Головна

Варіаційний принцип Гамільтона

  1.  FH 05 Основні принципи
  2.  FH 10 10 Організаційні принципи роботи національних товариств здоров'я.
  3.  FL 01 05 Е Основні принципи.
  4.  FL 01 50 Е Застосування принципів незалежності.
  5.  FS 05 Основні принципи
  6.  I. 2.4. Принципи та методи дослідження сучасної психології
  7.  I. Базові принципи застосування програми Excel

Нехай заданий проміжок часу  , На якому досліджується рух консервативної системи. вираз  , де  - Функція Лагранжа, називається дією по Гамільтону. Розмірність цієї величини  . значення величини  залежить від того, які функції  (І, отже, які функції  ) Входять у вираз для  . Дія по Гамільтону є відображення набору функцій  на безліч дійсних чисел і називається функціоналом. Функціонал можна вважати функцією від функції, В даному випадку - функцією від  функцій .

набір функцій  умовно називається шляхом системи. При русі системи реалізується шлях, званий прямим (на рис. 16 він зображений жирною лінією). Інші шляхи, які утворюються завдяки варьированию величин  в кожній точці  , Називаються обхідними. Манівці починаються і закінчуються в тих же точках простору  , Що і прямий шлях.

Мал. 16. Прямий і манівці

Принцип Гамільтона полягає в твердженні, що прямий шлях відрізняється від манівців тим, що на ньому дію приймає екстремальне (стаціонарне) значення. Екстремальне значення функціонал набуває за умови звернення до нуль його варіації, тобто на прямому шляху .

дійсно,

При цьому  , Тому що в початковій і кінцевій точках всі шляхи сходяться: в цих точках  . В силу рівнянь Лагранжа-2 отримуємо .

 * 4.3.5. рівняння Гамільтона

Введемо замість лагранжевих змінних Гамільтона змінні  . тут  - Вектор узагальнених імпульсів, що визначаються формулами

(Потенційна енергія залежить від змінних  і не залежить від  ). Тоді кожне рівняння Лагранжа-2 можна записати так:

.

Нехай зв'язку стаціонарні:  ; тоді справедливо рівність  , або .

Звідси отримаємо

 або, з урахуванням введених величин ,

.

З іншого боку, вираження  являють собою лінійну систему рівнянь щодо  , Визначник якої  (Пропозиція п. 4.3.3). Тоді існує єдине нетривіальне (нульове) рішення цієї системи, і величини  можна виразити через  і підставити в кінетичну енергію  , Представивши її як функцію гамільтонових змінних

Відмітимо, що  ). маємо далі

.

оскільки  , Отримуємо, що

и .

тоді .

функцію  називають функцією Гамільтона. При стаціонарних зв'язках вона є повна механічна

енергія  системи, виражена в гамільтонових змінних.

Функцію Гамільтона можна уявити також у вигляді:

.

систему  диференціальних рівнянь першого порядку щодо функцій и

,

називають канонічними рівняннями Гамільтона руху консервативної системи.




 Потенціальна енергія |  Про кінетичної енергії механічної системи |  Теорема про зміну кінетичної енергії |  Приведення сил інерції, прикладених до твердого тіла, до найпростішого виду |  Рівняння кінетостатікі твердого тіла |  Класифікація зв'язків |  узагальнені сили |  Класи узагальнених сил |  Вираз ПВП в термінах узагальнених сил |  Рівняння Лагранжа. рівняння Гамільтона |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати