Головна

Поняття рангу матриці

  1.  A. Матриці. початкові відомості
  2.  B.I. поняття культури
  3.  D. Знаходження оберненої матриці
  4.  I. Загальне поняття КУЛЬТУРИ. КУЛЬТУРА, ЦИВІЛІЗАЦІЯ, ПРИРОДА
  5.  I. Ранг матриці. Теорема Кронекера-Капеллі
  6.  I.3.1. Поняття джерела римського права
  7.  III.IX. Поняття про стратиграфических і петрографічних горизонтах

нехай А - Матриця розмірності m ? n. Виберемо в цій матриці довільно k рядків і k стовпців, де 1 ? k ? min(m, n).

Визначення 5.1. Мінором k-го порядку матриці А називається визначник матриці, що стоїть на перетині цих k рядків і k стовпців.

Іншими словами, якщо в матриці А розмірності m ? n викреслити (m - k) Рядків і (n - k) Стовпців, а з решти елементів скласти матрицю, зберігаючи розташування елементів матриці А , То визначник отриманої матриці є мінор порядку k матриці А.

Приклад 5.1. Проілюструємо визначення мінор k-го порядку матриці А. Розглянемо матрицю А =  . Запишемо мінор першого порядку цієї матриці. Наприклад, якщо вибрати третій рядок і другий стовпець матриці А, То цього вибору відповідає мінор першого порядку M1 =det(7) = 7. Іншими словами, для отримання цього мінору треба викреслити першу, другу і четверту рядки, а також перший і третій стовпці з матриці А, А з залишився елемента скласти визначник. Таким чином, минорами першого порядку матриці є самі елементи матриці.

Наведемо приклад мінору другого порядку матриці А. Виберемо два рядки, наприклад, першу і другу, і два стовпці, наприклад, перший і третій. Обчислимо визначник, що стоїть на їх перетині M2 =  = -23. Цей мінор також можна було скласти викреслюванням з матриці А третьої і четвертої рядки, другого шпальти.

Аналогічно можуть бути знайдені мінори третього порядку матриці А. Так як в матриці А всього три стовпці, то беремо їх все. Якщо до цих стовпчиках додати три рядки, наприклад першу, третю та четверту, то отримаємо мінор третього порядку M3 =  = 145. Даний мінор також може бути побудований викреслюванням другого рядка матриці А. Можна отримати інший мінор третього порядку, якщо викреслювати третій рядок матриці А.

Для даної матриці А миноров порядки вище третього не існує, так як k ? min(m, n) = min(4, 3) = 3.

Зауваження 5.1.Число миноров порядку k матриці A розмірності m ? n може бути обчислено за формулою:  , де и  - Число сполучень із m по k і із n по k відповідно.

Визначення 5.2. рангом матриці називається найбільший з порядків її мінорів, відмінних від нуля. позначення: rang A, r або r(A).

З визначення випливає, що

1) для матриці A розмірності m ? n маємо 0 ? rang A ? min(m, n);

2) ранг нульової матриці дорівнює нулю;

3) ранг ненульовий матриці не менше одиниці;

4) ранг квадратної матриці порядку n дорівнює n тільки тоді, коли її визначник не дорівнює нулю;

5) ранг матриці не змінюється при транспонировании.




 Властивості бінарних відносин |  ставлення еквівалентності |  функції |  загальні поняття |  Додавання однотипних матриць |  Множення матриці на число |  множення матриць |  Властивості множення матриць |  Визначники матриць другого і третього порядку |  властивості визначників |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати