На головну

Епюри моментів, що крутять. для наочного зображення розподілу крутних моментів уздовж осі бруса будують епюри крутних моментів.

  1.  II. Нормальний закон розподілу
  2.  III. Перевірка розподілу емпіричних даних на нормальний закон розподілу.
  3.  Java, зображення, аудіо та відео
  4.  А) принципова схема; б) епюри, що характеризують роботу модулятора
  5.  А) Зв'язок і реальність щодо битійних моментів
  6.  А) структурна схема; б) епюри, що пояснюють принцип роботи передавача.
  7.  аналіз зображення

Для визначення крутного моменту в перерізі використовують метод перетинів. Розглянемо приклад на рис. 3.2.16. Момент, що обертає підводиться до валу (брус круглого перетину) від шківа 1 і знімається з вала через передають шківи 2, 3, 4 на інші вали механізму. Для визначення крутного моменту в перерізі х = х1, Розглянемо рівновагу, наприклад, лівої частини від розтину. Складемо рівняння рівноваги:

; ,

звідки Ткр= М1.

Мал. 3.2.16

При розгляді рівноваги правої частини отримаємо

У будь-якому перетині вала діє крутний момент, який дорівнює сумі моментів, що крутять, що лежать по одну сторону від цього перетину.

Діаграму (рис. 3.2.16), що показує розподіл значень крутних моментів по довжині вала, називають епюр крутних моментів. Для побудови таких епюр слід дотримуватися правила знаків. Прийнято вважати, що якщо спостерігач дивиться на поперечний переріз з боку зовнішньої нормалі і бачить результуючий момент зовнішніх пар, прикладених до даної частини валу, що обертає її в напрямку проти годинникової стрілки, то крутний момент вважається позитивним, а крутний момент зовнішніх сил - негативним. При протилежному напрямку - навпаки. Епюра крутних моментів вала показує ступінь навантаженості ділянок вала.

При розрахунку валів на міцність часто задається не поводить момент, а потужність, що передається валом, і частота обертання валу. Тоді крутний момент визначають за формулою

М = 9554  (Н ? м),

де M - Крутний момент, Н ? м;

P - Вість, що передається валом, кВт;

n - Частота обертання валу, об / хв.

Приклад. Перевірте на міцність вал редуктора поршневого двигуна, якщо зовнішній діаметр (D) Дорівнює 92 мм, внутрішній діаметр (d) Дорівнює 60 мм, допустиме напруження для матеріалу вала [?] = 35 МПа. Двигун розвиває потужність (P), Що дорівнює 1 050 л. с. при оборотах вала редуктора n = 1800 об / хв. 1 л. с. = 0,736 кВт.

Рішення. Знайдемо полярний момент опору і крутний момент перетину:

Wr =  = 125 ? 103 мм3; Ткр = 9554  = 4180 Hм;

tmax = =  = 33,5 MПа <35 МПа.

Максимальна дотичне напруження менше допустимої напруги для матеріалу вала, отже, умова міцності виконується.

Тема 6. Вигин

вигином називається такий вид деформації, коли під дією зовнішніх сил в поперечних перетинах бруса виникають згинальні моменти. Бруси, що працюють на вигин, називають балками. На вигин працюють вали, осі і інші деталі конструкцій.

Розрізняють два основних види вигину: чистий і поперечний. Якщо застосувати метод перетинів в разі чистого вигину (Рис. 3.2.17, а), То відрізана частина балки врівноважується тільки моментом, а в разі поперечного вигину (Рис. 3.2.17, б) - Моментом і поперечною силою.

 
 

Чистий вигин.Під дією згинальних моментів брус вигинається так, що всі поперечні перерізи залишаються плоскими і перпендикулярними викривленою осі бруса (рис. 3.2.17, в). При цьому волокна, що знаходяться на опуклою частини бруса, виявляються розтягнутими, а на увігнутій - стислими. Таким чином, при чистому вигині діють тільки нормальні напруги.

По центру тяжіння проходить нейтральний шар, який відчуває ні розтягування, ні стиснення. Розтягування волокон супроводжується їх утонением, а стиснення - потовщенням. З'ясуємо, як розподіляються напруги в перетині. Згідно із законом Гука s = E? e.

З рис. 3.2.18 видно, що абсолютне подовження волокон розглянутого шару одно

 а відносне подовження

.

якщо точка О - Загальний центр кривизни деформованих шарів, то

и ,

де r - радіус кривизни нейтрального шару;

dj - центральний кут;

у - Відстань від нейтрального до розглянутого розтягнутого шару.

Мал. 3.2.18

отже,

и .

Таким чином, напруги в перетині пропорційні відстані у від нейтрального шару і змінюються за лінійним законом. Найбільша напруга відчувають волокна периферійного шару при y = ymax:

, (3.2.22)

де s - напруга в довільній точці поперечного перерізу при згині.

Щоб з'ясувати залежність напружень від діючих в перетині згинальних моментів, виділимо в перерізі А елементарну площадку DА (Риc. 3.2.18, б), Розташовану на відстані у від нейтрального шару. Елементарна сила sdA створює момент sdAy. Cумміруя елементарні моменти в перерізі і з огляду на (3.2.22), отримаємо повний момент по всій площі перетину:

M = sydA = .

Введемо геометричну характеристику перетину - осьовий момент інерції поперечного перерізу ( )

тоді

,

звідси

,

з формули (2.22)

,

т. е.

 або .

Напруга буде максимальним, якщо у = уmax:

 . (3.2.23)

Введемо ще одну геометричну характеристику перетину - осьовий момент опору (  ), Що характеризує ступінь опірності поперечного перерізу вигину щодо нейтральної осі.

остаточно отримуємо

smax =  . (3.2.24)

Відомо що умова міцності виражається в такий спосіб:

 . (3.2.24 ?)

З цієї умови міцності випливають три завдання, які вирішуються при плоскому вигині:

Проектний розрахунок, т. Е. Визначення необхідних розмірів поперечного перерізу:

.

Для круглого перетину діаметром d

Wx = 0,1d3; (3.2.25)

для кільцевого перерізу:

Wх = 0,1 (dн4dв4) /dн, (3.2.25 ?)

для прямокутного перерізу:

Wx = bh2/ 6, (3.2.26)

де b - Ширина бруса;

h - Висота бруса.

З останньої формули видно, що міцність бруса на вигин залежить не тільки від форми поперечного перерізу, але і від його положення, вертикальне положення прямокутного перетину вигідніше, ніж горизонтальне (спробуйте зігнути шкільну лінійку, розташовану плазом, а потім ребром).

 Оскільки на вигин працюють головним чином периферійні шари, доцільно застосовувати бруси з перетинами, в яких працює матеріал розташований далі від нейтральної осі. Так, застосування кільцевого перерізу (труби) доцільніше застосування суцільного, прямокутного вигідніше квадратного, причому, чим більше відношення h / b, тим краще. Але найбільш вигідними є спеціальні профілі: двутавр і швелер, які і мають найбільше застосування і в будівництві і в машинобудуванні. Моменти опору цих профілів наводяться в довідниках.

Опори і опорні реакції балок. Балки служать для передачі діючих на них навантажень на опори, на яких вони спочивають. На опорах балки виникають реакції, з визначення яких слід починати вирішення всіх завдань, пов'язаних з вигином балок. Залежно від числа і пристрої опор балки число реакцій, що підлягають визначенню, буває по-різному. Опори балок з їх пристрою можуть бути розділені на наступні три основних типи: шарнірно-нерухома опора; шарнірно-рухома опора; жорстко-затиснена опора.

Шарнірно-нерухома опора показана на рис. 3.2.19, а. кінець балки 3 спирається на шарнір 1. шарнір 1 лежить на опорній подушці 2, Яка, в свою чергу, жорстко прикріплена до опорної площини. Така опора не дає кінця балки можливості пересуватися в будь-якому напрямку, дозволяючи йому тільки повертатися щодо центру шарніра. Надалі шарнірно-нерухому опору будемо зображати схематично, як показано на рис. 3.2.19, б.

 Щодо реакції, що виникає в шарнірно-нерухомої опори, нам відомо лише, що вона лежить в площині дії навантажувальних балку сил і проходить через центр шарніра. Величина і напрям реакції нам невідомі. Невідому за величиною і напрямком реакцію  завжди можна замінити двома її складовими - однієї вертикальної  і інший горизонтальної  (Рис. 3.2.19, в).

Шарнірно-рухома опора показана на рис. 3.2.20, а. Така опора відрізняється від шарнірно-нерухомою тим, що у неї опорна подушка поставлена ??на катки, що дають їй можливість пересуватися разом з кінцем балки уздовж її осі по опорній площині. Надалі шарнірно-рухому опору будемо зображати схематично, як показано на рис. 3.2.20, б.

Шарнірно-рухома опора накладає на кінець балки тільки одну зв'язок - вона не дає кінця балки переміщатися в напрямку, перпендикулярному до осі балки. Отже, шарнірно-рухома опора дає лише одну реакцію, невідому за величиною, але відому за напрямком.

Жорстке закріплення кінця балки показано схематично на рис. 3.2.21. Така опора перешкоджає всякому переміщенню кінця балки в площині дії зовнішніх навантажень і, крім того, перешкоджаєобертанню кінця балки. У жорсткому защемленні виникає реакція, невідома за величиною і напрямком, що перешкоджає переміщенню кінця балки, і реактивний момент, що перешкоджає повороту кінця балки. невідому реакцію  завжди можна замінити двома складовими - однієї вертикальної  , І інший горизонтальної  . На цій підставі можна сказати, що на опорі, що представляє жорстке защемлення, виникають три невідомі реакції: вертикальна реакція  , Горизонтальна реакція  і опорний момент М.

Мал. 3.2.21

Визначення опорних реакцій балок.При всіх видах деформацій, що вивчаються в опорі матеріалів, передбачається, що величини деформації невеликі, тому при визначенні опорних реакцій балок можна знехтувати тими змінами, які відбуваються в розташуванні зовнішніх сил, що діють на балку внаслідок деформації балки. У разі дії на балку сил, що лежать в одній площині, статика дає три рівняння рівноваги:

? Xi = 0, ? Yi = 0, ? Мi = 0,

т. е. для рівноваги балки необхідно, щоб суми проекцій всіх сил, прикладених до балки, разом з реакціями опор на осі х и у дорівнювали нулю; крім того, повинна бути дорівнює нулю і сума моментів всіх сил щодо будь-якої точки площини.

Якщо сили, згинальні балку, перпендикулярні її осі, то рівняння ? Xi = 0 звертається в тотожність, і для визначення реакцій залишаються два рівняння статики:

1) ?Yi = 0; 2) ? Мi = 0.

Якщо балка при поперечному вигині має такі опори, що загальне число реакцій, що виникають на опорах, не перевищує двох, то реакції можуть бути завжди визначені з двох рівнянь статики. Такі балки, реакції яких можуть бути визначені з рівнянь статики, називаються статично визначними балками.

Статично визначні балки можуть бути тільки наступних двох видів:

1) балка з одним жорстко-затисненим і іншим вільним кінцем, інакше консоль (рис. 3.2.22, а);

2) балка з однієї шарнірно-нерухомою і інший шарнірно-рухомої опорами (рис. 3.2.22, б, в).

Мал. 3.2.22

Розглянемо на конкретному прикладі визначення реакцій статично визначених балок.

 Попередньо домовимося вісь Х доставляти завжди по осі балки, вісь Y - Вертикально вгору. При складанні рівнянь моментів за позитивні моменти домовимося вважати моменти, спрямовані проти годинникової стрілки. Якщо на балку діє суцільна рівномірно розподілене навантаження, як показано на рис. 3.2.23, то при визначенні реакцій суцільна навантаження замінюється її рівнодіючої. Точка прикладання рівнодіючої суцільний розподіленого навантаження лежить посередині тієї ділянки, на який вона діє. Хмарно рівномірно розподілене навантаження часто задається її інтенсивністю.

під інтенсивністю розподіленого навантаження розуміють величину навантаження, що припадає на одиницю довжини. Якщо вся суцільна навантаження дорівнює F, А довжина ділянки, на який вона діє l, То інтенсивність навантаження буде визначатися за формулою

q = .

Розмірність інтенсивності навантаження виражається зазвичай в Н / м або Н / мм.

Приклад. Балка, затиснена одним кінцем (СМ. Рис. 3.2.23), навантажена рівномірно-розподіленим навантаженням інтенсивності 0,5 кН / м по всій довжині балки і зосередженої силою, яка дорівнює 2кн, на вільному кінці. Визначте реакції защемлення, якщо довжина балки дорівнює 4 м.

Рішення. У затисканні виникають вертикальна реакція і реактивний момент. Напрямок цих реакцій нам невідомо. Направимо поки довільно вертикальну реакцію (R) Вгору, а опорний момент М проти обертання годинникової стрілки. Напишемо умови рівноваги, вибравши за центр моментів точку А:

aMA = M Fl = 0,

звідки знаходимо величину реактивного моменту:

M = .

З рівняння проекцій сил на вісь Y отримуємо:

aUi = R - ql - F = 0,

звідки знаходимо реакцію защемлення:

R = ql + F = 0,5 ? 4 + 2 = 4 кH.

В даному випадку момент М і реакція R вийшли позитивними. Це вказує на те, що їх напрямки нами були обрані правильно. Якщо після визначення реакцій будь-яка з величин виходить зі знаком мінус, то це показує, що попередньо обране її напрямок не збігається з дійсним. Тому в цьому випадку напрямок реакції, отриманої зі знаком мінус, слід змінити на кресленні на протилежне і в подальших розрахунках враховувати її дійсне напрямок.

Побудова епюр згинаючих моментів і поперечних сил. Для оцінки прочностной надійності балки слід встановити перетину, в яких внутрішні силові фактори (поперечна сила (Q) І згинальний момент (М)) Мають максимальні значення. Аналіз внутрішніх силових факторів буде наочним, якщо побудувати графіки зміни поперечних сил і згинальних моментів уздовж центральної осі балки. Епюри будуються аналогічно епюрах поздовжніх сил і крутних моментів. При побудові епюр позитивні значення поперечних сил і моментів відкладають вгору від осі, негативні - вниз; вісь епюри проводять паралельно осі балки.

Розглянемо просту балку, навантажену двома силами F1 и F2 (Рис. 3.2.24). Нехай реакції на лівій і правій опорах дорівнюватимуть RA и RB. Для визначення внутрішніх сил пружності в будь-якому перетині балки застосуємо метод перетинів. Разрежем подумки балку в перерізі, віддаленому на відстані х від лівої опори балки, і розглянемо ліву частину балки, відкинувши її праву частину.

Мал. 3.2.24

Для того щоб ліва частина балки перебувала в рівновазі, в перерізі повинні діяти поперечна сила Q і вигинає момент М. З умови рівноваги лівої частини балки маємо

, RAF1Q = 0, звідки Q = RAF1;

, RAxF1(xa) - M = 0, звідки М = RA ? xF1(xa).

сила Q - Результуюча внутрішніх сил, прикладена до решти балки, чисельно рівна алгебраїчній сумі зовнішніх сил, що діють за одну сторону від перетину, називається поперечної або перерізують силою.

Момент пари внутрішніх сил, прикладений до решти балки, чисельно рівний сумі алгебри моментів зовнішніх сил, що діють за одну сторону від перетину, називається изгибающим моментом в перерізі.

 Так як вся балка під дією зовнішніх сил разом з силами реакцій знаходиться в рівновазі, то сума всіх сил, що діють на частину балки, що лежить лівіше перетину, повинна дорівнювати сумі всіх сил, що діють на частину балки, що лежить правіше перетину, але мати зворотний напрямок .

По тому ж умові рівноваги момент рівнодіючої пари всіх сил, що діють лівіше перетину відносно центра ваги перерізу, має дорівнювати моменту рівнодіючої пари сил, що діють правіше перетину відносно центра ваги перерізу, але мати зворотний напрямок.

Правило знаків при побудові епюр поперечних сил і згинальних моментів:вигинає момент позитивний, якщо він згинає балку опуклістю вниз і вигинає момент негативний, якщо він згинає балку опуклістю вгору (рис. 3.2.25, а).

Поперечна сила позитивна, якщо рівнодіюча зовнішніх сил зліва від перетину спрямована вгору, а праворуч від перетину - вниз і навпаки (рис. 3.2.25, б).

Приклади побудови епюр.Розглянемо ряд типових прикладів, що містять найбільш часто зустрічаються випадки навантаження.

приклад 1. При побудові епюр для балок з одним затисненим кінцем можна не визначати опорних реакцій. Провівши перетин, будемо розглядати рівновагу тієї частини, до якої включені тільки зовнішні активні сили. Для балки (рис. 3.2.26, а) Такий частиною буде ліва. У довільному перерізі балки на відстані х = 0 від вільного кінця поперечна сила дорівнює нулю (Q = 0), так як зовнішнє навантаження не дає складової перпендикулярній осі балки.

Згинальний момент в будь-якому перетині дорівнює зовнішньому моменту на вільному кінці; він позитивний, так як балка від дії зовнішнього моменту отримує позитивну кривизну. Епюри поперечних сил і згинальних моментів побудовані на рис. 3.2.26, б, в. Балка в розглянутому прикладі відчуває чистий вигин, так як поперечна сила у всіх її поперечних перетинах дорівнює нулю. Епюра моментів при чистому вигині є пряму лінію, паралельну осі балки.

Приклад 2. Побудуємо епюри для балки з затисненим кінцем, навантаженої зосередженою силою на вільному кінці (рис. 3.2.27, а). Тут можна не визначати опорних реакцій. Провівши перетин, будемо розглядати рівновагу правої частини, до якої включені зовнішні активні сили. У будь-якому перетині балки на відстані х від вільного кінця поперечна сила дорівнює силі F і позитивна, так як зовнішня сила прагне опустити праву частину балки (Q = F). Епюра поперечних сил (рис. 3.2.27, б) Являє собою пряму лінію, паралельну осі балки.

Згинальний момент в довільному поперечному перерізі балки на відстані х від вільного кінця дорівнює моменту зовнішньої сили F щодо центру цього перетину і негативний, так як ця сила згинає балку опуклістю вгору (прагне повернути праву частину за годинниковою стрілкою):

М = - .

Епюра згинальних моментів - похила пряма (рис. 3.2.27, в). Найбільшого по абсолютній величині значення вигинає момент досягає в перерізі закладення.

Значення поперечної сили в перерізі защемленного кінця збігається з величиною опорної реакції, а значення згинального моменту в цьому перерізі дорівнює величині реактивного моменту. Цими умовами можна користуватися для перевірки правильності побудови епюр в балках з одним затисненим кінцем.

Приклад 3. Побудуємо епюри для балки з затисненим кінцем, до якої прикладена навантаження, рівномірно-розподілена по всій довжині (рис. 3.2.28, а). Нехай на одиницю довжини доводиться навантаження q, Тоді все навантаження, що діє на балку, дорівнює ql. Для цієї балки також немає потреби у визначенні опорних реакцій, якщо розглядати рівновагу лівої частини, до якої включені тільки зовнішні активні сили.

У будь-якому поперечному перерізі балки на відстані х від вільного кінця поперечна сила дорівнює алгебраїчній сумі всіх сил, що діють на ліву частину, т. е. рівнодіюча Q = - qx рівномірно розподіленого навантаження q на ділянці довжиною х. Вона негативна, тому що навантаження qx направлена ??зліва від перетину вниз, т. е. прагне опустити ліву частину.

Епюра поперечних сил (рис. 3.2.28, б) Являє собою пряму похилу лінію, яку можна побудувати, знаючи дві точки. при х = 0 Q = 0; при х = l Q = - ql. Найбільше по абсолютній величині значення поперечної сили Q = - ql в перетині защемлення. Згинальний момент в довільному перерізі визначається за формулою

M = - qx  = - q .

Так як сила  згинає балку опуклістю вгору, вигинає момент від'ємний.

Епюра згинальних моментів - парабола (рис. 3.2.28, в). даючи х різні значення, можна побудувати її по точках.

при х = 0 М = 0; при х = l/ 2 М = - ql2/ 8; при х = l M = - ql2/ 2.

Найбільшого по абсолютній величині значення вигинає момент досягає в перерізі защемлення.

Приклад 4.Побудуємо епюри для двухопорной балки (рис. 3.2.29, а) Навантаженої силою F в довільному перерізі. Складемо рівняння рівноваги. Прирівнявши до нуля суму моментів всіх зовнішніх сил спочатку щодо правої опори, а потім на ліву, знайдемо опорні реакції:

aMB = 0; Fb - RAl = 0;

aMA = -Fa + RBl = 0,

звідки

RA = Fb / l, RB = Fa / l.

закони зміни Q и M на ділянках АС и СВ різні, тому розглянемо кожну ділянку окремо.

 Поперечна сила на всій ділянці АС дорівнює реакції RA, вона постійна по всій довжині ділянки і позитивна, так як сила RA, Що діє на ліву частину, спрямована вгору, т. Е. Піднімає ліву частину, Q = RA = .

Поперечна сила в будь-якому перетині на ділянці СВ дорівнює різниці сил RA и F і також постійна по всій довжині ділянки, т. е. Q = RA - F; Q = - RB = - .

Поперечна сила негативна, так як сила RB піднімає праву частину балки. Епюра поперечних сил показана на рис. 3.2.29, б. У перетині С, Де прикладена сила F, Поперечна сила зазнає розрив на величину F і змінює знак.

Знайдемо вираз згинального моменту в будь-якому перетині на першій ділянці при зміні х1 в межах: 0 < х1 < а:

M = RA x1 = .

Згідно з прийнятим правилом знаків, момент позитивний, так як сила RA прагне повернути ліву частину навколо перетину за годинниковою стрілкою. Отримане для згинального моменту рівняння визначає пряму лінію, яку можна побудувати за двома точками:

- при х1 = 0, т. Е. В перерізі на лівій опорі, М = 0;

- при х1 = а, Т. Е. В перерізі під силою F, .

Складемо вираз згинального моменту для будь-якого поперечного перерізу другої ділянки при зміні х2 від а до l: a < x2 < l:

M = RAx2F(x2a) = F b x2/l - F(x2 - a).

Знаки моментів сил поставлені відповідно до наведеного вище правилом. Згинальний момент на другій ділянці змінюється також за законом прямої лінії; знайдемо дві точки цієї лінії. при х2 = а, Т. Е. В перерізі під силою F  ; при х2 = l, Т. Е. В перерізі на правій опорі

.

Таким чином, повна епюра згинальних моментів при заданому навантаженні представляється на кожній дільниці похилою лінією і має для балки вид трикутника (рис. 3.2.29, в). Згинальний момент у всіх перетинах позитивний. З зіставлення епюр Q и М випливає, що вигинає момент має найбільшу величину в тому розрізі, в якому поперечна сила змінює знак. Значення цього найбільшого моменту визначається по формулі

.

Приклад 5.Побудуємо епюри для двухопорной балки, до якої прикладена рівномірно розподілене навантаження інтенсивністю q (Рис. 3.2.30, а). Склавши і вирішивши рівняння рівноваги, знайдемо опорні реакції:

aMA = 0; - ;

aMB = 0; ,

звідки

.

Для перевірки складаємо суму проекцій на вертикальну вісь

aY = 0; RA - Ql + RB = 0; ql/ 2 - Ql + ql/ 2 = 0.

Рівняння звертається в тотожність, значить реакції обчислені вірно. Проводимо довільну поперечний переріз на відстані х від опори А і розглядаємо ліву відсічену частину. Поперечна сила визначиться з виразу

,

при x = 0  ; при x = Q = 0; при x = l .

епюра Q зображена на рис. 3.2.30, б.

Згинальний момент в проведеному перетині визначається з виразу

,

при x = 0 М = 0; при х = .

Епюра згинальних моментів відіб'ється параболою (рис. 3.2.30, в). Посередині балки при х = l/ 2 поперечна сила змінює знак. У цьому перетині вигинає момент має найбільше значення  . при х = l ? M = 0.

Приклад 6.Побудуємо епюри поперечних сил і згинальних моментів для простої балки, навантаженої зосередженою парою сил з моментом m (Рис. 3.2.31, a).

Визначаємо опорні реакції: реакція RA - Спрямована вгору, RB - Вниз. Складемо рівняння суми моментів щодо опорних точок А и B, отримаємо

МА = 0; -RB l + m = 0; RB= M / l.

МB = 0; -RAl + m = 0; RA= M / l.

Опорні реакції балки утворюють пару сил, момент якої врівноважує момент прикладеної пари.

Ділимо балку на дві ділянки. Перша ділянка - від опори А до точки прикладання зосередженого моменту; х1 змінюється від 0 до а. Друга ділянка - від точки прикладання моменту до опори В; х2 змінюється від а до l. Проводимо довільну перетин на першій ділянці на відстані х1 від опори А і розглядаємо ліву відсічену частину. Поперечна сила на цій ділянці постійна, дорівнює реакції RA і позитивна, так як ця реакція прагне підняти ліву відсічену частину: Q1 = RА = M / l.

 Епюра поперечних сил зображена на рис. 3.2.31,б. Згинальний момент на першій ділянці залежить тільки від сили RА.

M1 = RАx1 = mx1/l.

при х1 = 0 ? M1 = 0; при х1 = а ? M1= Mа / l.

Момент позитивний, так як сила RА згинає балку опуклістю вниз. Епюра моментів на першій ділянці - похила пряма (рис. 3.2.31, б). На другій ділянці - поперечна сила буде такою ж, як на першому, зосереджений момент не впливає на поперечну силу: Q2 = RB = M / l.

Згинальний момент на другій ділянці при розгляді лівої відтятою частини залежить від реакції RA і зосередженого моменту m.

M2 = RAx2 -m = mx2/ L - m = m(x2 - l) /l;

при х2 = а ? M2 = M (a - l) / l = -m (l - a) / l = -mb / l;

при х2 = l ? M2 = 0.

Епюра моментів на другій ділянці (рис. 3.2.31, в), Як і на першому, похила пряма. Під перетином, де прикладена зосереджена пара, в епюрі моментів має місце стрибок, рівний величині моменту пари, так як:

ma / l + mb/l = m(a + b) /l = ml/l = m.

Взаємозв'язок між навантаженнями і видом епюр поперечних сил і згинальних моментів. Розглянувши приклади побудови епюр поперечних сил і згинальних моментів, можна встановити наступні залежності:

Для епюри поперечної сили:

1. На ділянках, навантажених рівномірно розподіленим навантаженням, епюра - похила пряма; нахил цієї прямої до осі залежить від інтенсивності навантаження.

2. На ділянках, вільних від розподіленого навантаження, епюра - пряма, паралельна осі балки.

3. Під перетинами балки, де прикладені зосереджені сили, в епюрі поперечних сил є скачки, рівні величинам прикладених сил.

4. У перетинах, де прикладені зосереджені пари сил, значення поперечної сили не змінюється.

5. У кінцевихперетинах балки поперечна сила чисельно дорівнює зосередженим силам (активним або реактивним), прикладеним в цих перетинах. Якщо в кінцевихперетинах не додано зосереджені сили, то поперечна сила в них дорівнює нулю.

Для епюри згинальних моментів:

1. На ділянках, що несуть рівномірно розподілене навантаження, епюра моментів - квадратна парабола. Опуклість параболи спрямована назустріч навантаженні.

2. На ділянках, вільних від рівномірно розподіленого навантаження, епюра моментів - пряма лінія. Під зосередженими силами на епюрі виходять злами, т. Е. Для декількох суміжних ділянок епюра згинальних моментів - ламана лінія.

3. Під перетином балки, де прикладена зосереджена пара сил, в епюрі згинальних моментів є стрибок, рівний величині моменту прикладеної пари сил.

4. Згинальний момент в кінцевихперетинах балок завжди дорівнює нулю, якщо в перетинах не додано зосереджені пари сил. Якщо в кінцевихперетинах прикладені зовнішні (активні або реактивні) пари сил, то вигинає момент в цих перетинах дорівнює за величиною моменту прикладених пар.

5. На ділянках, де поперечна сила дорівнює нулю, балка відчуває чистий вигин і епюра згинальних моментів - пряма, паралельна осі балки.

6. Згинальний момент отримує максимальне значення в одному з перерізів балки, де змінюється знак поперечної сили.

Наведені висновки про взаємозв'язок епюр М и Q між собою і з зовнішнім навантаженням дозволяють обходитися без складання рівнянь згинальних моментів і поперечних сил для кожної ділянки балки. Досить обчислити ординати епюр для характерних перерізів і з'єднати їх лініями відповідно до викладених вище правилами. Характерними є перетину балки, де прикладені зосереджені сили і моменти (включаючи опорні перерізи), а також перетину, що обмежують ділянки з рівномірно розподіленим навантаженням. Для визначення максимальних значень згинальних моментів додатково обчислюють моменти в перетинах, де поперечні сили дорівнюють нулю.

Побудова епюр без складання рівнянь дає особливо значний ефект для балок, навантажених складної навантаженням (мають багато ділянок навантаження), так як обчислення при цьому менш трудомісткі, ніж при побудові епюр по рівняннях.

Дотичні напруження при згині. У разі поперечного вигину внутрішні сили в брусі врівноважують вигинає момент і поперечну силу. Згинальний момент врівноважується нормальними напруженнями, а поперечна сила - дотичними, які пропорційні поперечної силі Q. Середня величина цих дотичних напружень визначається за відомою нам формулою

Якщо покласти два бруса один на інший і згинати їх силою F, То одну дошку буде деформуватися незалежно від іншого; нижні волокна будуть розтягуватися, а верхні - стискатися. За площині зіткнення один брус буде ковзати по іншому і кінцеві перетину брусів розійдуться (рис. 3.2.32, а). Щоб змусити бруси працювати як одне ціле, потрібно по площині зіткнення докласти дотичні зусилля  , Як показано на рис. 3.2.32, б. В цілому брусі верхня частина не може зрушити щодо нижньої; це і викликає дію дотичних зусиль (напруг) по майданчиках, паралельним нейтральному шару, т. е. між горизонтальними шарами бруса.

Формула для визначення дотичних напружень в балках симетричного перетину була вперше виведена російським інженером-мостобудівником Д. і. Журавським (1821-1891). Потреба в такій формулі була викликана тим, що в XIX столітті при будівництві мостів широко застосовувалися дерев'яні конструкції, а балки з деревини зазвичай мають прямокутний перетин і погано працюють на сколювання вздовж волокон.

Мал. 3.2.32

Формула має такий вигляд:

 , (3.2.27)

де Q - Поперечна сила в перерізі;

Sх - Статичний момент відносно нейтральної осі частини поперечного перерізу, розташованої по одну сторону від розглянутих волокон;

Jx - Момент інерції перерізу щодо нейтральної осі;

b - Ширина перерізу на рівні волокон, де визначаються напруги.

Для прямокутного перетину:

Sx = , Jx = ,

тоді

t = .

Так як  - Середнє дотичне напруження, то максимальні дотичні напруження в 1,5 рази більше середніх. Дотичні напруження досягають великих значень тільки при >  . В інших випадках вони невеликі.

Перевірку міцності балки по дотичним напруженням необхідно робити при дуже коротких балках і при різко мінливих розмірах перетину по висоті.

Поняття про лінійних і кутових переміщеннях.При вигині перетину балки переміщуються перпендикулярно осі балки і повертаються навколо своїх нейтральних осей (рис. 3.2.33). Можливі випадки, коли балка, задовольняючи умові міцності, не володіє достатньою жорсткістю, т. Е. Прогини і кути повороту перетину неприпустимо великі.

 Допустимий прогин балок в машинобудуванні дуже невеликий. Зазвичай він призначається в частках від прольоту балки і становить від 1/200 до 1/1000 прольоту (межопорного відстані).

Під дією поперечних навантажень поздовжня вісь викривляється. Якщо матеріал підпорядковується закону Гука, після зняття навантажень брус випрямляється, тому вигнуту вісь бруса називаютьпружною лінією. За формою пружною лінії балки можна судити про переміщення при вигині.

При прямому поперечному вигині бруса його вісь, викривляючись, залишається в силовій площині. В результаті деформації бруса кожне з його поперечних перерізів отримує вертикальне і горизонтальне переміщення, а саме перетин повертається на деякий кут.

Деформації повинні мати пружний характер, вони досить малі. В цьому випадку горизонтальні переміщення перетинів мізерно малі і не враховуються. Розглядають вертикальні переміщення центру ваги перерізу, звані прогибами (У). Максимальні прогини позначають f = уmах. Для забезпечення нормальної роботи встановлюється на балках обладнання проводять розрахунок на жорсткість.

Умова жорсткості виражається нерівністю

,

де f - Максимальний розрахунковий прогин балки;

[f] - Допустимий прогин.

Іноді перевіряється кут повороту перетину  (Рис. 3.2.34).

 Існує кілька методів визначення переміщення перетинів при вигині. Один з них заснований на диференціюванні рівняння пружної лінії, більш раціональний спосіб - використання інтегралів Мора. Метод Мора - універсальний спосіб визначення лінійних і кутових переміщень в будь-яких системах.

Для полегшення розрахунків на жорсткість можна використовувати формули прогинів і кутів повороту перерізів балок для найпростіших випадків навантажень.

При вирішенні використовуємо принцип незалежності дії сил. Заданий випадок навантаження ділиться на складові, для яких прогини розраховуються за відомими табличним формулами, результати розрахунків підсумовуються.

Обмеження кута повороту вводиться для забезпечення нормальної роботи підшипників ковзання і роликових підшипників.

У цьому випадку перевіряється додаткову умову жорсткості:

.

Тема 7. Складний опір. Розрахунок по теоріям міцності

Косий вигин. Більшість відповідальних деталей і вузлів авіаційної техніки працюють в умовах складного опору. Так, наприклад, крило літака в цілому, його лонжерони і інші елементи піддаються одночасно вигину і крученню. Ці ж деформації випробовують фюзеляж літака і вали передач двигуна. Вузол кріплення двигуна до фюзеляжу - рама, а також стійка шасі літака працюють на вигин і розтягання - стискання.

До сих пір ми розглядали плоский вигин, коли площина дії навантажень збігалася з поздовжньою площиною симетрії балки або взагалі з однією з її головних площин. Деформація вигину при цьому відбувалася в площині дії моментів, а нейтральна вісь збігалася з головною віссю інерції поперечного перерізу і була перпендикулярна до площини дії моментів. Однак бувають випадки, коли площина дії згинальних моментів не збігається ні з однією з головних площин балки. Такий вигин називається косим вигином.

Розглянемо приклад косого згину. Нехай балка прямокутного перерізу, затиснена одним кінцем (рис. 3.2.35, а, б) Згинається силою F, Що діє перпендикулярно до осі балки на вільному кінці і складовою кут з головною площиною ху.

Так як площину дії згинального моменту в даному випадку не збігається ні з однією з головних площин балки, то це буде випадок косого згину. Абсолютне значення згинального моменту в будь-якому перетині, що розташовується на відстані на відстані х від защемлення, буде дорівнює

М = F(lх).

розкладемо силу F на дві складові Fz и Fy, Що діють за головним осях перетину у и z. Тоді абсолютні значення складових моментів дорівнюватимуть;

Мz = Fy(lx) = F(lx) cosa, My = Fz (lx) = F(lx)sina.

моменти My и Мz діють в головних площинах балки. Напруги від кожного з цих моментів, взятих окремо, ми визначати вміємо. Користуючись законом незалежності дії сил, можна знайти напруги, що виходять при одночасній дії моментів My и Мz. таким чином, випадок косого згину можна завжди звести до двох плоским, або, як іноді кажуть, до простих вигинів.

При дії тільки одного моменту Мz нейтральної віссю буде вісь z (Рис. 3.2.35, в), І нормальне напруга для будь-якої точки N з координатами z, у, Взятої в першому квадраті перетину mn, Визначається за формулою

s1 = .

Напруга в тій же точці від дії тільки моменту Мy (Рис. 3.2.35, г) Одно:

s2 = .

Мал. 3.2.35

При одночасній дії двох моментів Мy и Mz напруга в будь-якій точці перетину дорівнюватиме алгебраїчній сумі напруг 1 и 2 т. е.

s = s1 + s2=  . (3.2.28)

У цю формулу координати у, z точок перетину і згинальні моменти підставляються зі своїми знаками. координати z и у позитивні в першій чверті, негативні в третій чверті, у другій чверті у позитивна z негативна, а в четвертій чверті у негативна, z позитивна. Якщо момент діє так, що в розглянутій чверті він викликає розтягнення, то йому приписується знак плюс, а якщо стиск, то мінус. Найбільше сумарне напруга буде в точках В и С. Абсолютні значення цих напруг будуть однакові. Рівняння нейтральної лінії отримаємо, прирівнюючи нулю праву частину формули (3.2.28):

 = 0 або .

Цьому рівнянню прямої лінії задовольняють значення у = 0 і z = 0; сле-послідовно, нейтральна лінія проходить через центр ваги поперечного перерізу. Визначивши з останнього виразу відношення у/z, Знайдемо тангенс кута, що складається нейтральної лінією з позитивним напрямком осі z (Рис. 3.2.35, д):

tgb=  = - Tga .

З формули видно, що для таких перетинів, у яких Jy = Jz (Квадрат, коло та ін.), Нейтральна лінія завжди буде перпендикулярна до площини дії згинального моменту, в якій і буде відбуватися деформація вигину, не може бути косого згину.

Гіпотези міцності.Вище розглядалася робота матеріалів при різних видах деформацій, існуючих окремо і при яких виникають напруги або тільки нормальні або дотичні. Напруги при таких видах деформацій в кожній точці перетину можна складати алгебраїчно.

Часто зустрічаються і мають велике практичне значення випадки поєднання основних видів деформацій, коли в поперечних перетинах виникають і нормальні, і дотичні напруження, розподілені нерівномірно і за різними законами. Для таких випадків дослідне визначення величин, що характеризують міцність, неможливо.

При оцінці міцності доводиться грунтуватися на механічні характеристики матеріалу, отриманих з діаграми розтягування, а умови міцності складаються на основі наукових припущень (гіпотез) про те, який фактор викликає появу небезпечного стану. Можна вважати, що небезпечний стан виникає при досягненні нормальними напруженнями межі текучості або межі пропорційності. З іншого боку, можна вважати, що небезпечний стан виникає тоді, коли найбільше відносне подовження досягає певного значення.

Можливо і третє припущення, що поява небезпечного стану пов'язано з тим, що дотичні напруження досягають певного значення. Виникнення небезпечного стану можна пов'язати також з досягненням певного значення величини енергії, що накопичується в матеріалі при деформації.

На основі зазначених вище можливих критеріїв небезпечного стану розроблено п'ять теорій міцності. Детальний розгляд цих теорій виходить за межі нашої навчальної програми. Для розрахунку валів, болтових з'єднань, гвинтів домкратів та ін. Застосовують третю або п'яту теорію міцності.

Вигин з крученням.Випадком спільної дії вигину і крутіння є передача потужності валом. Для розрахунку валів на спільну дію згину і крутіння застосовують третю або п'яту теорію міцності.

За третьою теорії міцності (теорія найбільших дотичних напружень), еквівалентне напруження обчислюють за формулою

sекв =  . (3.2.29)

За п'ятої теорії міцності (енергетична теорія), формула для еквівалентних напружень має вигляд

sекв = .. (3.2.30)

У цих формулах і нормальне і дотичне напруження в небезпечній точці поперечного перерізу бруса.

Максимальні нормальні і дотичні напруження у круглих валів обчислюють за формулами:

; ,

де полярний момент опору (Wr), І осьової момент (Wх) Пов'язані рівністю

Wr = 2Wх.

При поєднанні вигину і крутіння небезпечними будуть точки поперечного перерізу вала, найбільш віддалені від нейтральної осі.

Підставами значення напруг в прийняті рівняння теорій міцності, отримаємо

sекв =  і sекв = .

Вираз, що стоїть в чисельнику, назвемо еквівалентним моментом.

Розрахункова формула для круглих валів набирає вигляду

sекв =  . (3.2.31)

Кручення і розтягування або стиснення.Поєднання деформацій кручення і розтягування відчувають, наприклад, болти і гвинти, а поєднання крутіння і стиснення - гвинти домкратів і т. Д. Нормальні і максимальні дотичні напруження в цих випадках обчислюють за формулами

s =  ; t = .

Застосувавши третю теорію міцності, отримаємо розрахункову формулу

sекв =  . (3.2.32)

Застосувавши п'яту теорію міцності, отримаємо

sекв =  . (3.2.33)

Позацентровий розтягання - стискання. Розглянемо навантаження бруса осьової силою F, Паралельної осі, яка додається в деякій точці Е, Т. Е. Що діє з деяким ексцентриситетом е. В цьому випадку брус відчуває позацентровий розтягнення. Докладемо в точці О дві рівні і протилежно спрямовані сили F? і F??, рівні F, Від цього ні рівновагу бруса, ні напруги в його поперечних перетинах не зміняться.

Розглядаючи окремо ці сили, можна зробити висновок, що сила F? викликає розтягнення, а решта пара сил утворює момент Fе, вигинає брус.

сила F?, діюча по осі бруса, викликає напруження розтягу, яке визначається за формулою

,

це напруга розподіляється рівномірно по всьому поперечному перерізі бруса і має однакову величину в будь-якому перетині (рис. 3.2.36, б).

 згинальний момент Fe постійний по довжині бруса. Він викликає чистий вигин, при якому виникають напруги

.

З рис. 3.2.36 видно, що верхні волокна бруса розтягуються силою F ? і изгибающим моментом Fе, а нижні волокна розтягуються силою F ? і стискаються изгибающим моментом Fе. При цьому в одній і тій же площині виникають нормальні напруження і, отже, сумарні напруги дорівнюватимуть сумі алгебри напружень (sр + sи), Тоді

.

Таким чином, у верхніх волокнах виникають максимальні напруги, в нижніх - мінімальні:

; .

Розрахунок тонкостінних осесиметричних оболонок. тонкостінної осесиметричноюназивається оболонка, що має форму тіла обертання, товщина якої дуже мала в порівнянні з радіусами кривизни її поверхні.

 На рис. 3.2.37 зображена серединна (серединної називається поверхню, рівновіддалена від наpужной і внутрішньої поверхонь оболонки) поверхню осесиметричної оболонки. Виділимо з неї нескінченно малий елемент двома меридіональними площинами mm1m2и тт3т2(Т. Е. Площинами, що проходять через вісь симетрії оболонки) з кутом dj між ними і двома площинами, перпендикулярними осі симетрії оболонки, одна з яких перетинає серединну поверхню оболонки по лінії ВС, а інша по лінії AD.

Радіуси кривизни серединної поверхні елемента ABCD в меридіональної площині позначимо rm, А радіуси її кривизни в площині, перпендикулярній меридіану, - rq (Рис. 3.2.38).

Розрахунки тонкостінних осесиметричних оболонок виконують при проектуванні різних резервуарів, газгольдерів, котлів і т. Д. Навантаження, які діють на внутрішню поверхню такої оболонки, перпендикулярні цій поверхні і симетричні щодо осі симетрії оболонки.

Мал. 3.2.38

Якщо оболонка досить тонка, при розрахунку можна знехтувати вигином поверхні оболонки і вважати, що напруги по товщині стінки оболонки розподілені рівномірно. Такий розрахунок називається розрахунком по безмоментной теорії. Якщо оболонка недостатньо тонка, має різкі переломи в контурі, жорсткі закріплення і навантажена зосередженими силами або моментами, то в зонах, прилеглих до місць переломів, закріплень, прикладання навантаження, а також у країв оболонки виникає вигин. Однак у міру віддалення від цих місць згинальні моменти швидко згасають; тому розрахунок віддалених зон таких оболонок може проводитися по безмоментной теорії.

елемент ABCD оболонки в ортогональних проекціях показаний на рис. 3.2.38, а. По бічних гранях елемента АВ и CD, збігається з меридіональними площинами, в силу симетрії оболонки і навантаження дотичні напруження дорівнюють нулю; за цими гранях діють лише нормальні напруження sq (Окружні напруги).

Із закону парності дотичних напружень слід, що дотичні напруження по бічних гранях ВС и AD також дорівнюють нулю; за цими гранях діють лише нормальні напруження sm (Меридіональні напруги). Крім напружень sq і sm на елемент оболонки діє навантаження у вигляді тиску р, Перпендикулярного поверхні ABCD.

З умови рівноваги нескінченно малого елемента оболонки у вигляді суми проекцій доданих до неї сил на вісь v, Збігається з нормаллю до поверхні ABCD можна вивести рівняння Лапласа:

 , (3.2.34)

де d - товщина елемента ABCD оболонки.

Формула (3.2.34) використовується для визначення напружень в стінці тонкостінної оболонки.

З одного рівняння (2.2.34) дві невідомі величини sq і sm визначити неможливо; тому напруги в стінці оболонки можна знайти лише на основі спільного рішення рівняння Лапласа і рівняння рівноваги частини оболонки, відтятою конічної поверхнею, перпендикулярної меридіанах. винятком є сферична (кульова) оболонка, Що знаходиться під дією газового тиску; для неї

,

де D - Діаметр сфери.

Внаслідок центральної симетрії оболонки і діючої на неї навантаження sq = sm, А тому з рівняння (3.2.34)

 . (3.2.35)

Для оболонки, що має форму циліндра або конуса, З рівняння Лапласа можна визначити sq, Навіть якщо sm ще не відомо. Це випливає з того, що в зазначених випадках rm = ? (меридіан оболонки являє собою пряму лінію) і, отже, sm/ rm = 0, тому

.

Тема 8. Стійкість стиснутих стержнів

Поняття про стійкий і нестійкій рівновазі. Щодо короткі і масивні стрижні розраховують на стиск, т. К. Вони виходять з ладу в результаті руйнування або залишкових деформацій. Довгі стрижні невеличкого поперечного перерізу під дією осьових стискаючих сил згинаються і втрачають рівновагу. Такі стрижні працюють на вигин і стиск.

Рівновага вважають стійким, якщо за рахунок сил пружності після зняття зовнішньої відхиляє сили стрижень відновить первісну форму (рис. 3.2.39).

Якщо пружне тіло після відхилення від рівноважного стану не повертається до вихідного стану, то кажуть, що сталася втрата стійкості, а рівновага була нестійким.

Втрату стійкості під дією центрально прикладеної поздовжньої стискаючої сили називають поздовжнім вигином.

На стійкість рівноваги впливає величина стискає сили.

Найбільше значення стискаючої сили, при якій прямолінійна форма стрижня зберігає стійкість, називають критичної силою. Навіть при невеликому перевищенні критичного значення сили стрижень неприпустимо деформується і руйнується.

Розрахунок на стійкість. Розрахунок на стійкість полягає у визначенні допустимої стискає сили і в порівнянні з нею сили діючої:

,

де F - Діюча стискає сила;

[F] - Що допускається стискає сила, що забезпечує певний запас стійкості;

Fкр - Критична сила;

[sy] - Допустимий коефіцієнт запасу стійкості.




 Теоретична механіка |  Додавання сходяться сил. Система сил, лінії дії яких перетинаються в одній точці, називається системою сходяться сил. |  Швидкості точок тіла при плоскопаралельному русі 1 сторінка |  Швидкості точок тіла при плоскопаралельному русі 2 сторінка |  Швидкості точок тіла при плоскопаралельному русі 3 сторінка |  Швидкості точок тіла при плоскопаралельному русі 4 сторінка |  Швидкості точок тіла при плоскопаралельному русі 5 сторінка |  Диференціальні рівняння обертання твердого тіла навколо нерухомої осі. |  Можливі (віртуальні) переміщення системи |  Опір матеріалів |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати