Головна |
розглянемо докладніше системи лінійних нерівностей і покажемо, що рішення їх тісно пов'язане з поняттями опуклого багатокутника і опуклого багатогранника.
Для початку розглянемо нерівність з однією змінною величиною x1, наприклад x1<4. Якщо на площині провести пряму х1= 4, То вона розділить всю площину на дві частини - півплощини: в одній з них, а саме зліва від прямої х1= 4, Лежать точки, абсциси яких менше 4, А праворуч від прямої - точки, абсциси яких більше 4. Таким чином, нерівність x1<4 геометрично визначає полуплоскость (Рис.1). Розглянемо тепер нерівність з двома змінними типу 3х1+4 х2 <12. Побудуємо пряму лінію 3х1+4 х2= 12. Розділимо обидві частини рівняння на 12:
з якого видно, що пряма відсікає по осях відрізки, рівні 4 и 3.
нерівність 3х1+4 х2 <12 визначає собою сукупність всіх точок площини, що лежать нижче прямої, тобто в заштрихованої частини (Рис. 2).
Щоб легше було зрозуміти, яку саме напівплощина визначає ту чи іншу нерівність, ми в ліву частину нерівності підставимо координати початку координат, тобто х1= 0 и х2= 0. Якщо нерівність задовольняється, то воно визначає ту напівплощина, в якій лежить початок координат, в іншому випадку - іншу напівплощина. Користуючись геометричними міркуваннями, знайти можливі рішення системи:
i3х1+4 х2 ? 12
ix1<2
iх1 > 0 і х2 > 0
Кожне з нерівностей системи визначає полуплоскость, зазначену на рис.3 штрихами.
Отриманий багатокутник є опуклим, бо разом з будь-якими двома точками містить весь з'єднує їх відрізок. таким чином, ми бачимо, що опуклий багатокутник можна задати аналітично, за допомогою системи лінійних нерівностей. Лінійне рівняння з трьома змінними: a11x1+ a12x2+ a13x3= b1 визначає в просторі деяку площину, яка розсікає весь простір на два півпростору.
У зв'язку з цим нерівність a11x1+ a12x2+ a13x3 ? b1 визначає одне з напівпросторів, до якого належить також і сама гранична площину. У загальному випадку, коли система нерівностей сумісна, простір рішень утворює деякий опуклий багатогранник - багатогранник рішень. Окремим випадком його можуть бути: окрема грань, ребро або точка. Останнє має місце, коли система нерівностей має одне єдине рішення. Подальші узагальнення приводять нас до розгляду m лінійних нерівностей з n невідомими. кожне рівняння ai1x1+ ai2x2+ ... + Ainxn= bi є рівнянням деякої гіперплощини в nвимірному просторі, яка як би розтинає весь простір на два півпростору.
Моделювання економічних систем. | Виникнення і розвиток системних уявлень | Моделі і моделювання. Класифікація моделей | Види подібності моделей | адекватність моделей | Поняття операційного дослідження | математичних моделей | транспортна задача | Загальна формулювання задачі лінійного програмування | Рішення задач лінійного програмування |