Головна

Тема 12. Повторні незалежні випробування

  1.  А. Метод випробування палі пробної статичним навантаженням
  2.  Квиток 9. Категорії випробування дослідних зразків
  3.  Види випробувальних перешкод при випробуваннях на зовнішню стійкість
  4.  Врізка 22. Досвід розробки і випробування товарів
  5.  Залежні і незалежні готелі.
  6.  Залежні і незалежні події
  7.  Випробування в ринкових умовах

[6] гл. 5; [7] № 112, 115, 119, 120, 131.

Розберіть вирішення завдань 16-19 методичних вказівок.

Завдання 16. Імовірність схожості насіння пшениці дорівнює 0,9. Яка ймовірність того, що з чотирьох посіяних насіння зійдуть не менше трьох?

Рішення. Нехай подія А - з 4 насіння зійдуть не менше 3 насіння; подія В - з 4 насіння зійдуть 3 насіння; подія С - з 4 насіння зійдуть 4 насіння. За теоремою додавання ймовірностей

Р (А) = Р (В) + Р (С).

Ймовірності Р (В) і Р (С) визначимо за формулою Бернуллі, яка застосовується в наступному випадку. Нехай проводиться серія n незалежних випробувань, при кожному з яких ймовірність настання події постійна і дорівнює р, а ймовірність не- настання цієї події дорівнює q = 1-р. Тоді ймовірність того, що подія А в n випробуваннях з'явиться рівно R раз, обчислюється за формулою Бернуллі

P  (R) = C ,

де C =  - Число поєднань з n елементів по R.

тоді

Р (В) = Р  (3) = С р q = ;

Р (С) = Р  (4) = С .

шукана ймовірність

Р (А) = 0,2916 + 0,6561 = 0,9477.

завдання 17. Імовірність схожості насіння пшениці дорівнює 0,9. Знайти ймовірність того, що з 400 посіяних насіння зійдуть 350 насіння.

Рішення. Обчислити шукану ймовірність Р  (350) за формулою Бернуллі важко через громіздкість обчислень. Тому застосуємо наближену формулу, яка має локальну теорему Лапласа:

,

де  і х = .

З умови задачі р = 0,9; q = 1-0,9 = 0,1; n = 400; R = 350.

Тоді х =

З таблиці 1 додатків знаходимо  (-1,67) =  (1,67) = 0,0989. Шукана ймовірність дорівнює

.

Завдання 18. Серед насіння пшениці 0,02% бур'янів. Яка ймовірність того, що при випадковому відборі 10 000 насіння буде виявлено 6 насіння бур'янів?

Ре йшов і е. Застосування Локальної теореми Лапласа через малу ймовірність р = 0,0002 призводить до значного відхилення ймовірності від точного значення  Тому при малих значеннях р для обчислення  застосовують асимптотичну формулу Пуассона

 , Де е = 2,7182 ...;  = Ін.

Ця формула використовується при  10, причому чим менше р і більше п, тим результат точніше.

За умовою завдання р = 0,0002; n = 10 000; R = 6. Тоді  = 10 000  0,0002 = 2 і

.

Завдання 19. Відсоток схожості насіння пшениці дорівнює 90%. Знайти ймовірність того, що з 500 посіяних насіння зійдуть від 400 до 440 насіння.

Рішення. Якщо ймовірність настання події А в кожному з п випробувань постійна і дорівнює р, то ймовірність  того, що подія А в таких випробуваннях настане не менше  раз і не більше  раз визначається за інтегральною теоремою Лапласа наступною формулою:

 , де

, .

Функція Ф (х) =  називається функцією Лапласа. У додатках (табл. 2) дані значення цієї функції для  . При х> 5 функція Ф (х) = 0,5. При негативних значеннях х в силу непарності функції Лапласа Ф (х) = - Ф (х). Використовуючи функцію Лапласа, маємо:

.

За умовою завдання n = 500; р = 0,9; q = 0.1; ;  . За наведеними вище формулами знаходимо :

; .

тоді

.

Питання для самоперевірки

1. Що називається подією? Наведіть приклади подій; достовірних подій; неможливих подій,

2. Які події називаються несумісними? сумісними? протилежними?

3. Що називається відносною частотою події?

4. Сформулюйте статистичне визначення ймовірності події.

5. Сформулюйте класичне визначення ймовірності події.

6. Що називається умовною ймовірністю події?

7. Сформулюйте теореми множення ймовірностей для залежних і незалежних подій.

8. Напишіть формулу повної ймовірності.

9. Як знайти найімовірніше число наступів події при повторних випробуваннях?

10. Напишіть формулу Бернуллі. В яких випадках вона застосовується?

11. Сформулюйте локальну і інтегральну теореми Лапласа.

12. Напишіть формулу Пуассона. В яких випадках вона застосовується?

 




 Лінійна алгебра |  Приклади РІШЕННЯ ЗАВДАНЬ |  Тема 2. Векторна алгебра та аналітична геометрія в просторі |  Тема 3. Елементи лінійної алгебри |  Тема 4. Введення в аналіз |  Тема 5. Похідна та диференціал |  Тема 6. Додатки похідною |  Тема 7. Функції декількох змінних |  Тема 9. Визначений інтеграл |  Тема 10. Диференціальні рівняння |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати