На головну

морфізм груп

  1.  I група - для оцінки деформативних властивостей грунту.
  2.  II. 5.1. Загальне поняття про групи і колективах
  3.  II. Вивчити і представити класифікацію вищеперелічених товарних груп у вигляді схем, таблиць, алгоритмів, малюнків.
  4.  II. Соціальна морфологія або групові структури
  5.  II. Стратегія прийняття рішень Група з 3 чоловік, 1 година
  6.  III РОЗШИРЕННЯ ГРУПИ І РОЗВИТОК індивідуальності 1 сторінка
  7.  III РОЗШИРЕННЯ ГРУПИ І РОЗВИТОК індивідуальності 2 сторінка

Розглянемо обертання квадрата навколо центру до суміщення вершин.

 4 3

a1 = 00 Як елементи - кути повороту.

a2 = 900 Як операції - доворачіваніе.

a3 = 1800 Виконуються всі закони для групи.

a4 = 2700

1 2

Наприклад, а1 ° а2 = а2; а2 ° а2 = а3; а3 ° а3 = а1

Популярні з часів Галуа і так звані підстановки. Можна записати підстановки, що відповідають кожному з чотирьох обертань попереднього прикладу:

?1 2 3 4o ?1 2 3 4o ?1 2 3 4o ?1 2 3 4o

c c c c c c c c

e1 2 3 4o e4 1 2 3o e3 4 1 2o e2 3 4 1o

А в якості операції взяти композицію підстановок. наприклад,

=
 ?1 2 3 4o ?1 2 3 4o ?1 2 3 4o

c c c c c c

e2 3 4 1o e2 3 4 1o e3 4 1 2o

В результаті також вийде група.

Візьмемо коріння рівняння x4 - 1 = 0

{1, i, -1, -i} - група по операції множення.

Таким чином, ми розглянули кілька кінцевих груп, що містять по чотири елементи. Ці групи ізоморфні між собою.

Наприклад, можна відобразити один в одного «поодинокі» елементи:

?1 2 3 4o

а1 «00 «C c «1

e1 2 3 4o

Так що мова може йти про абстрактних групах, тобто про таких групах, для яких конкретне безліч і конкретна операція несуттєві.

Нехай f - деяке відображення елементів однієї групи в іншу або в ту ж саму і

f (a A b) = f (a) A f (b) a, b I G; f (a), f (b) I b2.

то кажуть, що f - гомоморфізм.

Якщо f (a) = F (b), тоді і тільки тоді, коли a = b, то маємо ізоморфізм(Однозначний гомоморфізм).

Гомоморфізм групи в себе називається ендоморфізм.

Ін'єкційних гомоморфізм називається мономорфізму.

Сюр'ектівний гомоморфізм називається епіморфізм.

Ізоморфізм в себе називається автоморфізмом.

приклад : {. . .-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,. . . }

{. . .-6, -4, -2, 0, 2, 4, 6,. . . } - Ендоморфізм, епіморфізм, мономорфизм, ізоморфізм, автоморфизм.

Інваріантні (нормальні) підгрупи

Група H називається підгрупою групи G, якщо вона складається з елементів групи G і сама є групою.

Елемент c = b-1ab називається трансформацією елемента а за допомогою елемента b. При цьому елементи з і а називаються сполученими.

b-1 - зворотний елемент для b.

Тут а і b - елементи групи, а звичайне (необозначаемое) множення, фактично, групова операція.

якщо b-1 a b = а, то ab = ba (т. к. дана група абелева, отже, коммутативна).

Доведення: помножимо b-1ab = a зліва і праворуч від знака рівності на b:

bb-1ab = ba

теорема: Трансформація розбиває групу на класи пов'язаних елементів.

Доведення:

1. Рефлексивність: a = 1-1a1

2. Симетричність: c = b-1ab ?

bcb-1 = bb-1abb-1

bcb-1 = a

(b-1)-1cb-1 = A, нехай B = b-1

B-1cB = a, т. е. якщо а - трансформація з, то з - трансформація а

3. Транзитивність: c = b-1ab, c = d-1cd

e = d-1b-1abd

e = (bd)-1abd

e = D-1aD bdd-1b-1 = 1, (bd)-1 (Bd) = 1 U d-1b-1 = (Bd)-1

теорема: Трансформація підгрупи H елементом bIG є підгрупа групи G, ізоморфна Н.

Доведення:

1. C1= b-1x1b

C2= b-1x2b, x1 , x1 IH

C1C2= b-1x1bb-1x2b

2. b-11b = 1 (т. Е. 1 вихідної групи залишається 1 отриманої групи)

3. a = b-1xb

a-1 = (B-1xb)-1 = b-1x-1(b-1)-1 = b-1x-1b

Т. е. В результаті (1 3) ми отримуємо групу, причому ця процедура зберігає функціональність, сюр'ектівность, усюди визначеність, ін'єкційних, т. Е. Отримана група ізоморфна вихідної.

a2

ab = a2b

 b ba2= ab


 I a

Підгрупа До групи G називається інваріантної (нормальної), Якщо трансформація будь-якого елементу підгрупи До за допомогою будь-якого елементу цієї групи дає знову елемент підгрупи К.

K = {I, a, a2 } - Підгрупа деякої групи G

ab = ba2 = ba-1 (Або a2 ? a = I / * a-1 , a2aa-1 = Ia-1 , a2 = a-1 )

b-1ab = b-1ba-1

b-1ab = a-1 (= A2) - Трансформація елемента а за допомогою елемента b і вона є елемент групи.

5.4. Група Діедра (D3)

D3 = {I, a, a2, B, ba, ba2 }

Для цієї групи будуть наступні визначальні співвідношення:

a3 = b2 = (Ba)2 = I

b

                           
     
           
 


 Таблиця множення даної групи:


а

  I a a2 b  ba  ba2
I I a a2 b  ba  ba2
a a a2 I  ba2 b  ba
a2 a2 I a  ba  ba2 b
b b  ba  ba2 I a a2
 ba  ba  ba2 b a2 I a
 ba2  ba2 b  ba a a2 I

У кожному рядку і кожному стовпці елементи не повторюються.

a. H = {I, B} нехай f (I) = f (b) = I - деякий гомоморфізм

a = Ia = (ba)2a = babaa = baba2

f (a) = f (baba2) = F (b) f (a) f (a) f (b2) = F (a) f (a2) = (За припущенням f (b) = I)

= F (a3) = F (I) = I

f (a2) = F (a) f (a) = I I = I

f (ba) = f (b) f (a) = I I = I

f (ba2) = F (b) f (a2) = I I = I

Т. е. Всю групу D3 можна відобразити в одиничний елемент.

а) f f

H = {I, b} D3 ® G: D3 ® I

K = {I, a, a2} F f

D3 ® G: D3 ® {I, f (b)}

f (I) = f (a) = f (a2) = I

I

f (ba) = f (b) f (a) = f (b)

f (ba2) = F (b) = f (b) f (b) = f (b2) = I

Групи, які мають єдиний (відмінний від одиниці) елемент такої, що якась ступінь цього елемента дає I, називається циклічною групою n-го ступеня.

Якщо для якоїсь групи ми здійснюємо гомоморфності відображення, причому якась її підгрупа цілком відображається в одиничний елемент групи, то така підгрупа є ядро ??гомоморфізму. позначається f -1(I).

 




 теорія графів |  теорема Ейлера |  Повні графи і дерева |  дерева |  алгоритм Краскала |  Завдання про 4 фарбах |  Визначення шляхів в графі |  Приведення графа до ярусно-паралельній формі |  Внутрішня стійкість графа |  ядро графа |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати