загрузка...
загрузка...
На головну

приклади ігор

  1.  Drupal: практичні приклади
  2.  IV. Приклади конкретних застосувань
  3.  IV. Приклади конкретних застосувань
  4.  IV. Приклади конкретних застосувань
  5.  IV. Приклади конкретних застосувань
  6.  IV. Приклади конкретних застосувань
  7.  IV. Приклади конкретних застосувань

Розглянемо кілька прикладів формалізації ігрових або конфліктних ситуацій у вигляді ігор.

Приклад 1. Гравці A и B вибирають одну з двох сторін монети і одночасно показують один одному. Якщо обрані боку монет збіглися, т. Е. Обидві монети показуються гербом або решкою, то гравець A виграє монету гравця B. Впротівном випадку гравець A програє свою монету гравцеві B. Матриця гри може бути записана наступним чином:

 стратегії гравців  гравець B
 решка  Герб
 гравець A  решка  -1
 Герб  -1

У цій грі перші стратегії обох гравців складаються у виборі і пред'явленні решки, а другі стратегії - у виборі і пред'явленні герба. Якщо обидва гравця вибрали однакові стратегії, то виграє перший гравець, якщо гравці вибрали різні стратегії, то виграє другий гравець.

Приклад 2. Формалізація конфліктної ситуації між двома фірмами у вигляді матричної гри.

Нехай на деякому ринку програмного забезпечення діють дві сильні фірми A и B, які ведуть розробку різноманітних програмних продуктів паралельно. Розробляються програмні продукти можуть виходити хорошої якості (Х) і не дуже вдалими (Н). Нехай в кожну свою розробку спочатку фірми вкладають по a одиниць грошових коштів. Припустимо для простоти також, що питання пустити в продаж програмний продукт або вкласти в нього додаткові кошти в розмірі b одиниць грошових коштів завжди першої вирішує фірма A. якщо фірма A пускає в продаж свій програмний продукт, то фірма B також це робить негайно. При цьому та фірма, яка має краще програмне забезпечення, отримує від продажу 2a одиниць грошових коштів, а друга фірма не отримує нічого. Якщо ж програмне забезпечення одного якості (у обох фірм хороше або невдале), то кожна з фірм покриває свої витрати, отримуючи по a одиниць грошових коштів за рахунок продажу своєї продукції. якщо фірма A не пускає в продаж своє програмне забезпечення, а вкладає в нього додаткові кошти, то у фірми B має у своєму розпорядженні дві альтернативи:

- Або вона відмовляється від подальшої розробки і несе збитки в розмірі a одиниць грошових коштів, а фірма A після доопрацювання свого програмного забезпечення та продажу отримує (2a + b) Одиниць грошових коштів;

- Або фірма B вкладає додаткові кошти в розмірі b одиниць і пускає після цього товар в продаж, після чого і фірма A також змушена пустити свою розробку в продаж. Якщо у обох фірм програмні продукти одного якості, то фірми окупають свої витрати на розробку, отримуючи від продажу по (a + b) Грошових одиниць. Якщо ж програмні продукти різної якості, то фірма з кращим програмним забезпеченням отримує 2 (a + b) Одиниць грошових коштів, а друга фірма не отримує нічого. Всі дії фірм можна висловити табл. 1, де фірма A є першим гравцем в матричної грі, а фірма B - Другим.

Легко бачити, що фірма A має 4 різні стратегічні можливості. Перша з них - пустити в продаж, якщо у неї є гарне програмне забезпечення, і пустити в продаж не дуже вдале програмне забезпечення. Скорочено це записується як "продаж - продаж". Інші стратегічні можливості фірми A: "Продаж - додаткові кошти", "додаткові кошти - продаж", "додаткові кошти - додаткові кошти". Аналогічно і фірма B має 4 стратегії, які детально описані в табл. 1.

Розглянемо дії фірм, коли фірма A вибрала свою першу стратегію "продаж - продаж", а фірма B - Свою першу стратегію "продаж, якщо продає фірма A ? - продаж, якщо продає фірма A ? ". У разі, якщо обома фірмами створено гарне програмне забезпечення (Х, Х), обидві фірми компенсують свої витрати на розробку за рахунок продажу програмних продуктів. Теж відбувається і в разі не дуже вдалих програмних продуктів (Н, Н). У випадку якщо фірма A має кращий програмний продукт, ніж фірма B (Х, Н), то вона отримує від продажу 2a одиниць грошових коштів, а фірма B зазнає збитків у розмірі "-a"Одиниць. У разі, якщо фірма B має кращий програмний продукт (Н, Х), то вона отримує від продажу 2a одиниць грошових коштів, а фірма A зазнає збитків у розмірі "-a"Одиниць.

Таблиця 1

 гарне ПО    Продаж, якщо продає фірма A, І відмова від подальших розробок, якщо фірма A вкладає додаткових-ні засоби.  Продаж, якщо продає фірма A, І відмова від подальших розробок, якщо фірма A вкладає додаткових-ні засоби.  Продаж, якщо продає фірма A, І вкладення додаткових-них коштів, якщо фірма A вкладає додаткових-ні засоби.  Продаж, якщо продає фірма A, І вкладення додаткових-них коштів, якщо фірма A вкладає додаткових-ні засоби.
 невдале ПО  Продаж, якщо продає фірма A, І відмова від подальших розробок, якщо фірма A вкладає додаткових-ні засоби.  Продаж, якщо продає фірма A, І вкладення додаткових-них коштів, якщо фірма A вкладає додаткових-ні засоби.  Продаж, якщо продає фірма A, І відмова від подальших розробок, якщо фірма A вкладає додаткових-ні засоби.  Продаж, якщо продає фірма A, І вкладення додаткових-них коштів, якщо фірма A вкладає додаткових-ні засоби.
 продаж  продаж
 продаж  Додатково. засоби 3a /4 2a /4 (a - b) / 4 -b /4
 Додатково. засоби  продаж a /4 (a + b) / 4 b /4
 Додатково. засоби  Додатково. засоби a  (3a + b) / 4 (a - b) / 4

Будемо вважати, що ймовірність появи будь-який з чотирьох описаних ситуацій дорівнює 0,25, тоді середній виграш фірм при багаторазовому повторенні ситуації буде дорівнює нулю:

a11= 0,25 ((- ЗХХ + ПХХ) + (-ЗНН + ПНН) + (-ЗХН + ПХН) + (-ЗНХ + ПНХ) =
 = 0,25 ((-a + a) + (-a + a) + (-a + 2a) + (-a + 0)) = 0,

де ЗХХ, ЗНН, ЗХН, ЗНХ - Відповідно витрати фірми A при створенні програмних продуктів якості (Х, Х), (Н, Н), (Х, Н), (Н, Х);

ПХХ, ПНН, ПХН, ПНХ - Відповідно грошові кошти фірми A від продажу товару при створенні програмних продуктів якості (Х, Х), (Н, Н), (Х, Н), (Н, Х).

При розрахунку елементів a12, a13, a14 аналогічно отримуємо, що a11 = a12 = a13 = = a14 = 0. Розглянемо розрахунок інших елементів таблиці:

a21= 0,25 ((- ЗХХ + ПХХ) + (-ЗНН + ПНН) + (-ЗХН + ПХН) + (-ЗНХ + ПНХ) =
 = 0,25 ((-a + a) + (-(a + b)+ (2a + b)) + (-a + 2a) + (-(a + b)+ (2a + b)) = 0,75a;

a22= 0,25 ((- ЗХХ + ПХХ) + (-ЗНН + ПНН) + (-ЗХН + ПХН) + (-ЗНХ + ПНХ) =
 = 0,25 ((-a + a) + (-(a + b)+ (a + b)) + (-a + 2a) + (-(a + b)+ (2a + b)) = 0,5a;

a23= 0,25 ((- ЗХХ + ПХХ) + (-ЗНН + ПНН) + (-ЗХН + ПХН) + (-ЗНХ + ПНХ) =
 = 0,25 ((-a + a) + (-(a + b)+ (2a + b)) + (-a + 2a) + (-(a + b)+ 0) = 0,25 (a - b);

a24= 0,25 ((- ЗХХ + ПХХ) + (-ЗНН + ПНН) + (-ЗХН + ПХН) + (-ЗНХ + ПНХ) =
 = 0,25 ((-a + a) + (-(a + b)+ (a + b)) + (-a + 2a) + (-(a + b)+ 0) = -0,25 b;

a31= 0,25 ((- ЗХХ + ПХХ) + (-ЗНН + ПНН) + (-ЗХН + ПХН) + (-ЗНХ + ПНХ) =
 = 0,25 (-(a + b)+ (2a + b)) + (-a + a) + (-(a + b)+ (2a + b)) + (-a +0) = 0,25 a;

a32= 0,25 ((- ЗХХ + ПХХ) + (-ЗНН + ПНН) + (-ЗХН + ПХН) + (-ЗНХ + ПНХ) =
 = 0,25 (-(a + b)+ (2a + b)) + (-a + a) + (-(a + b)+ 2 (a + b)) + (-a +0) =

