Головна

III. ЗРАЗОК ВИКОНАННЯ ТИПОВОГО РОЗРАХУНКУ

  1.  IV. ЗАВДАННЯ ДЛЯ ТИПОВОГО РОЗРАХУНКУ
  2.  Mетодика виконання
  3.  А як же якість виконання роботи?
  4.  А Основні положення розрахунку
  5.  А - зрушення в приладі: 1 - поршень, 2 - зразок грунту, 3 - площина зсуву: б - як визначається кут тертя і зчеплення грунту: Т - зсувне зусилля, N - вертикальний тиск
  6.  Абсолютні і середні показники варіації і способи їх розрахунку

Обчислити визначник четвертого порядку з допомогою властивостей визначників:

.

Рішення

Для зручності перетворень поміняємо місцями 1-ю та 2-ю рядки, після чого поставимо перед визначником знак мінус (т. К. При перестановці рядків місцями визначник змінює знак):

.

Перетворимо даний визначник так, щоб в першому стовпці всі елементи, крім одного, звернулися в нуль; 1-й рядок помножимо на (-2) і складемо з 2-й і 3-й рядками, потім 1-й рядок помножимо на (-3) і складемо з 4-й:

.

Розкладаючи визначник за елементами першого стовпчика, отримаємо:

.

З 3-го рядка винесемо загальний множник за знак визначника і поміняємо місцями 1-ю і 3-ю рядки:

.

1-й рядок помножимо на 2, складемо з 2-й; потім 1-й рядок помножимо на 4, складемо з 3-й:

.

Розкладемо визначник по першому стовпцю:

.

З обох рядків визначника винесемо загальні множники і обчислимо його:

.

Отже, .

Знайти обернену матрицю і зробити перевірку:

.

Рішення

Обчислимо визначник даної матриці (розкладемо по першому рядку):

,

отже, обернена матриця  існує.

Випишемо алгебраїчні доповнення матриці A:

, , ,
, , ,
, , .

складемо матрицю  , Що складається з алгебраїчних доповнень матриці A:

.

Матриця, обернена до матриці A, Буде мати вигляд:

.

Перевірка

.

Вирішити матричне рівняння:

.

Рішення

Матричне рівняння задано у вигляді  . отже,

,

,

.

Знайдемо матрицю, зворотну до матриці A.

отже, обернена матриця  існує.

Випишемо алгебраїчні доповнення матриці A:

, , ,
, , ,
, , .

складемо матрицю  , Що складається з алгебраїчних доповнень матриці A:

.

Матриця, обернена до матриці A, Буде мати вигляд:

.

.

Шукана матриця має вигляд:

.

Вирішити систему лінійних рівнянь методом Крамера:

Рішення

Обчислимо визначник системи:

.

обчислимо визначники  , В яких замість першого, другого і третього стовпців відповідно варто стовпець з вільних членів:

, , .

Знайдемо значення невідомих :

, , .

Отже, , , .

Вирішити систему лінійних рівнянь матричним методом:

Рішення

Перепишемо систему рівнянь у вигляді матричного рівняння:

 , де , , .

маємо:

,

,

.

Знайдемо матрицю, зворотну до матриці A:

,

отже, обернена матриця  існує.

Випишемо алгебраїчні доповнення матриці A:

, , ,
, , ,
, , .

складемо матрицю  , Що складається з алгебраїчних доповнень матриці A:

.

Матриця, обернена до матриці A, Буде мати вигляд:

.

.

Отже, , , .

Вирішити систему лінійних рівнянь методом Гаусса:

Рішення

Обчислимо визначник системи:

.

Отже, система сумісна і має єдине рішення.

Складемо розширену матрицю системи і приведемо її до трикутного вигляду.

~ + +

~ ~  + ~ .

З отриманої матриці складемо систему лінійних рівнянь і знайдемо невідомі за допомогою зворотного ходу Гаусса:

 Звідси:

відповідь: , , .

Вирішити систему лінійних рівнянь методом Жорданових винятків:

Рішення

Складемо таблицю коефіцієнтів системи і перетворимо її так, щоб на її головній діагоналі стояли тільки одиниці, а всі інші елементи були рівні нулю.

 -2
 -2  -2  -5
 -4  -5
 -1  -1  -3
 1/3  -2/3  1/3  22/3
 11/3  -10/3  20/3  29/3
 11/3  5/3  -13/3  -37/3
 -2/3  -11/3  16/3  34/3
 -4/11  -3/11  71/11
 -10/11  20/11  29/11
 -11  -22
 -47/11  72/11  144/11
 -59/55  267/55
 -2/11  -15/11
 -11/5  -22/5
 -157/55  -314/55

З таблиці маємо:

Знайти спільне рішення і фундаментальну систему рішень системи однорідних лінійних рівнянь:

Рішення

Запишемо матрицю системи і перетворимо її до східчастого увазі:

~ ~ ~ .

Ранг матриці дорівнює  , Значить фундаментальна система рішень складається з  рішень. Перепишемо перетворену систему:

де  - Базисні невідомі,  - Вільні невідомі.

введемо позначення  і запишемо загальний розв'язок системи:

де и  - Довільні постійні.

Надамо довільним постійним и  послідовно значення и  відповідно, отримаємо:

и  - Фундаментальна система рішень.

Знайти матрицю лінійного оператора A в базисі , Якщо в стандартному базисі матриця лінійного оператора А має вигляд:

.

Рішення

матриці и  лінійного оператора A пов'язані співвідношенням  , де C - Матриця переходу від базису  до базису  , Вона має вигляд:

, .

підставами матриці , ,  в співвідношення

.

Отже, .

 




 H. Метод Жорданових винятків |  I. Ранг матриці. Теорема Кронекера-Капеллі |  приклад 11 |  J. Однорідні системи |  приклад 12 |  N-мірні векторні простору |  лінійні оператори |  приклад 13 |  X. Власні вектори і власні значення |  приклад 14 |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати