На головну

Заняття №2. Рефлекторно-рухова сфера

  1.  Gl] Та?ирип 3. В. І. Вернадскійді? біосфера ж?не ноосфера турали ілімі [:].
  2.  I. БИОСФЕРА І ЛЮДИНА
  3.  II. Політична сфера життєдіяльності суспільства.
  4.  R - радіус молекулярного дії (сфера молекулярного дії).
  5.  АТМОСФЕРА
  6.  атмосфера
  7.  атмосфера

 . (2)

наприклад,

1) многочлен  має один дійсний корінь  , Т. К. рівняння  має тільки одне рішення ,

2) многочлен  має два комплексних кореня  , Є рішеннями квадратного рівняння .

Ці приклади показують, що многочлен з дійсними коефіцієнтами може мати як дійсні, так і комплексні корені.

Корінь многочлена (1) є коренем кратності  , Якщо він зустрічається  раз серед усіх коренів рівняння (2). наприклад,

1) многочлен  має один корінь  . Це означає, що  є одноразовим коренем (або коренем кратності 1).

2) ,  - Коріння кратності 1 многочлена .

3) многочлен  можна переписати таким чином:

 . Отже, многочлен  має п'ять коренів:  . І значить,

 - Корінь кратності 2, і  - Корінь кратності 3 многочлена .

приклад 1. Знайти корені многочлена  і вказати їх кратність.

Рішення.

 - Корінь кратності 2, і  - Корінь кратності 3 многочлена .

- Корінь кратності 5, і  - Коріння кратності 2 многочлена .

Знову відзначимо, що многочлен з дійсними коефіцієнтами з прикладу 1 поряд з дійсним коренем  має також комплексні корені .

Знаходження всіх коренів довільно заданого многочлена часто буває проблематичним. Якщо корені многочленів 1-го і 2-го порядку знаходяться досить просто, то пошук коренів многочленів 3-го і 4-го порядку алгебраїчними методами хоча і можливий, але вже не так простий: громіздкі аналітичні викладки (див., Наприклад, Г. Корн, Т. Корн. Довідник з математики, пункти: 1.8-3, ..., 1.8.-6.) перешкоджають широкому практичному застосуванню аналітичних методів знаходження коренів цих многочленів. Для многочленів 5-го і вищого порядків знаходження коренів алгебраїчних методами (т. Е за допомогою кінцевого числа операцій додавання, віднімання, множення, ділення, піднесення до раціональну ступінь дійсних чисел), в загальному випадку, неможливо. Тому, зазвичай корені многочленів вище 2-го порядку знаходять в наближеному вигляді обчислювальними методами (ці методи вивчаються в курсі математичного аналізу і чисельних методів). Далі розглядаються приклади, в яких знаходження коренів многочлена або зводиться до вирішення квадратних рівнянь, або не буде потрібно.

Розподіл многочлена на многочлен (алгоритм Евкліда). Ціла і дробова частини відносини двох многочленів.

Розглянемо відношення двох многочленів  , Зване дрібно раціональної функцією:  - Багаточлени ступеня  відповідно. якщо  , то  називається правильної дрібно раціональної функцією (або простіше, правильної дробом). Якщо ж  , то  називається неправильною дрібно раціональної функцією (або неправильної дробом). Для неправильного дробу справедлива наступна теорема.

Теорема. неправильну дріб  можна розкласти в суму многочлена і правильного дробу:  , де  - Многочлен ступеня  , і  - Многочлен ступеня  . Таке розкладання єдине. многочлен  називається цілою частиною, правильна дріб  - Дробової частиною, многочлен  - Залишком від ділення многочлена  на многочлен .

Знаходження цілої частини і залишку від ділення многочлена на многочлен проводиться за алгоритмом Евкліда. Наведемо застосування цього алгоритму на конкретних прикладах.

приклад 2. Знайти цілу частину і залишок від ділення многочлена  на многочлен .

Рішення. 1-й крок алгоритму Евкліда.

Початок схеми алгоритму.

підбираємо постійні  так, щоб при множенні  на старший член  подільника  вийшов старший член  многочлена  . Очевидно, слід взяти  . підставляємо  і множимо його на дільник  . В результаті отримаємо многочлен  . Записуємо його зліва під многочленом  . знаходимо різницю  і записуємо цей многочлен зліва під рискою під многочленом  . ступінь многочлена  більшій мірі подільника (многочлена  ), Тому алгоритм Евкліда має продовження.

2-й крок. Записуємо підсумки обчислень 1-го кроку. Додамо зліва до доданку  новий член .

Продовження схеми алгоритму.

константи  підбираємо так, щоб при множенні  на старший член  подільника  вийшло  . очевидно,  . підставляємо  і множимо його на дільник  , В результаті отримаємо многочлен  . Записуємо цей многочлен зліва під многочленом  . знаходимо різницю  , де  і записуємо цей многочлен зліва під рискою під  . ступінь многочлена  дорівнює ступеня дільника (многочлена  ), Тому алгоритм Евкліда триває.

3-й крок. Записуємо підсумки обчислень 2-го кроку. Додамо зліва до доданком  новий член .

Продовження схеми алгоритму.

константи  підбираємо так, щоб при множенні  на старший член  подільника  дорівнювало  . очевидно,  . підставляємо  і множимо його на дільник  , В результаті отримаємо многочлен  . Записуємо цей многочлен зліва під  . знаходимо різницю  і записуємо її зліва під рискою під  . ступінь многочлена  менше ступеня дільника  , Тому алгоритм Евкліда закінчився. Відповіді такі: ціла частина і залишок від ділення многочлена  на многочлен  відповідно рівні и .

В остаточному вигляді схема алгоритму Евкліда виглядає так.

якщо залишок  від ділення многочлена  на многочлен  дорівнює нулю, то многочлен остачі ділиться на многочлен  . В цьому випадку многочлен  називається дільником многочлена  , І многочлен  можна записати у вигляді добутку .

приклад 3. Розкласти в твір многочлен  , Якщо відомо, що многочлен  остачі ділить многочлен .

Рішення. За допомогою алгоритму Евкліда знайдемо цілу частину  від ділення  на .

отже,  і многочлен  можна розкласти в добуток: .

2. Особливу роль відіграє розподіл многочлена  на многочлен .

справедлива наступна теорема Безу. Залишок від ділення многочлена  на многочлен  дорівнює .

Слідство теореми Безу. якщо  - Корінь многочлена  ступеня  , То многочлен  остачі ділиться на многочлен  , Т. Е  , де  - Многочлен ступеня .

Основна теорема алгебри многочленів: Будь-який многочлен ступеня  має рівно  коренів, вважаючи кожен корінь стільки раз, яка його кратність.

Відповідно до цієї теореми будь многочлен  з комплексними коефіцієнтами розкладається в наступний твір

,  (1)

де  - Все коріння многочлена  , Що мають кратності  відповідно. Таке розкладання називається розкладанням многочлена  над безліччю комплексних чисел (над полем ). При розкладанні многочлена над полем автоматично вважається, що  може приймати будь-які комплексні значення.

лінійні многочлени  є непріводімимі многочленами над полем . многочлен називається непріводімим над заданим безліччю чисел, Якщо його не можна розкласти в добуток двох многочленів із ступенями один і вище. Очевидно, що будь-який многочлен ступеня 1 неприводим над полем , абудь-який многочлен ступеня 2 і вище наводимо над полем , Т. К. згідно з основною теоремою його можна розкласти в добуток многочленів.

приклад 4. Розкласти над полем многочлен .

Рішення. Згідно прикладу 3 заданий многочлен розкладається в добуток  . Перший множник - многочлен  має корінь  , Т. К.  . отже,  остачі ділиться на многочлен  . За алгоритмом Евкліда знаходимо результат ділення  на .

значить, .

оскільки,  , Отримаємо таке розкладання многочлена  над полем .

якщо многочлен  має дійсні коефіцієнти, то поряд з його розкладанням над полем  (коли  вважається комплексною величиною) можливо також розкладання цього многочлена на множині дійсних чисел (над полем  ), Коли змінна  приймає тільки дійсні значення, і відповідно  приймає тільки дійсні значення. При розкладанні многочлена з дійсними коефіцієнтами над полем  слід пам'ятати, що не всі многочлени другого порядку приводили над полем .

Наприклад, многочлен  наводимо над полем  , Він допускає розкладання  і неприводим над полем  , Т. К. кожен з множників в квадратних дужках приймає комплексні значення при дійсних значеннях змінної  . Тому, розкладання многочлена  з прикладу 4 над полем  матиме такий вигляд:  . Тут кожен з множників приймає тільки дійсні значення при дійсних  . Щоб отримати це розкладання, потрібно перемножити квадратні дужки в знайденому вище розкладанні многочлена  над полем .

Слід пам'ятати також наступний факт: якщо многочлен з дійсними коефіцієнтами має комплексний корінь  , То комплексне сполучення цього кореня  також є коренем цього многочлена. Згідно з цим фактом і з основною теоремою алгебри многочленів розкладання многочлена з дійсними коефіцієнтами над полем  в загальному випадку має такий вигляд

 , (2)

де  - Дійсні корені кратності  відповідно, а квадратні многочлени  мають комплексно зв'язані коріння.

приклад 5. Знайти розкладання многочлена  на безлічі комплексних (над полем  ) І на множині дійсних (над полем  ) Чисел, якщо відомо, що  - Корінь кратності 2 цього многочлена.

Рішення.

1)  - Дійсний корінь кратності 2 многочлена .

2)  - Многочлен з дійсними коефіцієнтами  разом з комплексним коренем  кратності 2 цей многочлен має корінь  теж кратності 2  в розкладанні многочлена  над полем  (Див. Формулу (1)) буде присутній множник

 многочлен  , І значить, многочлен  остачі ділиться на многочлен .

3) Знайдемо результат ділення  на  за алгоритмом Евкліда.

.

4) Тепер знайдемо коріння квадратного тричлена .

.

отже,розкладання заданого многочлена  над полем має вигляд

.

З цього розкладання видно, що  має коріння  кратності 2 і коріння  кратності 1.

Щоб знайти розкладання многочлена  над полем  потрібно перемножити дужки з сполученими комплексними коренями. Т. К. и  , отримуємо наступне розкладання многочлена  над полем : .

_______________________________________________________________________

Домашнє завдання.

1. Знайти всі корені многочлена  і вказати їх кратність.

2. Знайти цілу і дробову частини відносини  , де , .

3. Знайти розкладання многочлена  на безлічі комплексних і на множині дійсних чисел.

Заняття №2. Рефлекторно-рухова сфера




 Кортико-спинальний (пірамідної) шлях |  Кортико-нуклеарний шлях |  лабіринтові; |  Регуляція тазових органів |  Дослідження м'язової сили |  дослідження рефлексів |  Зниження або відсутність поверхневих (черевних, кремастерних і підошовних) рефлексів |  симптоми подразнення |  Диференціальна діагностика рухових синдромів |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати