Головна |
Т °. Якщо в околиці точки внутрішнього екстремуму змінює знак з "-" на "+" то в критичній точці є мінімум функції; якщо змінює значення з "+" на "-" то в точці х0 функція має максимум.
Т °. Нехай в т. х0 функція n - кратно дифференцируема, причому всі похідні
f (k)(x0) До (n - 1) включно дорівнюють нулю, і f (n)(x0) ? 0 то в точці х = х0:
при парному n функція має мінімум якщо > 0 і максимум якщо <0;
при непарному n функція не має екстремуму. Вона зростає якщо > 0 і убуває якщо <0.
D Твердження слідують з розкладання функції f (x) в ряд Тейлора в точці х0:
. ^
Завдання для дослідження функцій на екстремуми:
Для нижчезазначених функцій встановити характер екстремуму в точці х = 0:
1). ; 2). ;
3). ; 4). .
На ілюстраціях наведені ескізи перших трьох функцій. Вгорі справа - для функції 1, внизу праворуч - для функції 2, внизу - дві ілюстрації до функції 3, але в різних масштабах. зліва для , Праворуч для . Вони показують динаміку зміни функції при . Для функції 4 дослідження слід провести самостійно.
логарифмічна похідна | Вищі похідні складних функцій | Вищі похідні функцій заданих параметрично | Вищі похідні зворотних функцій | РОЗДІЛ. Основні теореми про диференціюються функції | Формула Тейлора з залишковим членом у формі Пеано | Остаточний член в формі Шлёмільха - Роша | теорема єдиності | П'ять чудових розкладів функцій в ряд Тейлора | Ще кілька корисних розкладів. |