загрузка...
загрузка...
На головну

вимушені коливання

  1.  Біженці і вимушені переселенці
  2.  Вал матиме перетин, яке залишається при коливаннях нерухомим. Такий перетин називається вузлом коливань, а коливання з одним вузлом -одноузловимі.
  3.  Величина найбільшого коливання
  4.  Все є коливання.
  5.  вимушені коливання
  6.  вимушені коливання

Нехай коливальна система піддається впливу зовнішньої сили, що змінюється з часом за гармонічним законом:

Fx = F0cosWt, (6.44)

де W - кругова частота змушує сили.

Як і в розглянутих вище випадках на коливальну систему діють сили пружності і опору. У цьому випадку рівняння другого закону Ньютона має вигляд

 . (6.45)

ввівши позначення

 , (6.46)

запишемо рівняння (6.45) наступним чином:

 . (6.47)

Диференціальне рівняння (6.47) описує вимушені коливання. Це рівняння є неоднорідним. Тут ми опускаємо процедуру знаходження спільного рішення рівняння (6.47), а наведемо лише його остаточне вираз:

x = Аcos (Wt + A), (6.48)

де амплітуда коливання

 , (6.49)

а початкова фаза

 . (6.50)

Підставляючи вирази (6.48) - (6.50) в формулу (6.47), легко переконатися в тому, що (6.48) дійсно є рішенням диференціального рівняння (6.47).

Таким чином, функція (6.48) описує усталені вимушені коливання. Вони являють собою гармонійні коливання з частотою, рівній частоті змушує сили. Амплітуда (6.49) вимушених коливань пропорційна амплітуді змушує сили. Для даної коливальної системи (певних і b) амплітуда залежить від частоти змушує сили.

Залежність амплітуди вимушених коливань від частоти змушує сили призводить до того, що при деякій певній для даної системи частоті амплітуда коливань досягає максимального значення. Це явище називається резонансом, а відповідна частота - резонансною частотою.

Щоб визначити резонансну частоту Wрез, Потрібно знайти максимум функції (6.49) або, що те ж саме, мінімум виразу, що стоїть під коренем в знаменнику. Продифференцировав цей вислів по W і прирівнявши до нуля, ми отримаємо умову, що визначає Wрез:

 . (6.51)

Рівняння (6.51) має три рішення:

.

Рішення, яке дорівнює нулю, відповідає максимуму знаменника. З інших двох рішень негативне має бути відкинуто як не має фізичного сенсу (частота не може бути негативною). Таким чином, для резонансної частоти виходить одне значення:

 . (6.52)

Підставивши це значення частоти в (6.49), отримаємо вираз для амплітуди при резонансі:

 . (6.53)

З (6.53) випливає, що при відсутності опору середовища амплітуда при резонансі зверталася б у нескінченність. Згідно (6.52) резонансна частота при тих же умовах (при b = 0) збігається з власною частотою коливань системи .

Контрольні питання

1. Від чого залежать амплітуда і початкова фаза гармонічних механічних коливань?

2. Чи можна за допомогою векторної діаграми знайти результат складання трьох однаково спрямованих гармонічних коливань однієї частоти?

3. Як на увазі фігури Ліссажу знайти відношення частот коливань, що? У яких випадках це можна зробити?

4. Чи буде справедлива формула (6.41), якщо коефіцієнт  залежить від часу?

5. Чому в теорії вимушених коливань приділяють таку велику увагу нагоди, коли зовнішній вплив на коливальну систему змінюється за гармонійним законом?

завдання

1. Коливання матеріальної точки відбуваються за гармонійним законом. В якій з моментів - 1 або - 2 більше кінетична енергія точки і в який - більше потенційна. В який момент прискорення точки має максимальне значення (по модулю)?

2. На двох пружинах підвішені вантажі масами m1 и m2, причому m1 > m2. В разі монтажу вантажів до вільних пружинам останні отримали однакові подовження. У будь вантажу більше період коливань і який з вантажів при однакових амплітудах облаем більшою енергією? Масою пружин можна знехтувати.

3. Два математичних маятника, що мають однакові маси, але різну довжину, коливаються з однаковими кутовими амплітудами. У кожного з маятників енергія коливань більше?

4. Два маятника - фізичний у вигляді однорідного стержня і математичний, - які мають однаковою масою і однаковою довжиною коливаються з однаковими кутовими амплітудами. У кожного з маятників енергія коливання більше?

5. Крізь диск радіусом R і масою m проходить вісь на відстані Rc від центру диска. З яким періодом диск повинен коливатися відносно нерухомої осі?

6. Фізичний маятник являє собою однорідний стрижень довжиною l. На якій відстані Rc від центра ваги повинна бути розташована точка підвісу, щоб частота коливань була максимальною?

7. У в'язкому середовищі знаходиться маятник. В'язкість середовища, маса і довжина маятника такі, що рух його апериодическое. Відведемо маятник від положення рівноваги і відпустимо. Як повинен змінюватися модуль його швидкості (безперервно зростати, безперервно спадати, проходити через максимум, проходити через мінімум)?

8. Вантаж, підвішений на пружині, рухаючись у в'язкому середовищі, робить затухаючі коливання. Як треба змінити довжину пружини (зберігаючи всі її характеристики: товщину дроту, щільність витків і т. П.), Щоб рух вантажу стало апериодическим? При відповіді вважати масу пружини дуже малою в порівнянні з масою вантажу.

9. Два кулі однакового діаметра, але що володіють різною масою, підвішені на нитках однакової довжини. Якщо їх відхилити від положення рівноваги, то якою буде коливатися з великим періодом і у якого буде більше логарифмічний декремент загасання, якщо їх коливання відбуваються в реальному середовищі, що володіє в'язкістю?

10. Гармонійний осцилятор здійснює коливання. Які з перерахованих величин досягають максимального значення в крайньому положенні вантажу: швидкість u, прискорення a, Пружна сила F, кінетична енергія K, потенціальна енергія U? 1) u, F, U; 2) u, F, K; 3) a, U, U; 4) u, F; 5) u, a, K, U.

11. Пружину розтягнули на довжину Dl, Потім ще на Dl. Знайти відношення виконаних робіт (більшої до меншої), вважаючи деформацію пружною.

12. Дві скріплені між собою пружини з жорстокістю k1 и k2 (k1 = 2k2) Розтягнуті силою F. Знайти відношення потенційних енергій пружин U1/U2 вважаючи деформації упругімі.1)  ; 2) 2; 3) 4; 4) 1/2; 5) 1/4.

13. У ліфті, що піднімається вгору з постійним прискоренням, гармонійно коливаються: а) вертикальний пружинний маятник; б) кулька на нитки. Залежать періоди коливань маятників в обох випадках від прискорення ліфта?

14. З трьох гармонійних однаково спрямованих коливань з рівними амплітудами і частотами, але різними початковими фазами: а) 2p / 3; б) 11p / 3; в) 14p / 3 відібрати пари таких, які при додаванні гасять один одного. 1) а і б; 2) б і в; 3) а і в; 4) а і б, а також а й в; 5) а і б, а також б і в.





 Постулати спеціальної теорії відносності (СТО). перетворення Лоренца |  Наслідки з перетворень Лоренца |  Інтервал між подіями |  Основний закон релятивістської динаміки |  Енергія в релятивістської динаміці |  Загальні відомості про коливання |  Кінематика гармонійного коливального руху |  Фізичний і математичний маятники |  Додавання коливань однакового напрямку |  Додавання взаємно перпендикулярних коливань |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати