На головну

Аронсон Введення в соціальну психологію 2 сторінка

  1.  1 сторінка
  2.  1 сторінка
  3.  1 сторінка
  4.  1 сторінка
  5.  1 сторінка
  6.  1 сторінка
  7.  1 сторінка

a , b , c . Модуль змішаного твори (a , b , c) дорівнює обсягу паралелепіпеда, побудованого на векторах a , b , c . (a , b , c)> 0, якщо трійка векторів - права, (a , b , c) <0, якщо трійка векторів - ліва, (a , b , c) = 0, якщо трійка векторів компланарності (див. Рис. 1.23).

Мал. 1.23. Модуль змішаного твори

Slide_1_23 «Геометричний зміст змішаного твори»

Слідство. (a , b , c) = ([ a , b ], с ) = (a , [ b , c ]).

Рівність нулю змішаного твори означає компланарність векторів a , b , c .

1.7.2. Вираз змішаного твори в декартових координатах

якщо x = x1 i + x2 j + x3 k , y = y1 i + y2 j + y3 k, z = z1 i + z2 j + z3 k , то

(x , y , z) = .

Доведення:

(x , y , z) = ([ x , y ], z ) = (( x2 y3 - x3 y2 , x3 y1 - x1 y3 , x1 y2 - x2 y1), c) =

= (x2 y3 - x3 y2 )z1 + ( x3 y1 - x1 y3 )z2 +( x1 y2 - x2 y1)z3= .

Slide_1_23_1 «Змішане твір»

Слідство. Необхідною і достатньою умовою рівності нулю визначника

=0, є компланарність векторів

x =(x1 , x2 , x3 ), y =(y1 , y2 , y3 ), z =(z1 , z2 , z3 ).

Глава 2. Прямі та площини

2.1. Рівняння прямої на площині і площині в просторі, ортогональних даному вектору і проходять через дану точку

Випишемо рівняння прямої, що проходить через точку  , Перпендикулярно заданому вектору N. Ця пряма може бути описана, як геометричне місце точок  , для яких  N:  . Останнє співвідношення, записане в декартових координатах, буде виглядати наступним чином:

 , (1)

де N =  -нормаль,  , M =  - Поточна точка на прямій (див. Рис. 2.1).

Мал. 2.1. Пряма на площині (загальне рівняння)

Рівняння (1) називається загальним рівняння прямої на площині. Рівняння (1) можна записати у векторному вигляді:

 (1)

Відзначимо, що умовою того, що рівняння (1) являє рівняння прямої має виконуватися умова .

Аналогічні міркування можна провести і для площини в просторі (див. Рис. 2.2).

Мал. 2.2. Загальне рівняння площини

Рівняння прямої, що не проходить через початок координат можна представити у вигляді (загальне рівняння прямої  поділити на )

.

Це рівняння називається рівнянням прямої в відрізка. геометрично числа  мають сенс відрізків, що відсікаються прямій на відповідних осях.

Slide_2_2_1 «Рівняння прямої в відрізках»

Рівняння площини, що проходить через точку  , Перпендикулярно заданому вектору N, являє собою геометричне місце точок  , для яких  N:  . Останнє співвідношення, записане в декартових координатах, буде виглядати наступним чином:

 , (2)

де N =  -нормаль,  , M =  . Або в векторному вигляді

 (2)

Рівняння (2) називаються загальним рівняння площини в просторі. Для стислості, в цьому випадку, будемо говорити, що задана площина .

2.2. Загальне рівняння першого порядку на площині і в просторі, його дослідження

2.2.1. Загальне рівняння першого порядку на площині.

Розглянемо загальне рівняння першого порядку:

.

якщо  , То при  це рівняння визначає всю площину (рішенням рівняння є будь-яка точка  на площині).

при  рівняння не має рішень і визначає, таким чином, порожня множина.

якщо  , То рівняння має нескінченно багато рішень. Геометрично це безліч є прямою на площині, перпендикулярній вектору  . Дійсно, нехай  деякий рішення рівняння :  . Тоді для будь-якого рішення  цього рівняння буде справедливо рівність:  , Яке задає пряму на площині.

Slide_2_3_0 «Загальна рівнянні прямої на площині»

Відзначимо одну важливу властивість загального рівняння прямої.

Відкладемо вектор нормалі  з якої небудь точки прямої, заданої рівнянням  . нехай  яка-небудь точка площині, тоді

1) якщо  , То точка  лежить з того ж боку від прямої, що і вершина вектора ,

2) якщо  , То точка  і вершина  лежать з різних сторін від прямої,

3) якщо ,то точка  належить прямій (див. рис. 2.3.).

Мал. 2.3. Розташування точок відносно прямої

Доведемо це твердження. нехай  точка прямої  , тоді и  . якщо вектор  відкладений від прямої, наприклад, з точки  , То умова того, що точка  лежить в тій же сторони від прямої, що і вершина вектора  можна записати у вигляді  . Позначимо цей випадок а). Якщо з іншого боку, то  . Позначимо цей випадок b). Або в розгорнутому вигляді:  в разі а) і  в разі b). Отже, в першому випадку  , А в другому  (Див. Рис. 2.4).

Мал. 2.4. Різне розташування точок відносно прямої

2.2.2. Загальне рівняння першого порядку в просторі

Розглянемо загальне рівняння першого порядку в просторі:

.

якщо  , То це, або весь простір (  , Або пусте безлічі (  ).

якщо  , То це рівняння визначає площину з вектором нормалі .

Перевіряється так само, як і для прямої на площині. Важлива властивість загального рівняння площини в просторі.

Відкладемо вектор нормалі  з якої небудь точки площині, заданої рівнянням  . нехай  яка-небудь точка простору, тоді

1) якщо  , То точка  лежить з того ж боку від прямої, що і вершина вектора ,

2) якщо  , То точка  і вершина  лежать з різних сторін від прямої,

3) якщо ,то точка  належить площині (див. рис. 2.5).

Мал. 2.5. Розташування точок щодо площини

Перевіряється так само, як і для прямої на площині.

2.3. Нормальне рівняння прямої на площині і площині в просторі. Приведення загального рівняння першого порядку до нормального вигляду

2.3.1. Нормальне рівняння прямої на площині.

Розглянемо загальне рівняння прямої на площині.

,  (1)

Визначення. В разі  нормальним рівнянням прямої (1) називається рівняння

.

Це рівняння можна записати у вигляді:  (Див. Рис. 2.6)

Мал. 2.6. Нормальне (нормоване) рівняння прямої

Slide_2_6 «Нормальне рівняння прямої»

n =  - Одиничний вектор нормалі, орієнтований так, що будучи відкладеним з початку координат, він буде «дивитися» у бік прямої.

Slide_2_6_1 «Нормировка рівняння прямої»

Приклад. Пронормувати рівняння прямої .

Модуль вектора нормалі (3,4) дорівнює 5. Ділимо рівняння прямої на 5 і беремо знак протилежний знаку вільного коефіцієнт 25, будемо мати нормальну рівняння прямої: .

За допомогою нормального рівняння прямої визначають відстань від точок до прямих, саме:

Відстань від точки  до прямої  з нормальним рівнянням  одно

.

Slide_2_6_2 «Відстань від точки до прямої»

Приклад. Знайти відстань від точки  до прямої  (L).

.

2.3.2. Нормальне рівняння площини в просторі

Розглянемо загальне рівняння площини в просторі

,  (1)

Визначення. В разі  нормальним рівнянням площини (1) називається рівняння

.

Це рівняння можна записати у вигляді:  (Див. Рис. 2.7)

Мал. 2.7. Нормальне рівняння площини (через напрямні косинуси нормалі)

n =  - Одиничний вектор нормалі, орієнтований так, що будучи відкладеним з початку координат, він буде «дивитися» у бік площині.

Приклад. Пронормувати рівняння прямої .

Модуль вектора нормалі (1,2,1) дорівнює  . Ділимо рівняння прямої на  і беремо знак протилежний знаку вільного коефіцієнт -4, будемо мати нормальну рівняння прямої: .

За допомогою нормального рівняння площини визначають відстань від точок до площин, саме:

Відстань від точки  до площини  з нормальним рівнянням  одно

.

Приклад. Знайти відстань від точки  до площини

.

2.4. Різні форми рівняння прямої на площині і в просторі. Перехід від однієї форми до іншої

2.4.1. Загальне рівняння прямої на площині

Раніше вже розглядалося рівняння прямої:  , У векторній вигляді: .

2.4.2. Параметричне рівняння прямої на площині

 , В векторному вигляді: r = r0 + l , .

Мал. 2.8. Параметричне рівняння прямої

Slide_2_8 «Параметричне рівняння прямої на площині»

Вектор l називається напрямних вектором прямої (див. Рис. 2.8).

2.4.3. Канонічне рівняння прямої на площині

Канонічне рівняння, в дійсності, є дещо інший записом параметричного рівняння:

.

Для канонічного рівняння прямої, так само як і для параметричного рівняння, потрібна точка на прямій і спрямовує вектор. Для стислості, в цьому випадку, будемо говорити, що задана пряма .

Slide_10_1 «Канонічне рівняння прямої на площині»

2.4.4. Перехід від однієї форми рівняння прямої до іншої на площині

Чи не тривіальним є тільки перехід від загального до рівняння до параметричного та назад.

Від загального до параметричного.

Загальне рівняння визначається нормаллю N і точки  на прямій. Якщо точка не задана, то її можна знайти, задавши  (в разі  ) або  (в разі  ) І вирішивши рівняння  щодо залишилася невідомою. Наприклад, для рівняння  вважаємо  і знаходимо ,  . Після того, як точка  знайдена знаходимо спрямовує вектор прямої l. В якості направляючого вектора береться будь-який вектор, ортогональний вектору нормалі N. для рівняння  таким вектором може служити вектор l =  . У параметричному вигляді рівняння буде виглядати наступним чином:

 , В канонічному: .

Від параметричного до загального.

Для зворотного переходу дроби  формально перетворюються у виду:  і далі отримуємо загальне рівняння прямої: .

Приклад. Привести до загального вигляду рівняння  . Після зазначених перетворень отримаємо: .

2.4.5. Рівняння прямої в просторі, як перетин двох площин

Пряму в просторі можна задати, вказавши дві площини, лінією перетину яких, є дана пряма. При цьому використовують такий запис:

Мал. 2.9. Пряма, як перетин двох площин

Для того, щоб зазначені площині визначали пряму, вони повинні бути не паралельні, тобто вектора  не повинні бути колленіарни (див. рис. 2.9).

2.4.6. Параметричне рівняння прямої в просторі

 , У векторному вигляді: r = r0 + l ,  , (Див. Рис. 2.10).

Мал. 2.10. Парметріческое рівняння прямої

2.4.7. Канонічне рівняння прямої в просторі

Канонічне рівняння, в дійсності, є дещо інший записом параметричного рівняння:

.

Для канонічного рівняння прямої, так само як і для параметричного рівняння, потрібна точка на прямій і спрямовує вектор. Для стислості, в цьому випадку, будемо говорити, що задана пряма .

Slide_10_2 «Канонічне рівняння прямої в просторі»

2.4.8. Перехід від однієї форми рівняння прямої до іншого в просторі

Від загального до параметричного

Задавши яке-небудь значення однієї із змінних  , І вирішуючи систему

 щодо решти змінних можна буде знайти якусь точку  на прямій. Спрямовує вектор можна знайти, як векторний добуток нормалей площин, що визначають дану пряму: l = [N1 , N2 ].

Мал. 2.11. Перехід від одного рівняння до іншого

Від параметричного до загального

з дробів  формально виписуємо два рівності:  , Які і дадуть дві площини, що визначають дану пряму (див. Рис. 2.11).

2.4.9. Кут між двома прямими на площині і в простанстве, між двома плолоскостямі в просторі, між прямою і площиною

Кут між двома прямими на площині дорівнює куту між їх нормалями. Кут між двома прямими в просторі дорівнює куту між їх напрямними векторами. Кут між двома площинами визначається, як кут між їх нормалями. Кут між прямою і площиною в просторі визначається, як кут між напрямних вектором прямої і нормаллю до площини.

2.5. Барицентричні координати. Розподіл відрізка в даному співвідношенні. Пучок прямих. Пучок площин.

положення точки  на відрізку  можна задати величиною  , Яка б показала в якому співвідношенні точка  ділить відрізок. величина  також визначає положення точки  . числа  , Однозначно визначають положення точки на відрізку, називаються барицентрична координатами точки  . Відзначимо наступні властивості барицентричних координат:

1. .

2. .

3. .




 Аронсон Введення в соціальну психологію 4 сторінка |  Аронсон Введення в соціальну психологію 5 сторінка |  Аронсон Введення в соціальну психологію 6 сторінка |  Аронсон Введення в соціальну психологію 7 сторінка |  Аронсон Введення в соціальну психологію 8 сторінка |  Аронсон Введення в соціальну психологію 9 сторінка |  Аронсон Введення в соціальну психологію 10 сторінка |  Аронсон Введення в соціальну психологію 11 сторінка |  Аронсон Введення в соціальну психологію 12 сторінка |  Аронсон Введення в соціальну психологію 13 сторінка |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати