Головна |
Нехай заданий проміжок часу , На якому досліджується рух консервативної системи. вираз , де - Функція Лагранжа, називається дією по Гамільтону. Розмірність цієї величини . значення величини залежить від того, які функції (І, отже, які функції ) Входять у вираз для . Дія по Гамільтону є відображення набору функцій на безліч дійсних чисел і називається функціоналом. Функціонал можна вважати функцією від функції, В даному випадку - функцією від функцій .
набір функцій умовно називається шляхом системи. При русі системи реалізується шлях, званий прямим (на рис. 16 він зображений жирною лінією). Інші шляхи, які утворюються завдяки варьированию величин в кожній точці , Називаються обхідними. Манівці починаються і закінчуються в тих же точках простору , Що і прямий шлях.
Мал. 16. Прямий і манівці
Принцип Гамільтона полягає в твердженні, що прямий шлях відрізняється від манівців тим, що на ньому дію приймає екстремальне (стаціонарне) значення. Екстремальне значення функціонал набуває за умови звернення до нуль його варіації, тобто на прямому шляху .
дійсно,
При цьому , Тому що в початковій і кінцевій точках всі шляхи сходяться: в цих точках . В силу рівнянь Лагранжа-2 отримуємо .
* 4.3.5. рівняння Гамільтона
Введемо замість лагранжевих змінних Гамільтона змінні . тут - Вектор узагальнених імпульсів, що визначаються формулами
(Потенційна енергія залежить від змінних і не залежить від ). Тоді кожне рівняння Лагранжа-2 можна записати так:
.
Нехай зв'язку стаціонарні: ; тоді справедливо рівність , або .
Звідси отримаємо
або, з урахуванням введених величин ,
.
З іншого боку, вираження являють собою лінійну систему рівнянь щодо , Визначник якої (Пропозиція п. 4.3.3). Тоді існує єдине нетривіальне (нульове) рішення цієї системи, і величини можна виразити через і підставити в кінетичну енергію , Представивши її як функцію гамільтонових змінних
Відмітимо, що ). маємо далі
.
оскільки , Отримуємо, що
и .
тоді .
функцію називають функцією Гамільтона. При стаціонарних зв'язках вона є повна механічна
енергія системи, виражена в гамільтонових змінних.
Функцію Гамільтона можна уявити також у вигляді:
.
систему диференціальних рівнянь першого порядку щодо функцій и
,
називають канонічними рівняннями Гамільтона руху консервативної системи.
Потенціальна енергія | Про кінетичної енергії механічної системи | Теорема про зміну кінетичної енергії | Приведення сил інерції, прикладених до твердого тіла, до найпростішого виду | Рівняння кінетостатікі твердого тіла | Класифікація зв'язків | узагальнені сили | Класи узагальнених сил | Вираз ПВП в термінах узагальнених сил | Рівняння Лагранжа. рівняння Гамільтона |