) = r (у, х) (симетрія)
 б) r (х, х) = 0; r (х, у)> 0 U x?y (позитивна визначеність)
 в) r (х, z) ? r (х, y) + r (y, z) (нерівність трикутника)
 називається метричних простором, А функція r - метрикою.
 Її значення на парі точок (х, у) називається відстанню між точками х і у.
 Визначення, як бачите, відповідає нашому інтуїтивному уявленню про відстані.
Вправа 89.
 Нехай у вас є нормоване простір V. Перетворіть його в метричний, задавши, на базі його норми ||.||, Відстань між точками-векторами простору V (нагадую, що, якщо вважати всі вектора стрілками, що виходять із однієї точки 0, то їх кінці знаходяться у взаємно-однозначним дотриманням точками афінного простору). Перевірте, щоб ваша метрика була інваріантна щодо зрушень (якщо це виявиться не так, то вона доброго слова не варто): r (х,у) = R (х+z,y+z).
 Таким чином, поняття метричного простору ширше поняття нормованого (всяке нормоване є метричними).

Вправа 90. (Зворотне до попереднього)
 Нехай навпаки, у вас є векторний простір V і задана на ньому метрика, інваріантна щодо зрушень: R (х,у) = R (х+z,y+z) "x,y, z +до того ж ще володіє властивістю (гомотетия збільшує відстані): r (aх, aу) = ?a?r (х,y).
 Задайте на ньому норму, на основі цієї метрики, і перевірте, що всі вимоги, що пред'являються до норми, дійсно виконуються.
Вправа 91.
 Перевірте, що довжина вектора, введена на початку цього параграфа, є нормою.

 Таким чином, евклідові простору є нормованими.

Для нормованих і для метричних просторів природним чином визначаються кулі і сфери (межі куль). На них (за допомогою куль) легко переносяться поняття «близько - далеко». Ними ми щільно займемося в наступному році.
 А тепер розглянемо величину .
 В силу упр.86 -1 ? l ? 1. Тому існує якийсь кут j, косинус якого дорівнює якраз цього l: cosj = l. У нас вже є інтуїтивне поняття кута, мало не з дошкільного віку, а якби й не було, то ми могли б його зараз визначити таким чином. Ось є два вектори, х и у в евклідовому просторі.
 З ними пов'язана якась величина l, що дорівнює відношенню їх скалярного твору до твору їх норм. Вона (l) є функція (cos) якогось аргументу (j), званого кутом між векторами х и у, Певна на проміжку 0 ? j ? p таким чином, що cos0 = 1, cosp = -1, cos  = 0. Іншими словами,  - Це кут між ортогональними векторами. Навпаки, колінеарні ті і тільки ті вектора, кут, між якими становить або 0, або p радіан.

Вправа 92.
 Доведіть тривимірний аналог теореми Піфагора спочатку звичайними засобами: розглядом прямокутного паралелепіпеда і його головної діагоналі (проекція і зведення до двовимірному нагоди), а потім її багатовимірного варіанту прямо з даних вище визначень: якщо вектори х1, х2, ..., Хn попарно ортогональні, то квадрат їх суми (гіпотенузи) дорівнює їх сумі квадратів (катетів):  . Перевірте також, що в тотожність перетворюється і теорема косинусів.
 З цього моменту естафетну паличку подальшого вивчення геометрії Евкліда можна передати геометрії, перш за все її давно обіцяної «французької частини».

 




 Полілінейние форми. |  Матриці. |  Визначники. |  Вправа 50 *. |  Вправа 52. |  Вправа 54. |  Вправа 59. |  Вправа 71. |  Вправа 72. |  Вправа 78. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати