Головна

Властивості операцій над множинами

  1.  G - фактор і його властивості
  2.  II. 2. Показова функція і її властивості.
  3.  II.1. Статечна функція і її властивості.
  4.  IV. ЗАГАЛЬНІ ВЛАСТИВОСТІ КУЛЬТУР
  5.  P-n-перехід і його властивості
  6.  А. Механічні властивості мерзлих грунтів
  7.  Абсолютна збіжність. Властивості абсолютно збіжних рядів

Властивості операцій об'єднання, перетину і доповнення іноді називають законами алгебри множин. Перелічимо основні властивості операцій над множинами. Нехай задано універсальне безліч U. Тоді ( " A, B, C) A, B, C I U виконуються наступні властивості:

1. ідемпотентність: A E A = A, A C A = A;

2. коммутативность: A E B = B E A, A C B = B C A;

3. асоціативність:A E (B E C) = (A E B) E C,

A C (B C C) = (A C B) C C;

4. дистрибутивность:

A E (B C C) = (A E B) C (A E C) (Дистрибутивність E щодо C),

A C (B E C) = (A C B) E (A C C) (Дистрибутивність C щодо E);

5. властивості нуля: A E ? = A, A C ? = ?;

6. властивості одиниці: A E U = U, A C U = A;

7. поглинання:(A C B) E A = A, (A E B) C A = A;

8. інволютивних (Властивість подвійного доповнення): = A;

9. закони де Моргана[4]: , ;

10. закон включення: А I B U I ;

11. властивості доповнення: А E = U,А C  = ?;

12. вираз для різниці: А \ В = А C .

Інші співвідношення між множинами можуть бути виведені на основі вищенаведених властивостей за правилами алгебри логіки.

Справедливість кожного з цих властивостей можна довести, використовуючи твердження 1.1 та зауваження 1.3. Як приклад наведемо доказ дистрибутивности об'єднання щодо перетину: A E (B C C) = (A E B) C (A E C).

нехай X = A E (B C C), Y = (A E B) C (A E C). Треба довести, що безлічі X и Y рівні, тобто X I Y и Y I X. безліч X I Y, Якщо кожен елемент множини X належить множині Y. нехай x I X ? (x I A) Або (x I B C C) тоді

· якщо x I A, то x I A E B и x I A E C, Отже, x I Y;

· якщо x I B C C, то x I B и x I C ? x I A E B и x I A E C, отже x I Y.

З довільності елемента x випливає, що X I Y.

Запропонуємо тепер, що y I Y; тобто y I (A E B) C (A E C), Тоді y I A E B и y I A E C. Можливі два випадки:

· якщо y I A, то y I B и y I C, значить y I B C C; отже, y I A E (B C C) ? y I X;

· якщо y I A, то y I A E (B C C) = X.

З довільності елемента y випливає, що Y I X.

Таким чином, отримали рівність множин X = Y.




 ЛІНІЙНА АЛГЕБРА |  ББК 22.174я73-5 |  ББК 22.174я73-5 |  Множини та їх елементи. Способи завдання множин |  Об'єднання (або сума). |  Різниця. |  Комплексні числа |  Операції над комплексними числами |  Геометрична інтерпретація комплексних чисел |  Тригонометрична форма комплексного числа |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати