Головна |
Введемо позначення Sup (a, b) = a E b, Inf (a, b) = a C b,
Будемо вважати традиційно використовуються тут значки E, C не мають ніякого відношення до теоретико-множинним операціям об'єднання і перетину.
Якщо виконуються закони:
1. a E b = b E a 1 '. a C b = b C a
2. (a E b) E c = (b E c) Ea = a E b E c 2 '. (A C b) C c = (b C c) C a = a C b C c
3. a E (a C b) = a 3 '. а C (b E a) = a
4. a E a = a 4 '. а C a = a
то має місце решітка.
Тобто решітка можна визначити як алгебру Z =
решітка називається дистрибутивної, Якщо додатково до вищеперелічених виконується дистрибутивний закон:
5. a E b C c = (a E b) C (a E c) 5 '. а C (b E c) = a C b E a C c
приклад :Недістрібутівная решітка:
a E b C e = (a E b) C (a E e)
а E e = a C a
a = a
b E c C d = b C c E b C d
b E e = a E a
b ? a недістрібутівность
Ці грати недістрібутівная.
решітка називається обмеженою, Якщо вона має максимальний і мінімальний елементи.
Наприклад, якщо взяти відрізок дійсної осі від 0 до 1 (разом з кінцевими точками) і відношення "менше", то це буде обмежена решітка. Прибравши крайні точки, отримуємо необмежену грати.
1 + 1
- Необмежена решітка - обмежена
(Без 1 і 0)
0 0
Зазвичай мінімальний елемент решітки позначають як 0, а максимальний як 1.
a - доповнення а, якщо а E a = 1 і а C a = 0
решітка є гратами з доповненням, Якщо кожен елемент має хоча б одне доповнення.
Обмежена дистрибутивная решітка з доповненням є булевої.
Приклади булевих решіток:
| |||||||||
поняття множини | Операції над множинами | Діаграми Ейлера - Венна | алгебра множин | Кортеж. Графік | властивості графіків | І П С Т | ставлення еквівалентності | морфізм | грати |