Головна

Кінець геометрії?

  1.  I. Проторенессанс кінець 13 - початок 14 ст.- дученто. (Пізано, Каваліні) Флоренція
  2.  While (не кінець моделювання) do
  3.  While (не кінець моделювання) do
  4.  А. Кінець династії Рюриковичів і питання про престолонаслідування
  5.  АПЕЙРОН (грец. ? - негативна частка, peiron - межа, кінець) - поняття давньогрецької філософії, що позначає "безмежне".
  6.  Благовіщенський собор в Кремлі. Кінець XV століття.
  7.  Внутрішній стан єврейства перед руйнуванням Єрусалима. - Останні криваві подвиги синагоги. - Стефан первомученик і Яків праведний. - Кінець довготерпінню Божому.

Хоча геометрія послужила нам хорошу службу, залишилися приховані проблеми, які віщують нам неприємності в майбутньому. Щоб переконатися в цьому, необов'язково відправлятися в далеку подорож, а досить дійти до найближчого озера чи ставка. А якщо у вашій місцевості немає озер, підійдуть басейн або ванна. Поверхня озера може виглядати ідеально гладкою в спокійний, безвітряний день, але це ілюзія. Якщо подивитися на поверхню за допомогою приладу з високою роздільною здатністю, то виявиться, що вона зубчаста, а не гладка. Ми побачимо, що поверхню фактично складається з окремих молекул води, які постійно погойдуються, переміщаються всередині ставка і вільно проходять між поверхнею ставу і повітрям. З цієї точки зору поверхня не є статичною і добре визначається. Насправді навряд чи можна кваліфікувати водну гладь як поверхня в тому сенсі, в якому ми зазвичай використовуємо цей термін.

Аналогічна ситуація спостерігається з класичною геометрією, оскільки, на думку гарвардського фізика Кумрун Вафи, вона дає лише наближене, а не точне або фундаментальне опис природи. Хоча справедливості заради варто сказати, що це наближений опис служить хорошим фундаментом і майже бездоганно описує наш Всесвіт, за винятком планковского масштабу (10-33см) - області, в якій на стандартну геометрію накладаються квантові ефекти і виконання простих вимірювань стає неможливим.

Головні труднощі в рішенні задач на дуже дрібних масштабах пов'язана з принципом невизначеності Гейзенберга, який унеможливлює локалізацію окремої точки або точну фіксацію відстані між двома точками. Тому об'єкти планковского розміру не стоять на місці, а постійно коливаються, змінюючи свої параметри, включаючи місце розташування, розмір і кривизну. Якщо класична геометрія говорить нам, що дві площини перетинаються по лінії, а три площини перетинаються в точці, то з квантової точки зору ми повинні уявити собі три площини, що перетинаються в околиці якоїсь сфери, яка охоплює область можливих положень для цієї точки.

Для дослідження Всесвіту на рівні прихованих вимірів або окремих струн нам необхідний новий вид геометрії, іноді званої квантової геометрією , Здатної працювати як на найбільших, так і на самих маленьких масштабах, які тільки можна уявити. Геометрія такого роду повинна бути сумісна з загальною теорією відносності на великих масштабах і квантовою механікою на малих масштабах і збігатися там, де обидві теорії перетинаються. Здебільшого квантова геометрія поки не існує. Вона гіпотетична, хоча і важлива, швидше за надія, ніж реальність, назва для пошуку чітко визначеної математичної теорії. «Ми не знаємо, як така теорія буде виглядати або як вона повинна називатися, - каже Вафа. - Для мене не очевидно, що вона повинна називатися геометрією ». [280] Але незалежно від назви, ми вважаємо, що геометрія, в тому вигляді як вона існує зараз, вичерпала себе і її необхідно замінити на щось більш потужне - на геометрію , якої ми ще не знаємо. Це шлях усіх наук, як і повинно бути, оскільки застій означає смерть.

«Ми завжди шукаємо області, в яких наука виявляється безсилою, - пояснює фізик Амстердамського університету Роберт Дікграаф. - Геометрія тісно пов'язана з теорією Ейнштейна, і коли теорія Ейнштейна відчуває потрясіння, то геометрію чекає та ж доля. В кінцевому рахунку, рівняння Ейнштейна необхідно замінити так само, як вони свого часу замінили рівняння Ньютона, і геометрія піде тим же шляхом ». [281]

Але не будемо перекладати всю відповідальність на геометрію, тому що проблема більшою мірою пов'язана з фізикою, ніж з математикою. Перш за все, планковские масштаб, де починаються всі вищезгадані неприємності, взагалі не є математичною концепцією.

це фізична шкала довжини, маси і часу. Навіть той факт, що класична геометрія не працює на планковские масштабі, не означає, що щось не так з математикою як такої. Методи диференціального обчислення, що лежать в основі ріманової геометрії, яка, в свою чергу, є основою для загальної теорії відносності, не водночас перестають працювати при критичному масштабі довжини. Диференціальна геометрія призначена за самою своєю суттю для роботи на нескінченно малих довжинах, які можна спрямовувати до нуля так близько, як ви побажаєте. «У нас немає причин вважати, що екстраполяція загальної теорії відносності до найдрібніших просторових масштабів буде проблемою з точки зору математики, - говорить Девід Моррісон, математик Каліфорнійського університету в Санта-Барбарі. - Тут немає реальної проблеми і з точки зору фізики, за винятком того, що ми знаємо, що це не так ». [282]

У загальній теорії відносності метрика, або функція, довжини говорить нам про кривизну в кожній точці. На дуже малих масштабах довжини метричні коефіцієнти коливаються в широких межах, а це означає, що довжина і кривизна також будуть сильно коливатися. Іншими словами, геометрія буде відчувати такі сильні зрушення, що навряд чи буде мати сенс називати її геометрією. Це схоже на залізничну систему, де рейки можуть зменшуватися, збільшуватися й скривлюватися як завгодно, - така залізна дорога ніколи не доставила б вас до місця призначення або ви прибули б туди не за розкладом. Як то кажуть, це не для залізниці і не для геометрії.

Як і багато інших проблем, яких ми торкнулися в цій книзі, ці геометричні дивацтва випливають з фундаментальної несумісності квантової механіки і загальної теорії відносності. Квантову геометрію можна розглядати як мову квантової гравітації (математичний формалізм, необхідний для вирішення проблеми сумісності), який би ця теорія не виявилася. Існує ще один спосіб розгляду даної проблеми фізиками: геометрія сама по собі може бути явищем швидше «похідним», ніж фундаментальним. Якщо ця точка зору вірна, то вона може пояснити, чому традиційні геометричні опису світу дають збої в областях, які відрізняються малими розмірами і дуже високими енергіями.

«Похідна» явище можна бачити в прикладі зі ставком або озером, яке ми обговорювали раніше в цьому розділі. Якщо ви дивитеся на велику водойму, то доцільно розглядати воду як рідину, яка тече і утворює хвилі і характеризується загальними властивостями, такими як в'язкість, температура і температурні градієнти. Але якщо ви розглядаєте крихітні краплі води під мікроскопом, то, характеризуючи їх як рідина, ви не зможете адекватно описати воду в цілому. Вода, як відомо, складається з молекул, які в малому масштабі поводяться скоріше як більярдні кулі, ніж як рідина. «Ви не можете, розглядаючи хвилі на поверхні озера, сказати що-небудь про молекулярну структуру або про рух молекул H2O, - пояснює фізик Массачусетського технологічного інституту Алан Адамс. - Це зумовлено тим, що опис води як рідини не є самим фундаментальним способом опису води. З іншого боку, якщо відомо, де знаходиться кожна молекула і як вона рухається, ви, в принципі, можете зробити всі висновки про водоймі і особливості його поверхні. Іншими словами, мікроскопічні властивості містять макроскопічну інформацію ». [283] Ось чому ми вважаємо мікроскопічне опис більш фундаментальним, а макроскопічні властивості - похідними, тобто випливають з нього.

Яке відношення все це має до геометрії? Ми знаємо, що у відповідності із загальною теорією відносності гравітація є наслідком викривлення простору-часу, але, як ми бачили, такий опис гравітації для великих відстаней і низьких енергій, яке в нашому випадком ми називаємо класичної геометрією, не працює на планковские масштабі. Виходячи з цього ряд фізиків прийшли до висновку, що сучасна теорія гравітації, теорія Ейнштейна, є всього лише низькоенергетичним наближенням того, що відбувається насправді. Ці вчені вважають, що, подібно до того як хвилі на поверхні озера є наслідком основних молекулярних процесів, які ми не можемо бачити, гравітація і її еквівалентна формулювання - геометрія також випливає з фундаментальних ультра-мікроскопічних процесів, які, на наш погляд, повинні мати місце , навіть якщо ми не знаємо точно, що вони собою являють. Саме це люди мають на увазі, коли говорять, що гравітація або геометрія є «похідними» квантової геометрії та квантової гравітації на планковские масштабі.

Вафу турбує можливий «кінець геометрії», що цілком справедливо, і не слід до цього ставитися як до трагедії - грецької або будь-якої іншої. Крах класичної геометрії слід вітати, а не боятися, припускаючи, що ми можемо замінити її чимось кращим. Область геометрії постійно змінювалася протягом тисячоліть. Якби давньогрецькі математики, в тому числі сам великий Евклід, сьогодні були присутні на семінарі з геометрії, то вони б гадки не мали, про що ми говоримо. А незабаром мої однолітки і я виявляться в тій же човні по відношенню до геометрії майбутніх поколінь. Хоча я не знаю, як геометрія в кінцевому підсумку буде виглядати, я вірю, що вона буде жива і здорова і буде почувати себе навіть краще, ніж будь-коли, і буде допомагати в різних ситуаціях краще і частіше, ніж в даний час.

Джо Полчінскі, фізик з Санта-Барбари, як ніби погоджується з цією точкою зору. Він не вважає, що крах звичайної геометрії на планковские масштабі є сигналом про «кінець шляху» для його коханої дисципліни. «Зазвичай, коли ми дізнаємося щось нове, старі речі не слід відкидати, але переосмислювати і розширювати їх застосування», - каже Полчінскі. Перефразовуючи Марка Твена, він зауважує, що звістки про смерть геометрії сильно перебільшені. За короткий період в кінці 1980-х років, додає він, геометрія стала «старої капелюхом» в фізиці. Застаріла. «Але потім вона повернулася сильнішою, ніж будь-коли. З огляду на, що до теперішнього часу геометрія грала таку важливу роль у відкриттях, у мене є всі підстави вважати, що це частина чогось більшого і кращого, а не те, що, врешті-решт, буде відкинуто ». [284] Ось чому я стверджую, що квантова геометрія, або як ви її називаєте, повинна стати «розширенням» геометрії, за висловом Полчінскі, так як нам необхідно щось, що може працювати і на великому масштабі, як класична геометрія, і в той же час забезпечувати надійні фізичні опису на ультрамалих масштабах.

Едвард Віттен підтримує цю точку зору. «Те, що ми зараз називаємо" класичної геометрією "значно ширше, ніж те, що розуміли під геометрією всього століття тому, - каже він. - Я вважаю, що теорія на планковские масштабі, досить імовірно, включає в себе новий вид узагальненої геометрії або розширення цього поняття ». [285]

Узагальнення такого роду, пов'язані з теорією, дійсної в певній галузі, і розширення сфери її застосування на ще більшу область робилися в геометрії неодноразово. Згадаймо створення неевклідової геометрії. «Якби ви запитали Миколу Лобачевського про геометрію його молодості», тобто геометрії кінця XVIII століття, то «він, ймовірно, перерахував би п'ять постулатів Евкліда, - каже Адамс. - Якби ви запитали його пізніше, коли він став великим вченим, то він міг би сказати, що існує п'ять постулатів, але, може бути, вони не потрібні нам все ». [286] Зокрема, він виділив би п'ятий постулат Евкліда про тому, що паралельні лінії ніколи не перетинаються, як необов'язковий. Зрештою, саме Лобачевський зрозумів, що, виключивши постулат про паралельних, він створив абсолютно нову геометрію, яку ми називаємо гіперболічної геометрією. Але з того, що паралельні лінії не перетинаються на площині, тобто в області, де працює евклідова геометрія, зовсім не випливає, що це ж матиме місце на поверхні сфери. Наприклад, ми знаємо, що всі меридіани на глобусі сходяться на північному і південному полюсах. Аналогічно, хоча сума кутів трикутника, намальованого на площині, завжди дорівнює 180 градусам, на поверхні сфери сума цих кутів завжди більше 180 градусів, а на поверхні сідла їх сума менше 180 градусів.

Лобачевський опублікував свої суперечливі ідеї по неевклідової геометрії в 1829 році, і вони були поховані в маловідомому російською журналі «Казанський вісник». Кілька років по тому угорський математик Янош Бойяи опублікував свій власний трактат по неевклідової геометрії, але робота, на жаль, стала додатком до книги, написаної його батьком, математиком Фаркашем Бойяи. Приблизно в той же час Гаусс розробляє аналогічні ідеї в області диференціальної геометрії. Він відразу зрозумів, що ці нові поняття криволінійних просторів і «внутрішньої геометрії» переплітаються з фізикою. «Геометрія слід відносити не до арифметики, яка є чисто апріорної наукою, а до механіки », - говорив Гаусс. [287] Як мені здається, він мав на увазі, що геометрія, на відміну від арифметики, повинна спиратися на емпіричну науку, а саме на фізику, яка в той час називалася механікою, щоб її опису були вагомими. Гауссова внутрішня геометрія поверхонь заклала фундамент для ріманової геометрії, яка, в свою чергу, призвела до блискучих ідей Ейнштейна про просторі-часі.

Таким чином, піонери науки, подібні Лобачевському, Бойяи і Гауса, що не відкинули всі, що було зроблено до них, а просто відкрили двері новим можливостям. Їх новаторські роботи сприяли створенню більш експансивної геометрії, так як її принципи не обмежувалися площиною, а могли бути застосовні до всіх криволінійних поверхонь і просторів. Хоча елементи геометрії Евкліда і раніше зберігаються в цій розширеній, більше загальної геометрії. Наприклад, якщо ви берете невелику ділянку земної поверхні, скажімо, на Манхеттені, то вулиці і проспекти можна вважати паралельними і перпендикулярними для всіх практичних цілей. Евклідова геометрія достовірно описує обмежену область, де ефектами кривизни можна знехтувати, але не працює, якщо ви дивитеся на планету в цілому. Можна також розглянути трикутник, намальований на повітряній кулі. Коли куля відносно невеликий, то сума кутів трикутника більше 180 градусів. Але якщо ми будемо роздувати повітряна куля, то радіус кривизни (r) буде ставати все більше і більше, а сама кривизна (рівна 1 / r2) - все менше і менше. При наближенні r до нескінченності, кривизна буде прагнути до нуля, а сума кутів трикутника в межі буде точно дорівнює 180 градусам. Як висловився Адамс, «це саме та ситуація на рівній площині, в якій евклідова геометрія є чемпіоном. Вона працює досить добре і на сфері з невеликою кривизною, але, якщо ви надуває повітряну кулю і кривизна сфери стає все менше і менше, то відповідність геометрії Евкліда стає все краще і краще. Таким чином, ми бачимо, що евклідова геометрія дійсно є тільки приватним епізодом більш загального сюжету, коли радіус кривизни є нескінченним, сума кутів трикутника становить 180 градусів і все постулати евклідової геометрії застосовні ». [288]

Аналогічно теорія тяжіння Ньютона була надзвичайно практичної теорією в тому сенсі, що вона давала нам простий спосіб обчислення сили тяжіння, що діє на будь-який об'єкт в системі. Зокрема, вона працювала добре до тих пір, поки об'єкти, про які йшла мова, не рухалися дуже швидко, або в ситуаціях, коли гравітаційний потенціал не надто великий. Потім з'явився Ейнштейн зі своєю новою теорією, в якій гравітація розглядається як наслідок викривлення простору-часу, а не як сила, що діє між об'єктами, і ми зрозуміли, що теорія тяжіння Ньютона була тільки невеликим фрагментом цієї загальної картини і вона добре працює тільки в граничних випадках - коли об'єкти рухаються повільно, а гравітація є слабкою. Таким чином, ми бачимо, що загальна теорія відносності, як випливає з назви, насправді є спільною: це узагальнення не тільки спеціальної теорії відносності Ейнштейна шляхом включення гравітаційних ефектів, але і узагальнення ньютонівської теорії тяжіння.

Аналогічно квантова механіка є узагальненням ньютонівської механіки, але нам немає необхідності посилатися на квантову механіку, щоб грати в бейсбол або в блішки. Ньютонівські закони працюють добре для великих об'єктів, таких як бейсбольні м'ячі, і навіть для невеликих об'єктів, таких як блішки, де поправки, що накладаються квантової теорії, незмірно малі і ними можна знехтувати. Але макроскопічна область, в якій м'ячі і ракети літають, а закон Ньютона домінує, є лише окремим випадком більш широкої та загальної області квантової теорії, яка справедлива і для об'єктів значно меншого розміру. Використовуючи квантову механіку, ми можемо точно передбачити траєкторії релятивістських електронів в високоенергетичному колайдері, в той час як ньютонівська механіка нам тут не допоможе.

Тепер ми підходимо до такої ж ситуації в геометрії. Класична ріманова геометрія не в змозі описати фізику на квантовому рівні. Тому ми будемо шукати нові геометрії, більш загальний опис, яке можна застосувати з однаковим успіхом і до кубику Рубіка, і до струн планковской довжини. Питання в тому, як це зробити. Частково ми йдемо навпомацки в темряві, ймовірно так само, як Ісаак Ньютон, коли намагався написати свою власну теорію тяжіння.

Ньютону довелося винаходити нові методи для досягнення цієї мети, звідси народилося диференціальне й інтегральне числення. Так само як причиною народження математики Ньютона стала фізика, так, ймовірно, станеться і сьогодні. Ми не можемо створити квантову геометрію без деяких вступних даних з фізики. Незважаючи на те що ми завжди можемо уявити деякі нові інтерпретації геометрії, але якщо вона дійсно повинна бути працездатною, то вона повинна описувати природу на деякому базовому рівні. А для цього, як мудро визнав Гаусс, нам потрібен певний керівництво ззовні.

Відповідна фізика висуває нам технічні вимоги, яким наша математика повинна задовольняти. При використанні класичної геометрії для фізики на планковские масштабі ми будемо отримувати дискретні зміни і розриви. Сподіваюся, що квантова геометрія усуне ці розриви, створивши гладку картину, більш просту для розуміння і більш зручну для роботи.

Мал. 14.1. Фізик Джон Уілер ввів поняття квантової піни , Яка представлена ??на цьому малюнку. Верхня панель виглядає повністю гладкою. Але якщо поверхня роздути на двадцять порядків від початкової величини (середня панель), то стануть добре видно нерівності. Якщо поверхню роздути ще в тисячу разів, то все дрібні нерівності стануть «горами» і стан поверхні стане повною протилежністю свого початкового, гладкому станом

Передбачається, що теорія струн, майже за визначенням, буде мати справу з вищеописаними проблемами. Оскільки «фундаментальний будівельний блок теорії струн є не крапкою, а скоріше одновимірної петлею, то природно вважати, що класична геометрія не може коректно описувати струнную фізику, - пояснює Брайан Грін. - Однак сила геометрії не втрачається. Навпаки, теорія струн, мабуть, буде описуватися модифікованою формою класичної геометрії з модифікаціями, зникаючими в міру того, як типовий розмір в даній системі стає більшим у порівнянні з масштабом струн - шкалою довжин, яка, як очікується, буде знаходитися в межах декількох порядків від планковской шкали ». [289]

Попередні теорії фундаментальної фізики розглядали свої основні будівельні блоки - матеріальні частки - як нескінченно малі, нульмерние точки - об'єкти, з якими вчені того часу не могли адекватно працювати зважаючи на слабкість математичного апарату (сучасна математика також не може впоратися з усіма проблемами). Струни представляють собою частки не нескінченно малого розміру, так що квантові флуктуації, які створювали стільки клопоту для класичної геометрії на ультрамалих масштабах, розподіляються по значно більшій області, послаблюючи свій вплив, що робить їх більш контрольованими. Таким чином, дратівливу проблему сингулярностей у фізиці, де кривизна і щільність простору-часу ростуть до нескінченності, можна спритно обійти. «Вам ніколи не дістатися до точки, де відбуваються катастрофи, - говорить Натан Зайберг з Інституту перспективних досліджень. - Теорія струн не дозволить вам ». [290]

Мал. 14.2а. Це фотографія під назвою «Блакитний мармур» показує, що якщо поглянути на нашу планету з великої відстані, то її поверхня виглядає гладкою і бездоганною, як мармур (Центр космічних польотів Годдарда, НАСА)

Навіть якщо катастрофа відвернена, все одно повчально глянути на ситуацію, де ви були «на волосок від загибелі, якій вам дивом вдалося уникнути». «Якщо ви хочете вивчити ситуації, де геометрія не працює, вам необхідно вибирати ті випадки, в яких вона поступово виходить з ладу, - говорить Ендрю Стромінджер. - Один з кращих способів виконати такий аналіз ситуацій полягає у вивченні просторів Калабі-Яу, тому що в цих просторах ми можемо виділити області, де простір-час поламано, в той час як інші області залишаються незмінними ». [291]

Мал. 14.2б. Фотографія Санта Фе, Нью-Мексико, який знаходиться недалеко від центру зображення «Блакитний мармур», зроблена крупним планом з супутника дистанційного зондування Землі Landsat 7, показує, що поверхня є зовсім гладкою. Разом ці дві фотографії відображають поняття квантової піни: то, що може здаватися гладкою, безликої піною з великої відстані, може виглядати вкрай неоднорідне з близької відстані. (Візуалізація створена Джессі Алленом, Earth Observatory; дані отримані, відредаговані і збалансовані за кольором Лаурою Роккі, Landsat Project Science Office)

Мій колега має на увазі, що ми могли б отримати деяке уявлення про квантову геометрії і її наслідки шляхом застосування теорії струн в контрольованих умовах простору Калаби-Яу, - ця тема обговорюється протягом всієї цієї книги. Один з перспективних шляхів полягає в пошуку ситуації в теорії струн, коли геометрія поводиться інакше, ніж в класичному наближенні. Яскравим прикладом є змінює топологію перехід, який іноді може проходити гладко в теорії струн, але не в звичайних фізичних теоріях. «Якщо ви обмежені стандартними геометричними методами, під якими я завжди розумію збереження ріманових метрик, то топологія не може змінюватися», - говорить Моррісон. [292] Причина, по якій топологічний зміна вважається великою проблемою, полягає в тому, що ви не можете перетворити один простір в інше, не розірвавши його якимось чином, так само як ви не можете очистити яйця, розбивши шкаралупи. Або перетворити сферу в бублик, що не виконавши дірку.

Але протиканіе отвори в просторі, яке в інших частинах залишається гладким, створює сингулярність. Це в свою чергу створює проблеми для прихильників загальної теорії відносності, яким тепер доведеться боротися з нескінченної кривизною і тому подібними речами. Теорія струн, однак, може обійти цю проблему. Наприклад, в 1987 році ми з моїм аспірантом Гангом Тіан продемонстрували метод, відомий як флоп-перехід, який дає безліч прикладів різноманіть Калабі-Яу, тісно пов'язаних між собою, але топологічно різних.

Коніфолдние переходи, які ми обговорювали в десятій главі, є ще більш драматичний приклад топологічного зміни за участю простору Калаби-Яу. Давайте уявимо двовимірну поверхню типу футбольного м'яча, розташованого усередині простору Калабі-Яу, як показано на рис. 14.3. Ми можемо стиснути футбольний м'яч до вузької смуги (струни), яка, врешті-решт, зникне, залишивши замість себе розрив - вертикальну щілину, в тканини простору-часу. Потім ми будемо нахиляти щілину, штовхаючи «тканину» над і під нею назустріч один одному. Таким чином, вертикальна щілина поступово перетвориться в горизонтальну щілину, в яку ми можемо вставити, а потім знову розширити інший футбольний м'яч. Футбольний м'яч зараз опинився «перебудованим» щодо своєї первісної конфігурації. Якщо цю процедуру виконати з точністю, тобто розриваючи простір в певний момент, відкриваючи його, переорієнтувати розрив і вставляючи нову двомірну поверхню зі зміщеною орієнтацією назад в шестімерное простір, ви отримаєте топологічно інший простір Калаби-Яу і, таким чином, зовсім іншу форму по порівняно з вихідною.

Мал. 14.3. Для того щоб уявити флоп-перехід, необхідно зробити вертикальний розріз в двомірної тканини. Потім, натискаючи на тканину зверху і знизу, штовхати її так, щоб вертикальна щілина ставала все ширше і ширше і в кінцевому рахунку перетворилася в горизонтальну щілину. Таким чином, щілину або розрив, який колись знаходився у вертикальному положенні, в даний час «перебудувався», тобто перекинувся на інший бік. Різноманіття Калаби-Яу можуть піддаватися флоп-переходах і коли внутрішні структури перевертаються аналогічним чином (часто після початкового розриву), в результаті чого виходять різноманіття, топологічно відмінні від вихідних. Флоп-перехід особливо цікавий тим, що чотиривимірна фізика, пов'язана з цими різноманіття, залишається тією ж самою, незважаючи на відмінності в топології

Флоп-перехід являє математичний інтерес, оскільки він показує, як, почавши з одного простору Калаби-Яу зі знайомою топологією, в кінцевому підсумку отримати інші, невідомі нам простору Калаби-Яу. В результаті, ми, математики, можемо використовувати цей підхід для створення з метою дослідження більшої кількості просторів Калабі-Яу або, інакше кажучи, «пограти» з ними. Але я також підозрюю, що флоп-перехід має деякий фізичний зміст. Озираючись назад і оцінюючи минулі події, будь-хто може подумати, що я наділений даром передбачення, хоча це не той випадок. Я відчуваю, що будь-яка загальна математична операція, яку ми можемо виконати з Калаби-Яу, також повинна мати застосування у фізиці. Я попросив Брайана Гріна, який був моїм постдоком в той час, розібратися в цьому питанні, а також нагадати про цю ідею кільком іншим фізикам, які, на мій погляд, позитивно сприймуть її. Грін кілька років ігнорував мої поради, але в 1992 році нарешті почав працювати над завданням разом з Полом Еспінволлом і Моррісоном. Дивлячись на те, що вони придумали, варто було почекати ці кілька років.

Еспінволл, Грін і Моррісон хотіли знати, чи спостерігається щось типу флоп-переходу в природі і чи може простір саме себе розірвати, незважаючи на те що в рамках загальної теорії відносності гладке викривлений простір-час не схильна до розриву. Мало того що це тріо вчених хотіли визначити, чи зустрічається цей тип переходу в природі, вони також хотіли знати, чи може він мати місце в теорії струн.

З цією метою вони взяли різноманіття Калаби-Яу зі сферою (замість футбольного м'яча), розташованої усередині нього, і піддали його флоп-переходу, а потім використовували отримане (топологічно змінене) різноманіття для компактификации шести з десяти вимірів простору-часу, щоб подивитися, який вид чотиривимірної фізики вийде в результаті. Зокрема, вони хотіли передбачити масу певної частки, яку фактично вони могли вирахувати. Потім вони повторили той же процес, на цей раз використовуючи дзеркального партнера оригінального простору Калаби-Яу. Однак у випадку з дзеркальним партнером сфера не скоротилася до нульового обсягу, пройшовши через флоп-перехід. Іншими словами, не було ніякого розриву простору, ні сингулярності; струнна фізика, за словами Гріна, «поводилася бездоганно» [293]. Далі, вони вирахували масу цієї ж частинки, на цей раз пов'язану з дзеркальним різноманіттям, і порівняли результати. Якби передбачення підтвердилися, то це означало б, що розрив простору і сингулярність, про які ми говорили, не є проблемою; теорія струн і геометрія, на яку вона спирається, може впоратися з цією ситуацією без проблем. Розрахункова маса частинки відповідала передбаченої майже ідеально, а це означало, що розриви такого роду можуть виникнути в теорії струн без серйозних наслідків.

Але на одне питання їх аналіз не зміг дати відповідь: як таке може бути правдою? Як, наприклад, сфера може скоротитися до нульового обсягу (розміру точки в традиційній геометрії), якщо найменший допустимий розмір має окрема струна? Можливі відповіді містяться в статті Віттен, яка вийшла в той же час. Віттен показав, як петля струни може оточити просторовий розрив, тим самим захищаючи Всесвіт від згубних ефектів, які, в іншому випадку, можуть виникнути.

«Ми з'ясували, що, коли класична геометрія Калаби-Яу є сингулярной, чотиривимірна фізика виглядає рівною, - пояснює Еспінволл. - Маси часток не прагнуть до нескінченності, і нічого поганого не відбувається ». Таким чином, квантова геометрія теорії струн повинна давати «згладжує ефект», беручи те, що класично виглядає сингулярним, і роблячи це не сингулярним. [294]

Флоп-перехід може пролити світло на те, як може виглядати квантова геометрія, показуючи нам ті ситуації, з якими класична геометрія не може впоратися. Класична геометрія без проблем може описати ситуацію на початку і в кінці флоп-переходу, але не в середині, де ширина футбольного (або баскетбольного) м'яча скорочується до нуля. Побачивши, що саме теорія струн робить по-іншому в цьому випадку, а також у багатьох інших, ми можемо зробити висновок про те, як необхідно змінити класичну геометрію, тобто якого типу квантові поправки внести.

Наступне питання, яке потребує відповіді, за словами Моррісона, це «є чи квантові модифікації, які нам необхідно виконати в геометрії, досить геометричними, щоб вона все ще могла називатися геометрією, або вони будуть настільки радикально відрізняються, що нам доведеться відмовитися від поняття геометрії в цілому ». Квантові поправки, які ми обговорювали досі на таких прикладах, як флоп-перехід, «все ще можуть бути описані геометрично, навіть якщо їх нелегко вирахувати», - говорить він. Але ми не знаємо, чи є це взагалі правдою. [295]

Особисто я готовий закластися, що, врешті-решт, геометрія буде домінувати. І я вірю, що термін геометрія залишиться в обігу не просто через ностальгію, а тому, що сама ця область науки буде продовжувати надавати корисні опису Всесвіту, як це завжди відбувалося в минулому.

Заглядаючи в майбутнє, ми розуміємо, що створення теорії квантової геометрії або теорії з іншою назвою, безумовно, висувається в якості однієї з найбільш грандіозних завдань в області геометрії, якщо не взагалі всієї математики. Це, ймовірно, затягнеться на десятиліття довгих митарств і вимагатиме тісної співпраці між фізиками і математиками. Хоча завдання, безсумнівно, вимагає математичної строгості, яку ми завжди намагаємося дотримати, багато що залежить від інтуїції фізиків, які ніколи не перестають дивувати нас, математиків.

На даному етапі моєї кар'єри, а я в грі вже близько сорока років, я, звичайно, не маю жодних ілюзій щодо вирішення цієї проблеми власними силами. На відміну від більш вузько окресленої завдання, яку людина в стані вирішити самотужки, ця зажадає міждисциплінарних зусиль, що виходять за рамки діяльності самотнього практика. Але, з огляду на, що простору Калаби-Яу займали центральне місце в деяких з наших перших спроб отримати точки опори з квантової геометрії, я сподіваюся внести свій вклад в цю грандіозну підприємство, оскільки це частина моїх давніх пошуків божественної форми внутрішнього простору.

Ронні Чан, бізнесмен, щедро підтримує Інститут математики Китайської Академії наук в Пекіні (один з чотирьох інститутів математики, яким я допомагав при їх становленні в Китаї, Гонконгу та Тайвані), одного разу сказав: «Я ніколи не бачив людини, яка б так наполегливо займався однією дисципліною, як Яу. Його цікавить тільки математика ». Чан має рацію, кажучи про мою наполегливості та відданості математики, хоча я впевнений, що якби він пошукав, то обов'язково знайшов би багато людей, настільки ж наполегливих і відданих своїй справі, як я. З іншого боку, питання, яке я задав собі, намагаючись зрозуміти геометрію внутрішніх вимірювань Всесвіту, це, безперечно, великий питання, хоча розмірності самі по собі можуть бути маленькими. Без наполегливості і терпіння мої колеги і я ніколи б не отримали ті результати, що ми маємо. Проте нам належить ще довгий шлях.

Я читав десь, можливо в афоризмах, що життя полягає в тому, щоб пройти певний шлях, витративши час і подолавши відстань між точкою А і точкою В. Це стосується й математики, особливо до геометрії, де все зводиться до того, як дістатися з А в В. що ж стосується моєї подорожі, все, що я можу сказати, так це те, що я задоволений прогулянкою.

Епілог




 Новий різновид молотка |  Занадто добре, щоб бути правдою |  доводячи Калаби |  ДНК теорії струн |  У Задзеркаллі |  Петлі в просторі-часі |  Ласкаво просимо в реальний світ |  Далі за Калаби-Яу |  розпускається Всесвіт |  У пошуках нових вимірів |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати