Головна |
нехай А - Матриця розмірності m ? n. Виберемо в цій матриці довільно k рядків і k стовпців, де 1 ? k ? min(m, n).
Визначення 5.1. Мінором k-го порядку матриці А називається визначник матриці, що стоїть на перетині цих k рядків і k стовпців.
Іншими словами, якщо в матриці А розмірності m ? n викреслити (m - k) Рядків і (n - k) Стовпців, а з решти елементів скласти матрицю, зберігаючи розташування елементів матриці А , То визначник отриманої матриці є мінор порядку k матриці А.
Приклад 5.1. Проілюструємо визначення мінор k-го порядку матриці А. Розглянемо матрицю А = . Запишемо мінор першого порядку цієї матриці. Наприклад, якщо вибрати третій рядок і другий стовпець матриці А, То цього вибору відповідає мінор першого порядку M1 =det(7) = 7. Іншими словами, для отримання цього мінору треба викреслити першу, другу і четверту рядки, а також перший і третій стовпці з матриці А, А з залишився елемента скласти визначник. Таким чином, минорами першого порядку матриці є самі елементи матриці.
Наведемо приклад мінору другого порядку матриці А. Виберемо два рядки, наприклад, першу і другу, і два стовпці, наприклад, перший і третій. Обчислимо визначник, що стоїть на їх перетині M2 = = -23. Цей мінор також можна було скласти викреслюванням з матриці А третьої і четвертої рядки, другого шпальти.
Аналогічно можуть бути знайдені мінори третього порядку матриці А. Так як в матриці А всього три стовпці, то беремо їх все. Якщо до цих стовпчиках додати три рядки, наприклад першу, третю та четверту, то отримаємо мінор третього порядку M3 = = 145. Даний мінор також може бути побудований викреслюванням другого рядка матриці А. Можна отримати інший мінор третього порядку, якщо викреслювати третій рядок матриці А.
Для даної матриці А миноров порядки вище третього не існує, так як k ? min(m, n) = min(4, 3) = 3.
Зауваження 5.1.Число миноров порядку k матриці A розмірності m ? n може бути обчислено за формулою: , де и - Число сполучень із m по k і із n по k відповідно.
Визначення 5.2. рангом матриці називається найбільший з порядків її мінорів, відмінних від нуля. позначення: rang A, r або r(A).
З визначення випливає, що
1) для матриці A розмірності m ? n маємо 0 ? rang A ? min(m, n);
2) ранг нульової матриці дорівнює нулю;
3) ранг ненульовий матриці не менше одиниці;
4) ранг квадратної матриці порядку n дорівнює n тільки тоді, коли її визначник не дорівнює нулю;
5) ранг матриці не змінюється при транспонировании.
Властивості бінарних відносин | ставлення еквівалентності | функції | загальні поняття | Додавання однотипних матриць | Множення матриці на число | множення матриць | Властивості множення матриць | Визначники матриць другого і третього порядку | властивості визначників |