= 0,25 (a + b);

a33= 0,25 ((- ЗХХ + ПХХ) + (-ЗНН + ПНН) + (-ЗХН + ПХН) + (-ЗНХ + ПНХ) =
 = 0,25 (-(a + b)+ (a + b)) + (-a + a) + (-(a + b)+ (2a + b)) + (-a +0) = 0;

a34= 0,25 ((- ЗХХ + ПХХ) + (-ЗНН + ПНН) + (-ЗХН + ПХН) + (-ЗНХ + ПНХ) =

= 0,25 (-(a + b)+ (a + b)) + (-a + a) + (-(a + b)+ 2 (a + b)) + (-a +0) = 0,25b;

a41= 0,25 ((- ЗХХ + ПХХ) + (-ЗНН + ПНН) + (-ЗХН + ПХН) + (-ЗНХ + ПНХ) =

= 0,25 (-(a + b)+ (2a + b)) + (-(a + b)+ (2a + b)) + (-(a + b)+ (2a + b)) +

+ (-(a + b)+(2a + b)) = a;

a42= 0,25 ((- ЗХХ + ПХХ) + (-ЗНН + ПНН) + (-ЗХН + ПХН) + (-ЗНХ + ПНХ) =

= 0,25 (-(a + b)+ (2a + b)) + (-(a + b)+ (a + b)) + (-(a + b)+ 2 (a + b)) +

+ (-(a + b)+ (2a + b)) = 0,25 (3a + b);

a43= 0,25 ((- ЗХХ + ПХХ) + (-ЗНН + ПНН) + (-ЗХН + ПХН) + (-ЗНХ + ПНХ) =

= 0,25 (-(a + b)+ (a + b)) + (-(a + b)+ (2a + b)) + (-(a + b)+ (2a + b)) +

+ (-(a + b) + 0) = 0,25 (a - b);

a44 = 0,25 ((- ЗХХ + ПХХ) + (-ЗНН + ПНН) + (-ЗХН + ПХН) + (-ЗНХ + ПНХ) =

= 0,25 (-(a + b)+ (a + b)) + (-(a + b)+ (a + b)) + (-(a + b)+ 2 (a + b)) +

+ (- (a + b) + 0) = 0.

Для першого гравця матриця гри є матрицею виграшів, тому аналіз першої і третьої стратегій першого гравця показує, що третя стратегія краще першої стратегії.

Дійсно, порівнюючи елементи першої і третьої рядків матриці у шпальтах, маємо:

0 < a/ 4; 0 <(a + b) / 4; 0 = 0; 0 < b/ 4.

Таким чином, тільки при третьої стратегії другого гравця перша і третя стратегії першого гравця рівноцінні. У всіх інших випадках перша стратегія поступається третьої, оскільки на відміну від третьої стратегії вона не приносить виграшів першого гравця, т. Е. Застосовувати першу стратегію першого гравця невигідно.

Аналогічно, четверта стратегія першого гравця перевершує його другу стратегію. Отже, і другу стратегію першого гравця застосовувати немає сенсу.

Таким чином, число застосовуваних стратегій першого гравця зменшується до двох, тому вихідну матричну гру розмірами 4 ? 4 можна перетворити до гри розмірами 2 ? 4 (табл. 2):

Таблиця 2

 гарне ПО    Продаж, якщо продає фірма A, І відмова від подальших розробок, якщо фірма A вкладає додаткових-ні засоби.  Продаж, якщо продає фірма A, І відмова від подальших розробок, якщо фірма A вкладає додаткових-ні засоби.  Продаж, якщо продає фірма A, І вкладення додаткових-них коштів, якщо фірма A вкладає додаткових-ні засоби.  Продаж, якщо продає фірма A, І вкладення додаткових-них коштів, якщо фірма A вкладає додаткових-ні засоби.
 невдале ПО  Продаж, якщо продає фірма A, І відмова від подальших розробок, якщо фірма A вкладає додаткових-ні засоби.  Продаж, якщо продає фірма A, І вкладення додаткових-них коштів, якщо фірма A вкладає додаткових-ні засоби.  Продаж, якщо продає фірма A, І відмова від подальших розробок, якщо фірма A вкладає додаткових-ні засоби.  Продаж, якщо продає фірма A, І вкладення додаткових-них коштів, якщо фірма A вкладає додаткових-ні засоби.
 Додатково. засоби  продаж a /4 (a + b) / 4 b /4
 Додатково. засоби  Додатково. засоби a  (3a + b) / 4 (a - b) / 4

Для другого гравця матриця гри є матрицею програшів, тому неважко бачити, що перша стратегія другого гравця гірше третьої стратегії, а друга стратегія - четвертої, оскільки елементи відповідно третього і четвертого стовпців матриці менше відповідних елементів першого і другого стовпчиків, тому застосовувати першу і другу стратегію другому гравцеві немає сенсу. Отже, рішення розглянутої гри може бути зведено до вирішення матричної гри 2 '2:

b /4
(a - b) / 4

Приклад 3. Гра Бореля. Гра Бореля запропонована видатним французьким математиком в 1921 році. У цій грі два гравця A, B вибирають по три невід'ємних числа, сума яких дорівнює одиниці, а саме:

і розташовують їх у певному порядку. гравець A або B виграє, якщо два обраних ними числа більше відповідних чисел противника.

Два узагальнення гри Бореля

При першому узагальненні гравці вибирають по n невід'ємних чисел, які відповідають умовам

 (1)

і розташовують їх у певному порядку, виграє гравець, у якого більше число чисел перевершує числа іншого гравця.

При другому узагальненні також вибираються по n невід'ємних чисел, що задовольняють умовам (1), але при цьому виграє гравець, у якого більша сума, яка визначається виразами:

де f - задана функція.

Гра Бореля може стати грою на розорення.

Іграми на розорення називаються багатокрокові гри, в яких кожен гравець, починаючи гру, має обмежені ресурси і з кожним кроком або партією ресурси програв гравця зменшуються, наприклад, на одиницю, на ціну гри або на значення, яке обчислюється будь-яким іншим способом.

Гра на розорення може бути сформульована як гра на виграш, Якщо вважати, що гравці починають гру з нульовими ресурсами, а потім на кожному кроці ресурси виграв гравця збільшуються на одиницю або на ціну зіграної партії, або на значення, яке обчислюється будь-яким іншим способом.

Приклад 4. Ігри Блотто. Гра Бореля знайшла свій розвиток в так званих іграх полковника Блотто - загальне ім'я учасника багатьох ілюстративних ігор, що мають додатки у військовій сфері. Розглянемо приклад однієї з таких ігор.

два гравця A и B ведуть боротьбу на N незалежних театрах взаємодії (ринках збуту, зонах військового конфлікту і т. д.), позначених числами 1, 2, ..., N. Вони повинні розподілити свої сили (ресурси), відповідно F и G одиниць по театрах взаємодії, не знаючи схеми розподілу протидіє гравця. Платіж (тобто чисельна міра виграшу гравця A або збитки гравця B) на i-ом театрі виражається функцією Pi(x, y), Що залежить від i-го театру і співвідношення ресурсів x и y, Вкладених гравцями в цей театр взаємодії. Платіж гри в цілому дорівнює сумі платежів на окремих театрах. Нехай боротьба йде на двох театрах, і у A є 4 одиниці засобів, а у його противника - 3, які потрібно розподілити між театрами. Платіж визначений таким чином. Гравець отримує суму своїх витрат і витрат противника на театрі, якщо він по вкладеннях перевершує противника, і отримує свої витрати, якщо вкладення рівні або противник не вкладав коштів в цей театр дій. Якщо вкладення гравця менше, ніж у його противника, то він не отримує нічого. Загальний платіж дорівнює сумі платежів на обох театрах дій. Результати взаємодії гравців наведені в табл. 3.

Таблиця 3

 стратегії  (3, 0)  (0, 3)  (2, 1)  (1, 2)
 (4, 0)  (7, 0)  (4, 3)  (6, 1)  (5, 2)
 (0, 4)  (4, 3)  (7, 0)  (5, 2)  (6, 1)
 (3, 1)  (4, 3)  (3, 4)  (6, 1)  (4, 3)
 (1, 3)  (3, 4)  (4, 3)  (4, 3)  (6, 1)
 (2, 2)  (2, 5)  (2, 5)  (5, 2)  (5, 2)

За кожною клітинкою матриці ховається або закінчення гри, як в разі одночасного застосування перших чи других стратегій обома гравцями, або продовження гри з тими ж (наприклад, після застосування стратегій (1. 2) або (2, 1)) або іншими ресурсами (наприклад , після застосування першим гравцем першої стратегії, а другим - четвертої). В останньому випадку буде розігруватися гра, наведена в табл. 4.

Таблиця 4

 стратегії  (2, 0)  (0, 2)  (1, 1)
 (5, 0)  (7, 0)  (5, 2)  (6, 1)
 (0, 5)  (5, 2)  (7, 0)  (6, 1)
 (4, 1)  (7, 0)  (4, 3)  (6, 1)
 (1, 4)  (4, 3)  (7, 0)  (6, 1)
 (3, 2)  (7, 0)  (5, 2)  (7, 0)
 (2, 3)  (5, 2)  (7, 0)  (7, 0)

У грі Блотто виграє той, хто виснажить ресурси противника.

 




 Критерій мінімуму дисперсії оцінного функціоналу |  критерій Гермейера |  Критерій суб'єктивно-середніх жалю і критерій Хоменюк |  Синтез багатокомпонентних критеріїв |  Для синтезу критеріїв |  ІНДИВІДУАЛЬНІ ЗАВДАННЯ |  Синтез багатокомпонентних критеріїв |  Приклад чисельного рішення матричної гри |  ІНДИВІДУАЛЬНІ ЗАВДАННЯ |  Рішення задач з векторними критеріями |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати