Головна |
Визначення. Ізоперімтеріческой завданням класичного варіаційного числення називається наступна екстремальна задача в просторі :
(з)
, (1)
. (2)
тут - Задані числа, відрізок фіксований і кінцевий, . Обмеження (1) називаються изопериметрическими. функції , Що задовольняють умовам (1), (2), називаються допустимими.
Визначення. Кажуть, що допустима функція доставляє слабкий локальний мінімум (максимум) В задачі (з), Пишуть: , якщо таке, що для будь-якої допустимої функції , Що задовольняє умові , Виконано нерівність
. ^
Визначення. функція називається лагранжіаном завдання, а числа - множителями Лагранжа. ^
Теорема. нехай функція доставляє слабкий локальний екстремум в поставленому завданню (з) , А функції безперервні як функції трьох змінних в деякій околиці безлічі . Тоді існує ненульовий вектор множників Лагранжа такий, що для функції Лагранжа завдання виконана умова і справедливо рівняння Ейлера:
. ¦
Розглянемо приклади розв'язання изопериметрических завдань.
Варіаційного числення. | Приклад 2. | Приклад 3. | Приклад 4. | Нерівність Стеклова В. А. | Приклад 5. Завдання про Брахістохрона. | Заняття 9. Завдання Больцах. | Приклад 2. | Приклад 3. | Приклад 4. |