загрузка...
загрузка...
На головну

Аксіоматична побудова теорії ймовірностей

  1.  II. ОСНОВИ ТЕОРІЇ МЕХАНІЗМІВ І МАШИН
  2.  II. Побудова карти гідроізогіпс.
  3.  III. Нейрофізіологічні або нейродинамические теорії темпераменту.
  4.  Quot; РОЗУМ І РЕВОЛЮЦІЯ. Гегель і становлення соціальної теорії "(" Reason and Revolution. Hegel and the rise of social theory ", 1941) - робота Маркузе
  5.  Quot; СТАНОВЛЕННЯ ТЕОРІЇ нелінійних ДИНАМИК В СУЧАСНІЙ КУЛЬТУРІ. Порівняльний аналіз синергетичної і постмодерністської парадигм "- монографія М. А. Можейко
  6.  А. Н. Леонтьєв До ТЕОРІЇ РОЗВИТКУ ПСИХІКИ ДИТИНИ
  7.  Автор теорії і розробник приладів Юлан Олег Олександрович

Багато реальні випадкові експерименти не вкладаються в рамки дискретної моделі з кінцевим або рахунковим простором  . Наприклад, в експерименті з обертової рулеткою, кут який визначає положення стрілки після її зупинки, може приймати будь-яке значення з проміжку  . Таким чином, ми маємо справу з простором  , Що складається з нескінченного або навіть незліченну безлічі точок. Вважаючи, що стрілка обертається в горизонтальній площині з дуже малим тертям, природно постулювати << рівно можливих >> будь-якого її положення та, отже, приписати ВЕЕМ точкам з проміжку  одну і ту ж імовірність .

Покажемо, що якщо в якості  взяти ненульове число, то отримаємо протиріччя з основними властивостями ймовірностей. Дійсно, нехай подія  складається з точок  виду ,  . За визначенням,  (Тут використано умова равновероятности подій). Очевидно, що при будь-якому  можна взяти таке  , що  , А це суперечить основній властивості ймовірності. З проведеного міркування випливає, що у випадку з рулеткою  має дорівнювати нулю. Однак тоді ми приходимо до << парадоксу >>: подія  можливо, але його ймовірність дорівнює нулю. Парадокс цей удаваний, так як насправді цей приклад показує необхідність застосування іншого, більш загального підходу до введення поняття ймовірності випадкової події, яке працювало б не тільки в разі дискретного простору елементарних фіналів.

У разі дискретного простору  побудова теорії складалося з таких кроків:

1) під дією розумілося будь-яка підмножина простору ;

2) спочатку ймовірності визначалися для елементарних фіналів як відображення  , Задовольняючи умовам

а)  і б)  , А потім - для складних подій за формулою

.

У загальному випадку, коли простір елементарних подій  може бути більш, ніж рахунковим, побудова теорії ймовірностей базується на підході, запропонованому А. Н. Колмогоровим, ідея якого полягає в тому, що не всі підмножини простору  розглядаються як події. Передбачається, що події - це деякі підмножини з  , Сукупність яких замкнута щодо операцій кінцевого або рахункового числа об'єднань і перетинань. Тільки цим підмножини - подіям - ставляться у відповідність числа, звані можливостями, причому так, що до них залишається прийнятною частотна інтерпретація, а << дискретний >> підхід в рамках загального стає окремим випадком. Розглянемо випадок недискретность простору.

нехай  - Довільне простір елементарних подій, а  - Деякий клас підмножин безлічі .

Визначення. алгеброю подій назвемо непорожню систему підмножин , Що задовольняє наступним аксіом:

1) якщо підмножина  належить (є подією), То додаток  також належить (також є подією);

2) якщо підмножини и  належать (є подіями), То і об'єднання  належить (також є подією).

Оскільки будь-яку з розглянутих операцій над підмножинами можна отримати, використовуючи формули де Моргана, за допомогою тільки двох операцій доповнення та об'єднання

, ,

перетин і різницю двох подій також будуть подіями:

,  при будь-яких ,  . Звідси слідує що и

 . Найпростішою системою підмножин, що є алгеброю, є система, що складається з повного  і порожнього  множин:  . Справді, и  входять в цей клас, і результатами операцій об'єднання, доповнення та перетину над цими множинами знову служать ці безлічі:  . Система всіх підмножин множини  , Очевидно, є  - Алгеброю.

Визначення. алгебра подій  називається  - алгеброю, або борелевской алгеброю, якщо об'єднання рахункового числа елементів з  також є елементом з , тобто з того, що ,  слід

.

Таким чином,  - Алгебру подій  можна визначити як систему підмножин простору елементарних фіналів  , Замкнуту щодо рахункового числа теоретико-множинних операцій. тривіальна

 - Алгебра подій складається з повного і порожнього множин  . Будь-яка  - Алгебра подій є одночасно і алгеброю подій. Зворотне невірно, тобто існують алгебри подій, які не є  - Алгебра. елементи  - Алгебри називаються випадковими подіями. Під операціями над випадковими подіями розуміють операції над відповідними множинами.

прикладом  - Алгебри служить клас з чотирьох подій  . дійсно,

.

Визначення. Ймовірністю події або ймовірнісної мірою називається числова функція, задана на  - Алгебри подій  , Яка кожної події  ставить у відповідність число  так, що виконуються наступні чотири аксіоми:

1.  для будь-якого (Аксіома невід'ємності);

2.  (Аксіома нормированности);

3.  для будь-яких ,  (Аксіома кінцевої адитивності).

4.  , якщо ,  для будь-яких , для будь-якого  (Аксіома лічильної адитивності).

трійку чисел  , в якій  - Простір елементарних подій, -  - Алгебра деяких підмножин з  (Не обов'язково всіх),

 - Імовірнісна міра, певна на  - Алгебри і задовольняє аксіомам -  , Називають імовірнісним простором.

з аксіом -  випливають основні властивості ймовірності.

1.  (Ймовірність неможливого події).

2. Для будь-якої події  справедливо нерівність .

3.  (Ймовірність додаткового події), так як .

4. Якщо  , то  . Дійсно, так як  , То по теоремі додавання несумісних подій  , І з аксіоми невід'ємності слід зроблене твердження.

5.  (Ймовірність об'єднання двох подій). Дійсно, так як и  , То з аксіоми додавання ,  . Звідси при  виходить потрібне доказ.

6. В силу невід'ємності  маємо .

7. Властивість 5 допускає очевидне узагальнення для випадку довільного числа доданків:

Властивість 7 доводиться методом математичної індукції по .

8. Для будь-якого числа  попарно непересічних подій  має місце формула

.

імовірність  , Певна на  - алгебри  , Називається розподілом ймовірностей на просторі елементарних подій .




 Властивості операцій над множинами |  Випадкові події та операції над ними |  Операція віднімання множин |  принцип подвійності |  Елементарних подій. |  Класична імовірнісна модель |  комбінаторика |  Схема вибору без повернень |  Схема вибору з поверненнями |  умовна ймовірність |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати