На головну

ПЕРЕМІЩЕННЯ У балки при чистому ВИГИНІ

  1.  Внутрішні силові фактори при вигині
  2.  Можливі (віртуальні) переміщення системи
  3.  Питання 20. Лінійні переміщення точки і їх зв'язок з лінійними переміщеннями в криволінійних координатах.
  4.  Висновок основних залежностей при прямому чистому вигині прямого бруса (висновок формул для визначення напруги і кривизни осі).
  5.  Графіки переміщення учнів по робочих місцях
  6.  Зона переміщення автомобілів по вертикалі.
  7.  Як практикуватися МЕТОД ПЕРЕМІЩЕННЯ СПРАВЖНЬОГО ЦІ (Чжен ЦІ)

 лекція 7

Питання лекції:

1. Лінійні і кутові переміщення в балках.

2. Визначення переміщень шляхом інтегрування рівняння зігнутої осі балки.

3. Метод початкових параметрів.

7.1 Лінійні і кутові переміщення в балках при прямому згині

У попередній лекції були розглянуті питання, пов'язані з розрахунком балок на міцність. Однак в більший випадків практичного розрахунку деталей, що працюють на вигин необхідно також проводити розрахунок їх на жорсткість.

Під розрахунком на жорсткість розуміється оцінка пружної піддатливості балки під дією навантажень і підбір таких розмірів поперечного перерізу, при яких переміщення не перевищуватимуть допустимих величин. Для виконання таких розрахунків необхідно навчитися обчислювати переміщення поперечних перерізів балки під дією будь-якої зовнішньої навантаження. Крім того, переміщення доводиться визначати і при розрахунку статично невизначених конструкцій (балок, рам, арок і т. Д.).

В основі теорії деформації при вигині лежать:

1. Гіпотеза плоских перетинів.

2. Чи враховуються деформації тільки від згинального моменту, деформаціями від поперечної сили нехтують як малими.

З урахуванням прийнятих припущень розглянемо деформацію балки при прямому згині. Під дією зовнішніх навантажень, розташованих в одній з головних площин балки, спостерігається викривлення її осі в тій же площині, відбувається так званий прямий вигин. Поперечні перерізи при цьому повертаються і одночасно отримують поступальні переміщення (рис. 7.1).

z
x

Мал. 7.1

Викривлена ??вісь балки називається пружною лінією.

Переміщення центру ваги перерізу по напрямку, перпендикулярному до недеформованою осі балки, називається прогином балки в даному перерізі і позначається z.

Прогини і кути поворотів в балках є функціями координати x і їх визначення необхідно для розрахунку жорсткості. Розглянемо вигин стержня в одній з головних площин наприклад, в площині xz. Як показує практика, в складі реальних споруд стрижні відчувають досить малі викривлення (zmax/l = 10-2 ... 10-3, де zmax - Максимальний прогин; l - Проліт балки).

7.2 Визначення переміщень шляхом інтегрування рівняння

зігнутої осі балки

В цьому випадку невідомими функціями, що визначають положення точок поперечних перерізів балки, є z(x) І j (x) = A (x) (Рис. 7.1). Сукупність значень цих параметрів по довжині балки утворюють дві функції від координати х - Функцію переміщень z (х) І функцію кута повороту j (х). З геометричних побудов (рис. 7.1) наочно видно, що кут нахилу дотичній до осі х і кут повороту поперечних перерізів при довільному х рівні між собою. В силу малості кутів повороту можна записати

 . (7.1)

З курсу математичного аналізу відомо, що кривизна плоскої кривої z (х) Виражається наступною формулою:

.

Однак, у зв'язку з малістю величини  в порівнянні з одиницею останній вираз можна істотно спростити, і тоді

 . (7.2)

З огляду на вираз, отримане в попередній лекції,

з (7.2) отримаємо наступну важливу диференціальне співвідношення

 , (7.3)

де Iу  - Момент інерції поперечного перерізу балки, щодо її нейт-

ральной осі;

Е - Модуль пружності матеріалу;

E Iу  - Згинальна жорсткість балки.

Рівняння (7.3), строго кажучи, справедливо для випадку чистого вигину балки, т. Е. Коли вигинає момент Mу (х) Має постійне значення, а поперечна сила дорівнює нулю. Однак це рівняння використовується і в разі поперечного вигину, що рівносильно нехтування викривлень поперечних перерізів за рахунок зрушень, на підставі гіпотези плоских перетинів.

Введемо ще одне спрощення, пов'язане з кутом повороту поперечного перерізу. Якщо вигнута вісь балки є досить пологої кривої, то кути повороту перетинів з високим ступенем точності можна приймати рівними першої похідної від прогинів. Звідси випливає, що прогин балки приймає екстремальні значення в тих перетинах, де поворот дорівнює нулю.

У загальному випадку, для того, щоб знайти функції прогинів z (х) І кутів повороту j (х), Необхідно вирішити рівняння (7.3), з урахуванням граничних умов між суміжними ділянками.

Для балки, що має кілька ділянок, визначення форми пружної лінії є досить складним завданням. Рівняння (7.3), записане для кожної ділянки, після інтегрування, містить дві довільні постійні.

На кордонах сусідніх ділянок прогини і кути повороту є безперервними функціями. Дана обставина дозволяє визначити необхідну кількість граничних умов для обчислення довільних постійних інтегрування.

Якщо балка має n - Кінцеве число ділянок, з 2n числа граничних умов отримаємо 2n алгебраїчних рівнянь щодо 2n постійних інтегрування.

Якщо момент і жорсткість є безперервними по всій довжині балки функціями Mу (х) і E Iу (х), То рішення може бути отримано, як результат послідовного інтегрування рівняння (7.3) по всій довжині балки:

інтегруючи один раз, отримуємо закон зміни кутів повороту

,

інтегруючи ще раз, отримуємо функцію прогинів

.

тут C1 и С2 довільні постійні інтегрування повинні бути визначені з граничних умов.

Якщо балка має постійний поперечний переріз по довжині, то для визначення функцій прогинів і кутів повороту зручно застосувати метод початкових параметрів.

7. 3 Метод початкових параметрів

Метод початкових параметрів набув широкого застосування при вирішенні різних інженерних завдань. Його розробили радянські вчені Н. п. Пузиревський, Н. к. Снітко, Н. і. Безвухе, А. а. Уманський та ін.

Для того щоб скоротити число невідомих довільних постійних інтегрування до двох, необхідно забезпечити рівність відповідних постійних на всіх ділянках балки. Це рівність буде дотримуватися, якщо в рівняннях моментів, кутів повороту і прогинів під час переходу від дільниці до дільниці повторюються всі силові фактори попереднього ділянки, а знову з'являються складові звертаються в нуль на лівих межах своїх силових ділянок. Для забезпечення цих умов при складанні диференціальних рівнянь пружної лінії і їх інтегруванні необхідно додержуватися таких умов:

1. Початок координат (загальне для всіх силових ділянок) вибирається на кінці балки:

- Якщо є закладення, то в закладенні,

- Якщо на кінці є опора, то на опорі,

- Якщо на обох кінцях консолі, то байдуже, на якому кінці початок координат.

2. При складанні рівняння для конкретного перетину враховуються навантаження, розташовані від початку координат до перетину; розподілене навантаження q триває до перетину відповідно до правил Клебша. При наявності зосередженого моменту М його значення представляти у вигляді добутку м (z - l)0, де l - Відстань від початку координат до перетину, в якому цей момент прикладений.

3. При дії розподіленого навантаження, що не доходить до правого кінця розглянутого ділянки, вона триває до цього кінця і одночасно врівноважується протилежно спрямованої навантаженням тієї ж інтенсивності ( «додаткова» і «врівноважує» навантаження показуються на малюнках штриховими лініями).

4. Інтегрувати рівняння на всіх ділянках, не розкриваючи дужок.

Розглянемо балку (рис. 7.2) з постійним поперечним перерізом, навантажену взаімоуравновешенной системою позитивних силових факторів (т. Е., Що викликають вертикальні переміщення перетинів балки в позитивному напрямку осі z). Початок системи координат помістимо на лівому кінці балки так, щоб вісь x проходила вздовж осі балки, а вісь z була б спрямована вгору.

На балку діють: момент М, Зосереджена сила F і рівномірно розподілена на ділянці бруса навантаження інтенсивністю q (Рис. 7.2).

z
F


x
l

Мал. 7.2

Завдання полягає в тому, щоб виявити особливості, що вносяться до рівняння пружної лінії, різними типами зовнішніх силових факторів. Для цього складемо вираз згинальних моментів для кожного з п'яти ділянок заданої системи.

x
Ділянка I (0 ? x ? l1 ) My (x) = 0.

Частина II (l1 ? x ? l2 ) My (x) = M.

Ділянка III (l2 ? x? l3 ) My (x) = M + F (x - l2).

Ділянка IV (l3? x? l4) My (z) = M + F (x - l2) + .

Ділянка V (l4 ? х ? l5) Mу (х) = M + F (х - l2) + .

На ділянці V, де розподілене навантаження відсутня, при виведенні виразу для згинального моменту, з метою збереження рекурентності формул для різних ділянок була прикладена взаімоуравновешенная розподілене навантаження.

для виведення узагальненого вираження згинального моменту введемо наступний оператор  , Що означає, що члени висловлювання, які стоять перед ним слід враховувати при х> li і ігнорувати при х ? li . На підставі цього, узагальнене вираження моменту Mу (х) Для довільного перетину х може бути записано єдиною формулою:

Mу(х) = M +F (х - l2) +  . (7.4)

Підставляючи (7.4) в (7.3) і двічі інтегруючи, отримаємо вираз для прогинів:

E Iу z (x) = C0 + C1 x+ + + -

-  . (7.5)

постійні інтегрування C0 и C1 по своїй суті означають:

C0 = E Iy z (0), C1 =  (7.6)

і визначаються з граничних умов на лівому кінці балки. Тоді формула для прогинів прийме наступний остаточний вигляд:

E Iy z(x) = E Iyz0 + x + + +

+ -  . (7.7)

Відповідно, формула для кутів поворотів перетинів балки визначається з (5.23) простим диференціюванням:

E Iy j (x) = + + + -

-  . (7.8)

Як видно, для визначення прогинів і кутів повороту балок даним методом початкових параметрів досить знання лише значень прогину z0 , Кута повороту j0 на початку системи координат, т. е. так званих початкових параметрів. Тому даний метод і називається методом початкових параметрів.

7.4 Приклад розрахунку

Для сталевої балки, зображеної на рис. 7.3, визначити методом початкових параметрів кути повороту перетину і прогин в точці D. Модуль пружності Е = 2 ? 108 кН / м2. Поперечний переріз балки - квадратне зі стороною a = 0,2 м.

Мал. 7.3

Рішення

1. Визначення опорних реакцій балки (Рис. 7.3).

SM0 = 0, RB (b + c + e) - q? (c + e) ? [b + 0,5 ? (c + e)] + M + P b = 0,

 кН;

SMB = 0, R0 (b + c + e) - 0,5 ?q? (c + e)2 - M + P? (c + e) = 0,

 кН.

Для перевірки правильності визначення опорних реакцій складемо рівняння рівноваги сил по осі z:

Sz = 0; R0 + RB + F - q (c + e) = 7,86 + 14,14 + 8 - 10 ? 3 = 30 - 30 = 0.

Реакції знайдені вірно.

2. Застосування методу початкових параметрів.

Використовуючи метод початкових параметрів, для розглянутої балки запишемо:

З умов закріплення балки при x = 0 маємо: z0 = 0; М0= 0.

Підставляючи числові значення, отримаємо:

.

В даному вираженні невідомо j0. З умови закріплення балки при x = b + c + e маємо, що z = 0. Обчислюючи прогин на правому кінці балки і прирівнюючи його до нуля, отримаємо рівняння для визначення j0:

.

Звідси E I j0 = -20,84 КН ? м2. Тепер вираз для визначення прогинів матиме вигляд:

.

Відповідно, вираз для визначення кутів повороту буде:

.

За допомогою цих виразів визначаємо zD і jD:

 кH ? м3.

 кН ? м2.

Обчислюємо жорсткість перерізу (Е = 2 ? 108 кН / м2):

 кН ? м2.

Тоді, звичайно,

 м.

 радий.

переміщення точки D відбувається вниз, а перетин повертається за годинниковою стрілкою.

Питання для самоперевірки

1. Які переміщення отримують поперечним перерізом балок при прямому згині?

2. Запишіть основне диференціальне рівняння вигнутої осі балки.

3. Що називається жорсткістю перерізу при згині?

4. Як з основного (наближеного) диференціального рівняння зігнутої осі балки виходять вирази кутів повороту і прогинів її перетинів?

5. З яких умов визначаються постійні інтегрування, що входять в рівняння кутів повороту і прогинів перетинів балки?

6. Запишіть універсальне рівняння методу початкових параметрів.

7. Перерахуйте основні для використання методу початкових параметрів.

8. Що треба зробити, якщо розподілене навантаження не доходить до правого кінця балки?

 




 Плоский напружений стан |  Об'ємний напружений стан |  теорії міцності |  Умови міцності і жорсткості при крученні. |  Напруження в поперечному перерізі |  Умови міцності і жорсткості при крученні вала |  Потенційна енергія деформації при крученні |  Переміщення при плоскому вигині |  Напруга при чистому вигині |  Напруги при поперечному вигині |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати