На головну

ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ І ВИЗНАЧЕННЯ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ І МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ

  1.  FH 05 Основні принципи
  2.  FL 01 05 Е Основні принципи.
  3.  FL 01 10 Е Основні положення.
  4.  FL 01 25 Е Основні цілі та діяльність.
  5.  FS 05 Основні принципи
  6.  G 4.2 Герундій у функції правого визначення
  7.  I 2.2 Інфінітив у функції визначення. Інфінітив після прикметників

випробуванням або досвідом називають реалізацію деяких правил, умов. Наприклад, випробуванням буде контроль придатності виробів прохідними і непрохідними калібрами, визначення величини розміру вироби, обробленого на верстаті. Явища, що виходять в результаті випробування, називаються подіями. Подіями будуть: поява бракованого вироби при контролі калібрами, отримання певного розміру вироби при його вимірі. У теорії ймовірностей зазвичай розглядаються масові випробування, т. Е. Випробування, що відбуваються при незмінних основних умовах неодноразово.

Події поділяються на такі.

1. Подія називається достовірним, Якщо в результаті даного випробування воно обов'язково станеться. Наприклад, поява бракованого примірника в партії забракованих виробів буде достовірною подією.

2. Подія називається неможливим, Якщо в результаті даного випробування воно відбутися не може. Наприклад, поява гідного примірника в партії негідних виробів буде неможливою подією.

3. Подія називається випадковим (Або можливим), якщо в результаті даного випробування воно може відбутися, але може і не відбутися, наприклад, поява бракованого примірника в партії виготовлених виробів при несталому або неизученном технологічному процесі є випадковим (або можливим) подією.

4. Два події називаються несумісними, Якщо при випробуванні поява одного з них виключає можливість появи іншого. Наприклад, прохідність прохідний і непрохідний сторін калібру при контролі придатної деталі є події несумісні.

5. Дві події називаються спільними, Якщо при випробуванні поява одного з них не виключає можливість появи іншого. Наприклад, прохідність прохідний і непрохідний сторін калібру при контролі бракованої деталі є події спільні.

6. Події називаються єдино можливими, Коли при випробуванні відбудеться хоча б одне з цих подій. Наприклад, при контролі виробів калібрами єдино можливими подіями будуть поява або не поява бракованого вироби; для придатних виробів єдино можливими подіями є прохідність через прохідний калібр і непрохідність через непрохідний калібр.

7. Якщо при випробуванні можуть з'явитися кілька можливих подій, і при цьому немає підстави припускати, що поява одних імовірніше інших, то такі події називаються рівноможливими. Наприклад, партія виробів містить 10 пронумерованих бракованих виробів. При вийманні з партії у нас немає підстави припускати, що поява того чи іншого номера бракованого вироби імовірніше іншого. Поява бракованого вироби з тим або іншим номером в даному випадку - події рівноможливими.

ймовірністю події називається відношення числа випадків, що сприяють настанню цієї події, до всього числа несумісних, єдино можливих і рівно можливих подій

,

де Р (А) - Ймовірність події А;

m - Число випадків, що сприяють настанню події А;

N - Число несумісних, єдино можливих і рівно можливих подій.

наприклад, Нехай заданий допуск на діаметр  . Вироби, що виходять за верхню і нижню межі допуску, вважаються бракованими, а лежать всередині поля допуску - придатними. Покладемо, що партія, що складається з N= 1000 виробів містить m1= 15 виробів, що виходять за верхню межу допуску, і m2= 18 виробів, що виходять за нижню межу допуску. У цьому випадку ймовірність появи в партії бракованого вироби при випробуванні буде дорівнює

якщо m = N, то  - подія Адостовірно.

якщо m =0, то р (А) =0 - подія неможливо.

випадковою величиною називають величину, яка в результаті досвіду може набувати різних значень. Наприклад, витяг з партії бракованого вироби є випадкова величина, яка може приймати значення "+" при появі бракованого вироби, і значення "-" при його не поява. Величина розміру обробленого на верстаті гідного вироби є також випадкова величина, яка може приймати будь-яке значення в межах заданого поля допуску. Випадкові величини зазвичай позначають великими літерами, наприклад, Х. Значення випадкової величини, які вона приймає в результаті досвіду, позначають малими літерами х1, х2... Хn. При масових випробуваннях кожне з можливих значень випадкової величини х1, х2... Хn може зустрітися m1, m2, ... Mn раз. Ці числа називають частотами. Якщо все було проведено N випробувань, т. е.  , То ставлення  називають частостей або відносної частотою.

Сукупність, що містить всі досліджувані вироби, називається генеральною сукупністю. Вибрані з генеральної сукупності N виробів утворюють вибірку обсягу N.

дискретними випадковими величинами називають такі, які можуть приймати лише певні значення, наприклад: 0,1; 0,2; 0,3 і т. Д.

безперервними випадковими величинами називають такі, які в деякому інтервалі можуть приймати будь-яке значення.

Число бракованих виробів в різних вибірках з генеральної сукупності є дискретна випадкова величина, а розмір цих виробів - безперервна випадкова величина.

Дискретна випадкова величина задана, якщо це призводить до кожного її значення (табл. 1).

Таблиця 1.

Х х1 х2 х3 . . . хn
P (X = xi) P (х1) P (х2) P (х3) . . . Р (хn)

Будь-яку безперервну випадкову величину можна задати у вигляді дискретної, якщо всі можливі її значення розбити на інтервали і задати ймовірності появи цих інтервалів (через обмеженість вимірювальних засобів всі виміри безперервних величин задаються в дискретному вигляді).

Дамо поняття щільності і інтегральної функції розподілу випадкових величин.

якщо Х - Випадкова величина, а х - Деяке її значення, то ймовірність того, що Х < х дорівнює:

F (x) = P (X , (1)

де F (x) - Деяка функція, звана інтегральною функцією розподілу (рис. 1). На рис. 1 F (x) - Ордината кривої в деякій точці х. при будь-якому х0 = F (x) = 1.

щільність ймовірності j (х) є межа відносини ймовірності того, що випадкова величина Х прийме значення, що лежить між х и х + D х, До величини інтервалу D х при D х®0, т. Е.

 (2)

функцію j (х) називають також диференціальним законом розподілу.

j (х) и F (х) пов'язані співвідношенням

 . (2а)

Будемо вважати, що випадкова величина задана теоретичним законом, якщо задані її інтегральний закон або її щільність ймовірності.

Випадкова величина задана емпіричним законом розподілу, якщо для кожного значення випадкової величини відома частота народження або частость, отримана з N дослідів (табл. 2).

рис.1

Таблиця 2

 значення Х х1 х2 х3 . . . хn
 частоти m1 m2 m3 . . . mn
 частості m1 N m2 N m3 N . . . mn N

при

У межі частости прагнуть до можливостям відповідних значень випадкової величини.

Будь-яке теоретичне розподіл характеризується величиною своїх основних параметрів: математичним очікуванням МХ (центром групування) і дисперсією DX (величиною розсіювання).

Для дискретної випадкової величини (див. Табл. 1).

 (3)

 (4)

 (5)

 (6)

або  (7)

 (8)

рис.2

 Формули (5), (6) застосовуються для тих випадків, коли випадкова величина приймає значення від a до b; формули (7), (8) - коли X змінюється від - ? до ?.

 називається середнім квадратичним відхиленням або стандартом.

Емпіричне розподіл характеризується середнім значенням  , рівним

 (9)

або  (9a)

Середнє значення характеризує центр групування значень випадкової величини. При досить великому N

(N ® ?) вибіркове значення х прагне за величиною до математичного сподівання, т. е. x » МХ.

Величина розсіювання вибіркових значень навколо їх середнього значення характеризується емпіричної дисперсією S2, так само

 (10)

для N ? 25 замість формули (10) користуються формулою (10а)

 , де  (10а)

 називається емпіричним середнім квадратичним відхиленням.

при N ® ? S2 » DX.

Крім середнього значення і дисперсії, криві розподілу характеризуються також асиметрією (А) і ексцесом (Е)

 (11)

якщо А = 0, то крива симетрична. якщо А > 0 - крива має позитивну асиметрію, а якщо А <0 - негативну (рис. 3).

Мал. 3

Ексцес характеризує крутизну кривої. Як кривої з нульовим ексцесом прийнята крива нормального розподілу, що має щільність ймовірності

 (12)

де a = MX - математичне очікування;

s2 - Дисперсія.

якщо Е > 0, то говорять, що є позитивний ексцес, т. Е. Вершина кривої знаходиться вище кривої нормального розподілу. якщо Е <0 - є негативний ексцес, і вершина кривої знаходиться нижче вершини кривої нормального розподілу (рис. 4).

Мал. 4

У багатьох технічних додатках [*], [* *], [* * *] функції розподілу характеризуються коефіцієнтом відносного розсіювання (К), Коефіцієнтом відносної асиметрії (a) і величиною практично граничного поля розсіювання. Дамо визначення цих понять.

Покладемо, що похибки відхилень розмірів виробів від їх номінального значення задані функцією щільності j (х) і величинами параметрів МХ, DX (Рис. 5). Приймемо номінальне значення за початок координат.

Мал. 5

Практично граничним полем розсіювання називається відстань між такими двома значеннями t1 и t2 випадкової величини, при яких площа, обмежена кривою, віссю абсцис і відрізком [t1, t2], Дорівнює 1 - 2b, Де 2b - Ймовірність ризику (шлюбу). Зазвичай приймають 2b = 0,0027. За визначенням можна написати

.

На практиці зазвичай t1 и t2 вибирають так, що

Певне таким чином практично граничне поле розсіювання приймають за поле допуску, т. Е. 2dт = t2 - t1.

Введемо позначення:

 - Половина поля допуску,

 - Координата середини поля допуску (рис. 5),

 - Коефіцієнт відносної асиметрії,

 - Коефіцієнт відносного розсіювання, де .

(Індекс "T"при D, d, a, К вказує на теоретичне значення цих коефіцієнтів. Ці ж коефіцієнти, які визначаються для емпіричних розподілів, матимуть надалі індекс "е" і позначатися Dэ, dэ, aэ, Кэ).

У тих випадках, коли метою експерименту є лише визначення або уточнення значень коефіцієнтів щодо заданого конструктором поля допуску, що не підлягає перегляду, коефіцієнти aэ и Кэ визначаються за формулами: , .

При цьому може виявитися, що заданий конструктором поле допуску не відповідає практично граничного полю розсіювання, т. Е. Ймовірність ризику (шлюбу) не дорівнює 2b = 0,0027.

____________________________________

 * Бородачев Н. а. Аналіз якості і точності виробництва, М., Машгиз, 1961.

 * * Бородачев Н. а. Основні питання теорії точності виробництва, Академіздат, 1950.

 * * * Вандер Ваден Б. а. Математична статистика, М. ІЛ, 1960.

Практично граничне поле розсіювання виявляється не рівним полю допуску також в тих випадках, коли за величину поля допуску приймається вся зона розсіювання R (Величина розмаху), що дорівнює різниці між максимальним і мінімальним значеннями випадкової величини у вибірці, т. Е. R = xmax - x min.

 




 Обсяг вибірки N <25 |  Б) Значення вибірки задані багатозначними величинами. |  Обсяг вибірки N <25 |  ПО емпіричні розподіли |  А) Поле допуску задано і зміні не підлягає. |  КРИТЕРІЇ для неприйняття різко виділяється |  Вирівнювання емпіричного розподілу по гіпотетичним теоретичним |  ЧАСТОТ ПО КРИТЕРІЯМ ЗГОДИ |  Б) Критерій Колмогорова |  ВСТАНОВЛЕННЯ ВИДУ ЗАЛЕЖНО МІЖ ДВОМА змінною величиною |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати