загрузка...
загрузка...
На головну

ДОДАВАННЯ ВЗАЄМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНИХ ГАРМОНІЧНИХ КОЛИВАНЬ

  1. Взаємна індукція. Явище взаємної індукції. Взаємна індуктивність
  2. Додавання тексту на слайд
  3. Електронний генератор синусоїдальних електричних коливань
  4. Загальні відомості про коливальні процеси.2. Гармонічні коливання. Рівняння гармонічного коливання гармонічних коливань
  5. Операції над подіями. Теореми про додавання і множення ймовірностей
  6. Рівняння затухаючого коливання. Диференціальне рівняння згасаючих коливань і його розв'язання

Мета роботи - засвоїти метод градуювання звукового генератора за допомогою складання взаємно перпендикулярних коливань.

Прилади та пристрої: електронний осцилограф, звуковий генератор, генератор стандартних сигналів.

Короткі теоретичні відомості

Частоту невідомого гармонічного коливання часто визначають методом фігур Ліссажу. Для цього до досліджуваного коливання додаються взаємно перпендикулярні коливання відомої частоти. У загальному випадку в результаті додавання отримують криві складної форми, що називаються фігурами Ліссажу, за видом яких можна визначити частоту досліджуваної напруги. В цій роботі на пластини вертикального відхилення електронного осцилографа подається досліджувана напруга від джерела коливань звукової частоти, а на пластини горизонтального відхилення - напруга від генератора стандартних сигналів. Завдяки цьому електронний пучок одночасно коливається у двох взаємно перпендикулярних напрямах.

Розглянемо два взаємно перпендикулярних коливання x і y з циклічними частотами і :

  (33.1)

де - початкова різниця фаз між коливанням. Очевидно,

 

Система рівнянь (33.1) у параметричній формі задає траєкторію руху тіла, що одночасно коливається у двох взаємно перпендикулярних напрямах. Визначимо рівняння траєкторії точки, що бере участь у цих коливаннях, в явному вигляді, виключивши час із (33.1). Для цього рівняння перепишемо так:

  (33.2)

Додавши до лівої та правої частин (33.2) уявну частину , отримаємо:

 

За формулою Муавра .

Тоді , або

    (33.3)

Але , . Тому, підставивши ці значення у формулу (33.3), матимемо:

    (33.4)

Розкладаючи за біномом Ньютона вираз у квадратних дужках і прирівнюючи дійсні частини ліворуч і праворуч, отримуємо рівняння траєкторії коливної точки.

Зупинимося на окремому випадку коливань з однаковими частотами . З формули (33.4) матимемо:

(33.5)

звідки

(33.6)

Це рівняння сім'ї еліпсів, характеристики яких визначаються різницею фаз.

Розглянемо окремі випадки (рис.33.1, 33.2):

  Рис.33.1 Рис.33.2

1. Нехай коливання відбуваються з однаковими фазами, тобто. Тоді рівняння (33.6) набуває вигляду:

або (33.7)

тобто еліпс переходить у пряму (див. рис.33.1).

Якщо різниця фаз , то і в цьому випадку еліпс вироджується в пряму.

2. Якщо різниця фаз між коливаннями дорівнює , то рівняння (7) набуває вигляду:

(33.8)

Отримали криву - еліпс, осі якого збігаються з осями координат (див. рис.33.2). Якщо амплітуди коливань однакові, еліпс вироджується в коло. Якщо, за загальним видом рівняння, отриманого з формули (33.4), важко зробити висновок про форму траєкторії.

Нехай показник степеня n у рівнянні (33.4) є число раціональне, тобто воно може бути подане у вигляді відношення двох цілих і :

(33.9)

Із системи рівнянь (33.1) випливає, що

 

де , - відповідно циклічна частота і період коливань в напрямі осі x; , - відповідно циклічна частота і період коливань в напрямі осі у.

Перепишемо останнє співвідношення у вигляді .

Отже, за проміжок часу точка здійснює повних коливань в напрямі осі і повних коливань в напрямі осі .

Після проходження часу точка буде в тій самій фазі, що і в початковий момент, тобто за наступний проміжок часу коливання так само повторяться.

У результаті коливання будуть накладатись самі на себе і дадуть стійку картину (фігури Ліcсажу). Якщо ж одне з чисел або ірраціональне, тобто n не може бути подане у вигляді відношення цілих чисел, то виникає додаткова різниця фаз, завдяки чому траєкторія руху точки неперервно змінюватиметься. Якщо частота одного з коливань відома, то за виглядом фігури Ліссажу визначають частоту іншого. Таке порівняння частот можна здійснити осцилографічним методом, подаючи на пластини горизонтального відхилення напругу з відомою частотою , а на вертикально відхиляючі - досліджувану напругу з частотою . Враховуючи, що ω=2πν

 

тоді

(33.10)

Виведемо правило знаходження відношення частот за фігурами Ліссажу. Враховуючи (33.10), перепишемо вираз (33.4) у вигляді

 

Покладемо . Тоді, розкладаючи ліву і праву частини за біномом Ньютона та прирівнюючи дійсні частини, отримаємо рівняння - го степеня відносно у , що має коренів. Графічно це означає, що вісь у перетинає криву разів. Якщо , де - довільна стала, отримаємо також рівняння, що має коренів. Фігура Ліссажу буде перетинати будь-яку пряму, паралельну осі y , разів. Поклавши , отримаємо рівняння - го степеня відносно x, тобто крива перетинатиме пряму, паралельну осі x , разів. Звідси випливає таке правило знаходження частот. Проводять через дану фігуру дві довільні взаємно перпендикулярні прямі AB і CD, паралельні осям х і y (рис.33.3). Підраховують число точок перетину кривої з прямими CD () і (). У випадку =3 і =1 (рис.33.3), тобто

 

Якщо пряма проходить через точку перетину віток кривої, при відліку її рахують двічі (така точка відповідає кратним кореням).

  Рис.33.3

 



  8   9   10   11   12   13   14   15   16   17   18   19   20   21   22   23   Наступна

Лабораторна робота №29 | Описання установки | Порядок виконання роботи | Обробка результатів | Теоретичні відомості | Описання установки | Порядок виконання роботи | Короткі теоретичні відомості | Порядок виконання роботи | Короткі теоретичні відомості |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати