Головна

Вільні осі. Головні осі інерції. Моменти інерції різних тіл

  1. Адміністративно-державних рішень у демократичному товаристві на різних етапах
  2. Аналіз резисторного підсилювального каскаду зі спільним емітером у різних частотних областях
  3. АНАЛІЗ УСПАДКУВАННЯ ОРГАНІЗМАМИ ОЗНАК ТА ВЛАСТИВОСТЕЙ ПРИ РІЗНИХ ТИПАХ ВЗАЄМОДІЇ ГЕНІВ
  4. БЕЗПЕКА ЛЮДИНИ В РІЗНИХ СФЕРАХ ЖИТТЄДІЯЛЬНОСТІ... 72
  5. Вимоги до деградаційної стійкості селективних покриттів теплових сонячних колекторів різних модифікацій
  6. Вимоги до складання та оформлення різних видів документів. Основні реквізити.
  7. Вільні згасаючі коливання мають своїми характеристиками

При обертанні тіла навколо довільно обраної осі в загальному випад-ку вісь обертання або повертається, або переміщується відносно умовно не-рухомої системи відліку. Для того, щоб така вісь обертання залишалася в незмінному положенні, до неї необхідно прикласти певні зовнішні сили.

При обертанні однорідного симетричного тіла вісь обертання збері-гала б своє положення в просторі без впливу на неї ззовні. Вісь обертання тіла, положення якої в просторі зберігається без дії на неї будь-яких сил ззовні, називають вільною віссю тіла.

Для тіла будь-якої форми і з будь-яким розподілом маси існує три вза-ємно перпендикулярні осі, що проходять через центр інерції тіла, які мо-жуть служити вільними осями - їх називають головними осями інерції. У загальному випадку головні осі інерції тіла можуть бути обрані не в будь-якому довільному напрямку, а лише в певному, тобто вони фіксовані. В од-норідного тіла із площинною симетрією (наприклад, паралелепіпеда) фіксо-вані дві головні осі інерції. В однорідного тіла з осьовою симетрією (напри-клад, циліндра) фіксована лише одна з головних осей інерції (вісь цилінд-ра). В однорідного тіла із центральною симетрією (кулі) жодна з головних осей інерції не фіксована.

Моменти інерції відносно головних осей називають головними мо-ментами інерції тіла . У загальному випадку ці моменти різні:

Для тіла з осьовою симетрією два головні моменти інерції мають однакову величину, а третій відмінний від них: . Для тіла із цен-тральною симетрією всі три головні моменти інерції однакові:

Момент інерції тіла описується рівнянням (7.26). Масу речовини Δmi можна виразити через густину речовини ρ і об'єм . Густина речовини в будь-якій точці виражається співвідношенням:

(7.31)

Тут вираз ΔV→0 означає, що об'єм стягується до тієї точки тіла, де визначається густина ρ, але ΔV≠0, а обмежується деяким мінімальним об'ємом, у межах якого можна говорити про густину речовини. Таким чи-ном, враховуючи (7.31), величину моменту інерції можна виразити рів-нянням:

(7.32)

Сума (7.32) тим точніша, чим менші ΔVi. Отже, завдання знаходження мо-ментів інерції зводиться до обчислення інтеграла виду:

(7.33)

Для однорідних за густиною тіл

Розглянемо кілька окремих прикладів роз-рахунку моментів інерції однорідних симетричних тіл.

7.6.1. Момент інерції циліндра. Відносно головної осі інерції ОО (рис.7.8) момент інерції

Рис.7.8 Для визначення моменту інерції відносно осі

z' скористаємося теоремою Штейнера: момент інерції відносно довіль-ної осі z, паралельної головній осі інерції, дорівнює сумі головного моменту інерції й добутку маси тіла т на квадрат відстані між осями:

(7.34)

З доведенням теореми Штейнера можна ознайомитись у посібнику [1].

Вісь z' відстоїть від осі ОО на відстані . Тоді момент інерції циліндра відносно осі z' дорівнює:

.

7.6.2. Момент інерції товстостінного циліндра з порожниною відносно головної осі інерції.

Тут R1 й R2 - внутрішній і зовнішній радіуси циліндра відповідно:

- об'єм пустотілого циліндра.

Тоді:

7.6.3. Головний момент інерції тонкостінного циліндра. Для тонкостінного циліндра можна прийняти, що і , і

7.6.4. Момент інерції матеріальної точки m відносно довільної осі обертання z, що відстоїть на відстані від точки згідно з рівняннями (7.27) і (7.34) дорівнює: .

7.6.5. Момент інерції тонкого довго-го стержня з постійним перетином S будь-якої форми. Елемент об'єму dV стержня при обертанні його навколо головної осі інерції ОО (рис. 7.9) дорівнює . Тоді

Рис.7.9

Тут L - довжина стержня. Згідно з теоремою Штейнера момент інерції стержня відносно осі z дорівнює:

7.6.6. Момент інерції тонкого диска відносно осі, що співпадає з діаметром диска. Елементарний момент інерції

(рис.7.10). За умови, що товщина диска , момент інерції диска від-носно осі Z знайдемо за рівнянням:

7.6.7. Головний момент інерції кулі. Для однорідної кулі . Елементарний момент інерції (рис. 7.11). Згідно з теоремою Піфагора . Сферична система симетрична, і середні значення

Рис. 7.10 Рис. 7.11

. Прийнявши, що , знаходимо:

.

І для диска, і для кулі - маса однорідного тіла, ρ - густина речовини.

7.7. Тензор інерції

Розглянемо обертальний рух тіла відносно закріпленої точки О, котра співпадає з початком інерціальної системи відліку (рис 7.12).

Проведемо через точку О миттєву вісь ОА. Нехай - миттєва кутова швидкість тіла відносно ціеї осі. Момент імпульсу частинки цього тіла відносно точки О:

Рис.7.12.

Момент імпульсу всього тіла

Всі частинки тіла мають одну й ту саму кутову швидкість . Тому рівняння моменту імпульсу можна записати в проекціях на осі координат, наприклад:

Оскільки то

Подібні рівняння можна записати для та . Останнє рівняння має три коефіцієнти:

.

Кожен із цих коефіцієнтів залежить від миттєвої орієнтації тіла від-носно осей координат . Їх називають інерціальними коефіцієнтами або моментами інерції:

(7.35)

Аналогічно можна записати коефіцієнти для проекцій та . Врахо-вуючи всі коефіцієнти та рівняння, отримуємо систему рівнянь для всіх компонентів моменту імпульсу:

(7.36)

Сукупність дев'яти величин

(7.37)

називають тензором інерції тіла відносно точки О, а самі ці величини - компонентами цього тензора, або компонентами матриці (див. [4] та [5]). Сукупність рівнянь (7.36) вказує на те, що у випадках тіл довільної форми з довільним розподілом маси момент імпульсу не є простим добутком скаляра на вектор кутової швидкості. Тому взагалі напрямок вектора не співпадає з напрямком вектора .

Величини називають діагональними компонентами тензора, а всі інші - недіагональними. Вони симетричні: . Діагональні компоненти, наприклад є сумою добутків кожної маси на квадрат її відстані від осі обертання, тому їх називають моментами інерції відносно осі.

Якщо - густина тіла в точці, радіус-вектор якої є , то кожен мо-мент інерції можна записати у вигляді інтегралів, наприклад:

.

Очевидно, що сума діагональних компонентів

(7.38)

На підставі рівняння (7.38) обчислимо головний момент інерції однорідної кулі радіуса , мас якої :

що співпадає з результатами (7.6.7).

 



  22   23   24   25   26   27   28   29   30   31   32   33   34   35   36   37   Наступна

Енергія кінетична та потенціальна. Закон збереження енергії | Зіткнення двох тіл | Приклад розв'язання задач | Рух тіл відносно неінерціальних систем відліку. Сили інерції | Приклад розв'язання задач | VII. Динаміка обертального руху | Момент сили й пари сил відносно точки | Момент сили відносно осі | Момент імпульсу матеріальної точки | Закон збереження моменту імпульсу |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати