Головна |
Пусть некоторое предприятие производит n типов товаров (известных под номерами, обозначаемыми индексом j, ), затрачивая при этом m типов ресурсов (технологий, производственных факторов, т.е. сырья, полуфабрикатов, рабочей силы, оборудования, электроэнергии и т.д.).
- количество i-го ресурса, необходимое для производства единичного количества j-го товара, ;
- запас i-го ресурса на предприятии, ;
- цена единичного количества j-го товара, .
Считаем, что технология производства линейна. Т.е. затраты ресурсов растут прямо пропорционально объему производства. Пусть показывает планируемый объем производства j-го товара. Тогда допустимым является такой набор производимых товаров , при котором суммарные затраты каждого i-го ресурса не превосходят его запаса: .
Кроме этого, имеется следующее естественное ограничение: .
Стоимость товаров Х выражается величиной
Задача планирования производства ставится так: среди всех векторов Х, удовлетворяющих ограничениям, найти такой, при котором величина Z принимает наибольшее значение.
В различных отраслях народного хозяйства возникает проблема составления таких рабочих смесей на основе исходных материалов, которые обеспечивали бы получение конечного продукта, обладающего определенными свойствами. К этой группе задач относятся задачи о выборе диеты, составлении кормового рациона в животноводстве, шихт в металлургии, горючих и смазочных смесей в нефтеперерабатывающей промышленности, смесей для получения бетона в строительстве и т.д. Высокий уровень затрат на исходные сырьевые материалы и необходимость повышения эффективности производства выдвигают на 1-ый план следующую задачу: получить продукцию с заданными свойствами при наименьших затратах на исходные сырьевые материалы.
Модель задачи о наилучшем составе смеси рассмотрим на примере задачи о наиболее экономном рационе питания, удовлетворяющем определенным медицинским требованиям.
Пусть имеется n продуктов питания (хлеб, мясо, молоко, картофель и т.п.), в которых учитывается m полезных веществ (жиры, белки, углеводы, витамины и т.п.) и известны следующие параметры:
- содержание i-го вещества в единичном количестве j-го продукта, ;
- минимальное количество i-го вещества, которое должно потребляться в расчете на сутки (месяц или т.п.), ;
- цена единичного количества j-го продукта, .
План задачи - это количества продуктов каждого вида, обеспечивающие необходимое количество питательных веществ при минимальных затратах на исходные продукты.
Задача о рационе формулируется с.о.:
Задача о рационе ставится так: среди всех рационов питания Х, покрывающих минимальные потребности в полезных веществах, необходимо выбрать наиболее дешевый.
Суть задачи об оптимальном раскрое состоит в разработке таких технологически допустимых планов раскроя, при которых получается необходимый комплект заготовок, а отходы (по длине, площади, объему, массе или стоимости) сводятся к минимуму.
Пусть имеется N штук исходного материала, который можно раскроить n способами.
- количество заготовок i-го вида, получаемое при раскрое единицы исходного материала по j-му способу раскроя, ;
- минимальное количество заготовок i-го вида, ;
- величина отхода с единицы исходного материала при раскрое по j-му способу, .
План задачи , где - количество единиц исходного материала, планируемое к раскрою по j-му способу. Тогда суммарное количество отходов по всем способам раскроя (которое следует минимизировать) состоит
- функция цели,
при ограничениях: на число единиц исходного материала ,
на удовлетворение ассортиментного спроса потребителей
и условии неотрицательности .
Задача о раскрое ставится так: найти план Х раскроя, обеспечивающий нужное число заготовок с минимальным количеством отходов.
Рассмотрим простейший вариант модели транспортной задачи, когда речь идет о рациональной перевозке некоторого однородного продукта от производителей (или со склада) к потребителям; при этом имеется баланс между суммарным спросом потребителей и возможностями поставщиков по их удовлетворению. Причем потребителям безразлично, из каких пунктов производства (или склада) будет поступать продукция, лишь бы их заявки были полностью удовлетворены. Т.к. от схемы прикрепления потребителей к поставщикам существенно зависит объем транспортной работы возникает задача о наиболее рациональном прикреплении, правильном направлении перевозок грузов, при котором потребности полностью удовлетворяются, вся продукция от поставщиков вывозится, а затраты на транспортировку минимальны.
Пусть некоторый однородный продукт (уголь, кирпич, картофель и т.п.) хранится на m складах и потребляется в n пунктах.
Известны следующие параметры:
- запас однородного продукта на i-том складе, ;
- потребность в продукте в j-ом пункте, ;
- стоимость перевозки единичного количества продукта с i-го склада в j-ый пункт, .
При этом суммарные запасы равны суммарным потребностям: . (*)
- показывают количество продукта, перевозимого с i-го склада в j-ый пункт.
Матрица называется матрицей тарифов, - матрицей перевозок.
Транспортная задача ставится так:
при ограничениях
на возможности поставщиков - весь продукт из складов (или пунктов производства) должен быть вывезен: ,
на спрос потребителей, который должен быть удовлетворен:
при условии неотрицательности переменных, исключающем обратные перевозки:
,
Транспортная задача ставится так: требуется организовать перевозки продукта со складов в пункты потребления так, чтобы при полном удовлетворении потребностей минимизировать суммарные транспортные расходы. Заметим, что условие (*) является необходимым и достаточным для существования, по крайней мере, одной матрицы перевозок Х, удовлетворяющей ограничениям задачи.
Отраслью заключены договоры на поставку продукции потребителям в заданных ассортименте, объеме и сроках. Для выполнения договорных обязательств руководство отрасли разрабатывает мероприятия по расширению производства на ряде предприятий, по проведению их реконструкции, а также по строительству и вводу новых мощностей.
Требуется определить объемы производства продукции на действующих, реконструируемых и вновь вводимых предприятиях, а также объемы поставок продукции от предприятий-поставщиков к потребителям, чтобы суммарные затраты на производство и доставку продукции были минимальными.
Введем обозначения и построим математическую модель задачи:
i - вид производимой продукции , ;
j - номер предприятия, производящего продукцию, ;
k - номер потребителя продукции, ;
- мощности j-го предприятия по производству продукции i-го вида;
стоимость производства единицы продукции i-го вида на j-м предприятии;
- затраты на перевозку единицы продукции i-го вида от j-го предприятия k-му потребителю;
- объем поставки продукции i-го вида k-му потребителю согласно договори: обязательствам;
- искомый объем производства продукции i-го вида на j-м предприятии;
- объем поставки j-м предприятием продукции i-го вида k-му потребителю.
С учетом обозначений суммарные производственные и транспортные затраты в математической модели определяются следующим выражением:
.
Ограничения задачи:
по мощностям каждого предприятия ;
по балансу производства и потребления продукции ;
по удовлетворению спроса потребителей ;
по неотрицательности объемов поставок и производства продукции
.
Для простоты рассмотрим числовой пример такой задачи. Пусть собственные средства банка в сумме с депозитами составляют 100 млн.долларов. Часть этих средств, но не менее 35 млн.долларов должна быть размещена в кредитах. Кредиты являются неликвидными активами банка, т.к. в случае непредвиденной потребности в наличности обратить кредиты в деньги без существенных потерь невозможно. Другое дело ценные бумаги, особенно государственные. Их можно в любой момент продать, получив некоторую прибыль или, как правило, без большого убытка. Поэтому существует правило, согласно которому коммерческие банки должны покупать в определенной пропорции ликвидные активы - ценные бумаги, чтобы компенсировать неликвидность кредитов. Считаем, что ликвидное ограничение следующее: ценные бумаги должны составлять не менее 30% средств, размещенных в кредитах и ценных бумагах.
Пусть - средства (млн.долларов), размещенные в кредитах, - средства, вложенные в ценные бумаги.
Тогда должны выполняться следующие линейные ограничения:
балансовое ограничение ,
кредитное ограничение ,
ликвидное ограничение ,
условие неотрицательности .
Если - доходность кредитов, а - доходность ценных бумаг, то цель банка состоит в том, чтобы получить максимальную прибыль от кредитов и ценных бумаг: .
Т.к. кредиты менее ликвидны, чем ценные бумаги, то обычно .
Міністерство аграрної політики і продовольства
Креслярські інструменти і обладнання. | Суцільні лінії | Штрихові лінії | Штрих-пунктирні лінії | Шрифти креслярські | Нанесення розмірів | Конусність | Спряження | Лекальні криві | ІІ. ПРОЕКЦІЙНЕ КРЕСЛЕННЯ |