Головна |
У послекоммутаціонном режимі ланцюг описується наступною системою рівнянь за законами Кірхгофа щодо миттєвих значень струмів і напруги на конденсаторі: i1 - i2 - iC = 0,
i1?r1 + uC = U,
i2?r2 - uC = 0.
Додаткове рівняння - рівняння зв'язку між струмом і напругою
ням конденсатора: iC = С .
Систему рівнянь вирішуємо способом підстановки - все струми виражені третьому через напругу на конденсаторі і підставляємо в перше рівняння сис-теми. В результаті система рівнянь зводиться до одного лінійного неоднозначних-рідному диференціальних рівнянь першого порядку з постійними коефіцієнтами. У дужках відзначимо, що порядок рівняння визначається кількістю накопичувачів енергії в ланцюзі. В даному випадку є тільки один накопичувач - конденсатор, тому і рівняння виявилося першого порядку.
i1 = ; i2 = ; iC = С ; - - С = 0.
+ uC = .
Вирішення рівняння uС(T) знаходиться в вигляді суми приватного рішення неоднорідного диференціального рівняння і загального рішення відповідного однорідного диференціального рівняння. Відзначимо, що в курсі ТОЕ вони називаються, відповідно, вимушені (або усталеною) і вільної складовими: uС(T) = uCпр(T) + uCсв(T). Такий метод розрахунку перехідних процесів називається класичним. Вид змушений складової визначається видом правій частині рівняння, тобто характером джерела. В даному випадку, оскільки джерело постійний, примушена складова напруги на конденсаторі також буде постійною, а = 0:
uCпр = ? = ?U = ? 100 = 40 В.
Вид вільної складової залежить від числа і виду коренів характеристичного рівняння. Тому складемо і вирішимо характеристичне рівняння. При складанні його за наявним диференціальних рівнянь похідна від uC замінюється на р, Сама величина uC - На 1, права частина приймається рівною нулю:
р + = 0.
Вирішення рівняння: р = - = - = -4167 с -1.
При одному, обов'язково негативному, корені характеристичного рівняння вільна складова має вигляд: uCсв(T) = А?е рt. постійну інтегрування А знаходимо, використовуючи початкові умови. Напруга на конденсаторі до комутації: uC(0-) = U = 100 В. Згідно з другим законом комутації, uC(0+) = uC(0-) = 100 В. Таким чином, постійна Інтегровані-ня А = uCсв(0) = uC(0) - uCпр(0) = 100 - 40 = 60 В.
Остаточно отримуємо: uC(T) = 40 + 60 ?е -4167t В.
Струми в гілках: i1(T) = = = 1 - 1 ?е -4167t А,
i2(T) = = = 1 + 1,5 ?е -4167t А,
iC(T) = i1(T) - i2(T) = -2,5 ?е -4167t А.
Для побудови графіка uC(T) додатково обчислимо:
- Постійна часу ланцюга t = 1 / |p| = 1/4167 c = 0,24 мс,
- практична тривалість перехідного процесу
Тпп = (3?5)t = 4 ?t = 0,96 мс.
Графік uC(T) будуємо за складовими: окремо показуємо вимушену і вільну складові, а потім їх графічно підсумовуємо. Графік представлений на рис. 7.2.
завдання 7.2. Розрахувати струм котушки і напруга на індуктивності (рис. 7.3), якщо
u = 200 В, rк = 10 Ом, L = 25 мГн.
побудувати графіки i (t) и uL(T).
Коментарі та відповіді.
1. Незалежне початкова умова: i (0+) = i (0-) = 0.
2. Розрахунок вимушеного режиму за схемою рис. 7.4:
iпр = 20 А; uLпр = 0.
3. Характеристичне рівняння і його корінь: rк + РL = 0, р = -400 с -1.
4. Вільні складові: iсв = аеpt; uLсв = Bеpt.
5. Початкові умови: iсв(0+) = i (0+) - iпр = -20 А;
uLсв(0+) = uL(0+) = u - rкi (0+) = 200 B.
7. Повні величини: i (t) = 20 - 20е -400t А; uL(T) = 200е -400t B.
8. Постійна часу ланцюга і практична тривалість ПП
t = = = 2,5 · 10 -3 с; ТПП = 4 ·t = 0,01 с.
графіки i (t), uL(T) на рис. 7.5.
завдання7.3. Визначити струм і напруга котушки при перемиканні її на додатковий опір rд (Рис. 7.6), якщо u = 200 В, rк = 10 Ом, L = 25 мГн, rд = 40 Ом.
побудувати графіки i (t), uк(T).
Коментарі та відповіді.
1. Незалежне початкова умова:
i (0+) = i (0-) = = 20 А.
2. Вимушене складові: iпр = 0; uкпр = 0.
3. Характеристичне рівняння і його корінь:
РL + (rд + rк) = 0, р = -2000 с -1.
4. Вільні складові: iсв = аеpt; uксв = Bеpt.
5. Початкові умови: iсв(0+) = i (0+) - iпр = 20 А;
uL(0+) = -i (0+)·(rд + rк) = -1000 В и uКСВ(0+) = uк(0+) = rкi (0+) + uL(0+)= -800 В.
6. Постійні інтегрування А = iсв(0+) = 20; B = uКСВ(0+) = -800.
7. Повні величини: i (t) = 20е -2000t А; uк(T) = -800е -2000t B.
8. Постійна часу ланцюга і практична тривалість ПП
t = = 0,5 · 10 -3 с = 0,5 мс; ТПП = 2 мс.
ЗАВДАННЯ 7.4. На рис. 7.8, а представлена ??схема для розрахунку перехідного процесу при включенні трансформатора в режимі холостого ходу. причому u (t) = 100 ?sin (314t +Yu) В, r = 20 Ом, L = 0,159 Гн. Рассчи-тать Yu для отримання самого «важкого» і «легкого» включення. Побудувати графік струму «важкого» включення. Визначити величину ударного струму.
ПЕРЕХІДНІ ПРОЦЕСИ (ПП) В ЛІНІЙНИХ | Рішення | Рішення | Рішення | Рішення | Рішення | Рішення | Рішення | Рішення | Рішення |