Головна |
У попередньому параграфі ми розглянули питання про оцінку невідомого параметра одним числом. Така оцінка називається точковою. У ряді завдань потрібно не тільки знайти для параметра підходяще чисельне значення, а й оцінити його точність і надійність. Потрібно знати - до яких помилок може призвести заміна параметра його точкової оцінкою і з яким ступенем впевненості можна очікувати, що ці помилки не вийдуть за відомі межі. Такого роду завдання особливо актуальні при малому числі спостережень, коли точкова оцінка значною мірою випадкова і заміна на може привести до серйозних помилок. Щоб дати уявлення про точність і надійність оцінки , В математичній статистиці користуються так званими довірчими ймовірностями і довірчими інтервалами.
Нехай для параметра отримана з досвіду несмещенная оцінка . Необхідно оцінити можливу при цьому помилку. Призначимо деяку досить велику ймовірність (Наприклад, = 0,95; 0,99 або 0,99) таку, що подія з ймовірністю можна вважати практично достовірним і знайдемо таке значення , для котрого
р (| - | < ) =
Тоді діапазон практично можливих значень помилки, що виникає при заміні на буде ; великі за абсолютною величиною помилки будуть з'являтися тільки з малою вірогідністю = 1 . Перепишемо наступне рівняння в наступному вигляді:
P ( - < < + ) =
рівність означає, що з ймовірністю невідоме значення параметра потрапляє в інтервал
I = ( - , + ).
I
0 1 2
Для знаходження довірчих інтервалів необхідно знати заздалегідь вигляд закону розподілу величини X. Ідея точних методів побудови довірчих інтервалів зводиться до наступного. Будь-довірчий інтервал знаходиться з умови, що виражає ймовірність виконання деяких нерівностей, в які входить цікавить нас оцінка . Закон розподілу оцінки в загальному випадку залежить від самих невідомих параметрів величини X. Однак, іноді вдається перейти в нерівностях від випадкової величини X до будь-якої іншої функції спостережених значень x1, x2, ..., Xn закон розподілу якої не залежить від невідомих параметрів, а залежить тільки від числа дослідів n і від закону розподілу величини X. Такого роду випадкові величини відіграють велику роль в математичній статистиці; вони найбільш докладно вивчені для випадку нормального розподілу величини X.
Наприклад, доведено, що при нормальному розподілі величини X випадкова величина t = [ -м (x)] /
підпорядковується так званому закону розподілу Стьюдента, де:
/ N; = S / .
Виходячи з цього рівняння , Можна записати в наступному вигляді: P ( -
величина t, Яка табулювати, визначається за допомогою функції Лапласа. Наприклад, якщо - Рівень довірчої ймовірності - прийнятий рівним 0,95, то величина t = 1,96. Отже, довірчий інтервал буде мати початкову точку M (x) -1,96 S / і кінцеву точку M (x) + 1,96 S / .
Усередині цього інтервалу буде знаходиться невідоме значення M (x) з імовірністю 0,95.
Примітка. Використання функції Лапласа для знаходження довірчих меж можливо лише при n> 25. Для n < 25 необхідно використовувати таблиці розподілу Стьюдента.
Розглянемо визначення довірчих інтервалів для оцінки 2 и . Для оцінки 2 використовується розподіл Пірсона 2, Яке також табулювати. Поставивши собі за ймовірністю і визначивши величину q = 1- , Визначають два значення 2. Одно- для ймовірності P1 = 1 - Q /2, Позначивши його , Інше - для ймовірності P2 = Q / 2 - .
Довірчі межі визначаються, виходячи з нерівності:
nS2/ < 2
Довірчі кордону для з тієї ж довірчою ймовірністю визначаються з нерівності:
nS / 2
Примітка. Зазначені способи визначення довірчих меж можуть бути застосовані і для випадку, коли розподіл випадкової величини невідомо заздалегідь. Однак в цьому випадку кордону будуть визначені лише грубо, наближено.
Модою випадкової величини називається її найбільш ймовірне значення для д. С. в., і найбільша щільність ймовірності для н. с. в. | Поняття про моменти випадкової величини. | Моменти центрованої випадкової величини звуться центральних моментів. | І дисперсії. | Гіпергеометричний розподіл. | Закон рівної ймовірності. | Закон розподілу модуля різниці. | СТАТИСТИКИ | Випадкової величини. | Завдання знаходження невідомих |