Головна

Властивості бінарних відносин

  1.  G - фактор і його властивості
  2.  I. Специфіка відносин "принципал - агент" стосовно до держави.
  3.  II. 2. Показова функція і її властивості.
  4.  II.1. Статечна функція і її властивості.
  5.  IV. ЗАГАЛЬНІ ВЛАСТИВОСТІ КУЛЬТУР
  6.  IX. Резюме. Основні тенденції в історії взаємин мови і релігії
  7.  P-n-перехід і його властивості

Нехай бінарне відношення Р задано на непорожня множина А, Т. Е. Р I А2.

Визначення 2.9.бінарне відношення P на безлічі А називається рефлексивним, Якщо для будь-якого елемента х з безлічі А пара (х, х) I Р.

Іншими словами, ставлення P рефлексивно тоді і тільки тоді, коли кожна вершина графа має петлю.

Прикладами рефлексивних відносин є ставлення подільності на множині цілих чисел; відношення включення на булеані непорожньої безлічі; відношення бути однаково спрямованими на безлічі всіх спрямованих променів.

Приклад 2.8.З'ясувати чи має відношення R = {(m, n), (m, k), (m, m), (n, n), (k, n)}, Визначений на множині А = {m, n, k}, Властивістю рефлексивності.

Рішення. Дане бінарне відношення R I А2, Що не буде рефлесківним так як для k I A пара (k, k) I R.

Визначення 2.10.бінарне відношення P на безлічі А називається антирефлексивне, Якщо " х I А : (х, х) I Р.

Ставлення антирефлексивне тоді і тільки тоді, коли жодна вершина графа не має петлі.

Наприклад, ставлення нерівності на деякому числовому безлічі, ставлення перпендикулярності на безлічі всіх прямих евклідової площини є антирефлексивне.

Приклад 2.9.З'ясувати чи має відношення R = {(x, y) | x, y I R: x + y = 2}, властивостями рефлексивності і антирефлексивне.

Рішення. Маємо пара (1, 1) I R і (2, 2) I R, Отже дане бінарне відношення R, Не є рефлесківним і не є антирефлексивне.

Визначення 2.11.бінарне відношення P на безлічі А називається симетричним, Якщо " х, y I А з того що пара (х, y) I Р слід (y, x) I Р.

Ставлення симетрично тоді і тільки тоді, коли щоразу разом з ребром (х, y) Граф містить ребро (y, x).

Прикладами симетричних відносин є відношення рівності на деякому числовому безлічі, ставлення паралельності на безлічі всіх прямих евклідової площини, відношення перпендикулярності на безлічі всіх прямих евклідової площини.

Приклад 2.10.З'ясувати чи має відношення R = {(1, 2), (1, 3), (1, 1), (2, 3), (3, 1)}, заданий на множині А = {1, 2, 3}, властивістю симетричності.

Рішення. Дане бінарне відношення R I А2, Що не буде симетричним так як для пари (2, 3) I R пара (3, 2) I R.

Визначення 2.12.бінарне відношення P на безлічі А називається антисиметричних, Якщо " х, y I А з того, що пара (х, y) I Р і (y, x) I Р випливає, що x = y.

Ставлення антисиметрично тоді і тільки тоді, коли разом з кожним ребром (х, y) Граф не містить ребро (y, x). Граф антисиметричного відносини може містити петлі.

Прикладами антисиметричних відносин є ставлення менше (<) на множині дійсних чисел, відношення включення на булеані непорожньої безлічі.

Зауваження 2.1.Якщо відношення не є симетричним, то це не означає, що воно антисиметрично. Наприклад, ставлення R = {(a, b), (b, a), (a, c)} На множині A = {a, b, c} Не симетричні, оскільки (a, c) I R, А (c, a) I R, І не антисиметрично, так як (a, b) I R і (b, a) I R, але a ? b. Діагональ непорожньої безлічі А (idA) Є прикладом симетричного і антисиметричного відносини. Взагалі, будь-яка підмножина idA володіє одночасно властивостями симетричності і антисиметричність.

Визначення 2.13. бінарне відношення P на безлічі А називається асиметричним, якщо " х, yI А якщо пара (х, y) I Р, То (y, х) I Р.

Ставлення асиметрично тоді і тільки тоді, коли якщо граф містить ребро (х, y), То він не містить ребра (y, x).

Прикладами асиметричних відносин є ставлення бути менше (<) на числовому безлічі. Ставлення паралельності (||) на безлічі прямих площині не є асиметричним, тому що якщо а || b, то b || a і воно є симетричним.

Визначення 2.14. бінарне відношення P на безлічі А називається транзитивним, Якщо " х, y, z I А з того, що пара (х, y) I Р і (y, z) I Р випливає, що (х, z) I Р.

Ставлення транзитивно тоді і тільки тоді, коли разом з кожною парою ребер (х, y) І (y, z) Граф містить ребро (х, z).

Наприклад, ставлення паралельності на безлічі всіх прямих евклідової площини, відношення включення на булеані непорожньої безлічі є транзитивними.

Затвердження 2.2.нехай A ? ? і P I A2. Тоді справедливі наступні співвідношення:

1) P - Рефлексивно U idA I P;

2) P - Антирефлексивне U P C idA = ?;

3) P - Симетрично U P = P-1;

4) P - Антисиметрично U P C P-1 I idA;

5) P - Транзитивно U P P I P.




 Метод математичної індукції |  Комплексні числа |  Операції над комплексними числами |  Геометрична інтерпретація комплексних чисел |  Тригонометрична форма комплексного числа |  Дії над комплексними числами в тригонометричної формі |  Зведення в ступінь. |  Показова форма комплексного числа |  поняття відносини |  Способи завдання бінарних відносин |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати