Головна

Довірчий інтервал. Довірча ймовірність

  1.  Аксіоми, що задають ймовірність.
  2.  ЙМОВІРНІСТЬ ПОПАДАННЯ ВИПАДКОВОЇ ВЕЛИЧИНИ НА заданий інтервал.
  3.  Обчислити довірчий інтервал вимірювання модуля Юнга
  4.  ДОВІРЧІ ІНТЕРВАЛИ І довірчою ймовірністю
  5.  Довірчий управитель зобов'язується здійснювати управління переданим йому майном в інтересах засновника управління або іншого вказаного у договорі особи (вигодонабувача).
  6.  Безперервна випадкова величина функція розподілу, щільність розподілу, ймовірність попадання в заданий інтервал.

У попередньому параграфі ми розглянули питання про оцінку невідомого параметра  одним числом. Така оцінка називається точковою. У ряді завдань потрібно не тільки знайти для параметра  підходяще чисельне значення, а й оцінити його точність і надійність. Потрібно знати - до яких помилок може призвести заміна параметра його точкової оцінкою і з яким ступенем впевненості можна очікувати, що ці помилки не вийдуть за відомі межі. Такого роду завдання особливо актуальні при малому числі спостережень, коли точкова оцінка значною мірою випадкова і заміна  на може привести до серйозних помилок. Щоб дати уявлення про точність і надійність оцінки , В математичній статистиці користуються так званими довірчими ймовірностями і довірчими інтервалами.

Нехай для параметра отримана з досвіду несмещенная оцінка . Необхідно оцінити можливу при цьому помилку. Призначимо деяку досить велику ймовірність  (Наприклад,  = 0,95; 0,99 або 0,99) таку, що подія з ймовірністю  можна вважати практично достовірним і знайдемо таке значення  , для котрого

р (| -  | <  ) =

Тоді діапазон практично можливих значень помилки, що виникає при заміні на буде  ; великі за абсолютною величиною помилки будуть з'являтися тільки з малою вірогідністю  = 1  . Перепишемо наступне рівняння в наступному вигляді:

P ( - < < +  ) =

рівність означає, що з ймовірністю  невідоме значення параметра потрапляє в інтервал

I = ( - , + ).

I

0 1 2

Для знаходження довірчих інтервалів необхідно знати заздалегідь вигляд закону розподілу величини X. Ідея точних методів побудови довірчих інтервалів зводиться до наступного. Будь-довірчий інтервал знаходиться з умови, що виражає ймовірність виконання деяких нерівностей, в які входить цікавить нас оцінка . Закон розподілу оцінки в загальному випадку залежить від самих невідомих параметрів величини X. Однак, іноді вдається перейти в нерівностях від випадкової величини X до будь-якої іншої функції спостережених значень x1, x2, ..., Xn закон розподілу якої не залежить від невідомих параметрів, а залежить тільки від числа дослідів n і від закону розподілу величини X. Такого роду випадкові величини відіграють велику роль в математичній статистиці; вони найбільш докладно вивчені для випадку нормального розподілу величини X.

Наприклад, доведено, що при нормальному розподілі величини X випадкова величина t = [  -м (x)] /

підпорядковується так званому закону розподілу Стьюдента, де:

 / N;  = S / .

Виходячи з цього рівняння  , Можна записати в наступному вигляді: P ( -  

величина t, Яка табулювати, визначається за допомогою функції Лапласа. Наприклад, якщо  - Рівень довірчої ймовірності - прийнятий рівним 0,95, то величина t = 1,96. Отже, довірчий інтервал буде мати початкову точку M (x) -1,96 S / і кінцеву точку M (x) + 1,96 S / .

Усередині цього інтервалу буде знаходиться невідоме значення M (x) з імовірністю 0,95.

 Примітка. Використання функції Лапласа для знаходження довірчих меж можливо лише при n> 25. Для n < 25 необхідно використовувати таблиці розподілу Стьюдента.

Розглянемо визначення довірчих інтервалів для оцінки 2 и . Для оцінки 2 використовується розподіл Пірсона 2, Яке також табулювати. Поставивши собі за ймовірністю  і визначивши величину q = 1-  , Визначають два значення 2. Одно- для ймовірності P1 = 1 - Q /2, Позначивши його  , Інше - для ймовірності P2 = Q / 2 - .

Довірчі межі визначаються, виходячи з нерівності:

nS2/ < 2 2 /

Довірчі кордону для  з тієї ж довірчою ймовірністю визначаються з нерівності:

nS / 2 1 .

Примітка. Зазначені способи визначення довірчих меж можуть бути застосовані і для випадку, коли розподіл випадкової величини невідомо заздалегідь. Однак в цьому випадку кордону будуть визначені лише грубо, наближено.




 Модою випадкової величини називається її найбільш ймовірне значення для д. С. в., і найбільша щільність ймовірності для н. с. в. |  Поняття про моменти випадкової величини. |  Моменти центрованої випадкової величини звуться центральних моментів. |  І дисперсії. |  Гіпергеометричний розподіл. |  Закон рівної ймовірності. |  Закон розподілу модуля різниці. |  СТАТИСТИКИ |  Випадкової величини. |  Завдання знаходження невідомих |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати