Головна |
Розглянемо ламінарний рух рідини у трубопроводі (рис. 23а), в якому: r0 - повний радіус, r - поточний радіус, t - дотична напруга, v - вектор швидкості, N - вектор підрахунку, який починається від стінки трубопроводу.
Виділимо з рівняння рівномірного руху (2.35) дотичну напругу
® t0 = rgJR.
Рис. 23. До виведення рівняння розподілу швидкості рідини по горизонтальному перерізу труби. |
і з рівняння Ньютона для в'язкої рідини (1.24)
® .
Прирівнявши праві частини цих рівнянь і замінивши dN на dr, отримаємо
. (2.36)
Оскільки для труби круглого перерізу гідравлічний радіус R =r/2, (2.36) можна записати у вигляді:
. (2.37)
Поділимо перемінні інтегрування й запишемо диференціальне рівняння:
, (2.38)
і, проінтегрувавши по радіусу і швидкості, отримаємо:
, звідки . (2.39)
Для визначення сталої інтегрування С необхідно, щоб функція швидкості дорівнювала нулю. При цьому r=r0.
. (2.40)
Підставивши (2.40) у (2.39), отримаємо формулу швидкості при ламінарному русі рідини:
. (2.41)
При r=r0, тобто у центрі потоку, швидкість набуває максимального значення
. (2.42)
Якщо порівняти вираження з (2.41) і (2.42), то отримаємо
. (2.43)
(2.43) - математичне вираження закону Стокса, який характеризує розподіл швидкостей у перерізі трубопроводу при ламінарному русі.
Тиск рідини на криволінійну циліндричну стінку | Швидкість і витрата | Моделі руху рідини | Гідравлічний радіус і еквівалентний діаметр | Режими руху рідини | Рівняння нерозривності (суцільності) потоку | Диференціальне рівняння Нав'є - Стокса | Диференціальні рівняння руху Ейлера | Рівняння Бернуллі | Принцип виміру швидкості і витрати рідини |