На головну

Екстремум функції 2ух змінних. Необхідна і достатня умови екстремуму функції кількох змінних.

  1.  A. Коли необхідно розрахувати ймовірність одночасної появи декількох залежних подій.
  2.  Hарушеніе умови очікування додаткових ресурсів
  3.  I. Метаморфози кореня, спеціалізовані на запасающей функції
  4.  I. Виробничі умови праці
  5.  I. Функції 1 сторінка
  6.  I. Функції 2 сторінка
  7.  I. Функції 3 сторінка
 ? M0
 точка М0 називається точкою локального мінімуму для функції ? = f (x, y), якщо для будь-якої точки М є ? околиці точки М0 справедливо нерівність:

 В околиці безліч точок, що лежать всередині

Кола з центром в точці М0 і радіусом ?. (? > 0)

Аналогічно визначається і локальний максимум: точка М0 - Точка локального максимуму для функції ? = f (x, y), якщо для будь-якої точки М з ? околиці точки М справедливо нерівність:

На практиці для знаходження екстремумів необхідні 2 умови у вигляді теорем:

Теорема 1. (необхідна умова існування екстремуму в точці М0)

Якщо м0 - Точка локального екстремуму, то в точці М0 Першого похідні функції 2ух змінних звертаються в 0.

Незважаючи на те, що ця умова є необхідною, воно використовується для вибору серед точок з області визначення ряду точок, в яких може бути екстремум. Саме для вибору екстремальних точок серед вже відібраних за допомогою Теореми 1, застосовується Теорема 2 (критерій Сильвестра).

Теорема 2. Функція ? = f (x, y) має в М0 екстремум, якщо визначник 2го порядку, що складається з різноманітних друге похідних функції 2ух змінних і обчислений в цій точці М0 > 0.  > 0

?M0= (X0, y0)

Характер екстремуму визначається по 1му елементу, а саме, якщо  , То в точці М0 досягається мінімум, якщо  , То в точці М0- Максимум.

Якщо при обчисленні ? він виявиться <0, то в точці М0 екстремуму немає, якщо ? = 0, то питання про існування екстремуму в точці M0 залишається відкритим - потрібні додаткові дослідження.

З огляду на те що =  (При виконанні умови теореми) критерій можна переписати в наступному вигляді: ? = 20


8. Властивості невизначеного інтеграла

1. (of(х) dх) '= F (х)

(of(х) dх) '= (F (x) + C)' = F '(x) + C' = f (х)

2.Інтеграл від диференціала ф-ції f (х)дорівнює самій ф-ції f (х) odf (х) = F (х)

3.Властивість лінійності. Інтеграл від лінійної комбінації двох ф-ций дорівнює

o (?1f1(х) ± ?2f2(х))dх= ?1of1(х)dх± ?2of2(х)dх

Св-во 1 неопред. інтеграла будемо використовувати на практиці для перевірки правильності знаходження неопред. інтеграла.

В рез-ті диференціювання будь ф-ції, заданої у вигляді лінійної комбінації елементарної ф-ції завжди виходить також комбінація елементарної ф-ції. При знаходженні неопред. інтеграла від комбінації елементарних ф-цій не завжди виходить комбінація елементарних. ф-ций, т. е не всі комбінації елементарних. ф-цій інтегруються, т. е інтеграли немає від всяких ф-цій беруться.

Відомі приклади «яке не бере» інтегралів

 - Інтеграл Пуасона

 - Інтеграл Крінеля

25. Поняття невласних інтегралів I роду. Приклад інтеграл Діріхле I роду.

Якщо у визначенні певного інтеграла порушено або умова безперервності функції, або умова кінцівки відрізка інтегрування, то маємо справу з НІ.

1) Якщо відрізок інтегрування [a, b] - нескінченний, то ні-1

2) Якщо підінтегральна функція y = f (x) розривна на відрізку [a, b], то НІ-2

Розглянемо НІ-1. Їх може бути 3 варіанти: 1)  2)  3)

Дамо визначення НІ-1первого варіанти: =

У разі якщо при обчисленні НІ-1 виходить константа, то кажуть, що ні-1 сходяться до цього числа. У разі якщо у відповіді виходить ? або межа не існує, то говорять, що ні-1 розходиться.

Аналогічно визначення і інших НІ-1: ;

приклад: = = =

Висновок: НІ  сходиться до ?.


 




 Приватні похідні 2-го порядку. |  Поняття диференціального рівняння I порядку, його загального і приватного рішення |  Метод заміни змінної, метод піднесення під знак диференціала. Приклади. |  Метод інтегрування частинами. Приклади. |  Метод варіації довільної сталої. |  Сходяться і розходяться ряди. Дослідження збіжності рядів виду |  Ознаки порівняння для знакоположітельних рядів. |  Ознака Даламбера і Коші для знакоположітельних рядів. Приклади. |  ознака Лейбніца |  Знакозмінні і Знакозмінні ряди. Поняття абсолютної і умовної збіжності. Знакозмінні ряди лейбніцевского типу |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати