На головну

Теорема (достатні умови екстремуму)

  1. I. За яких умов ця психологічна інформація може стати психодиагностической?
  2. I. Психологічні умови ефективності бойової підготовки.
  3. II. Призначення лікарських препаратів при наданні медичної допомоги в стаціонарних умовах
  4. II. Розмір, умови і строки внесення плати за користування водним об'єктом
  5. IV. Військовий обов'язок громадян в умовах мобілізації
  6. Put (пут) -опціон дає право на продаж за тих самих умов.
  7. V. ЗОНИ І УМОВИ ДІЙ
  1. якщо и  , то  - Точка максимуму.
  2. якщо и  , то  - Точка мінімуму.
  3. якщо  , то  не є точкою екстремуму.

4. Якщо  , То точка  може як бути, так і не бути точкою екстремуму,

2.13). Знайти точки екстремуму і екстремальні значення функції

.

Знайдемо приватні похідні и  . Прирівнюючи ці похідні нулю, отримуємо систему рівнянь

Її рішеннями є наступні чотири стаціонарні точки:

 . Тепер обчислимо другі приватні похідні даної функції , ,  і складемо визначник  . Знайдемо значення цього визначника в кожній з отриманих стаціонарних точок:

1.  . Тому  - Точка мінімуму.

2.  , В якій точці  екстремуму немає.

3.  , В якій точці  екстремуму немає.

4. ,  - Точка максимуму.

Підставляючи координати двох екстремальних точок и  в цю функцію, отримаємо  - Мінімум,  - Максимум.

Завдання для самостійного рішення

Знайти області визначення наступних функцій:

2.1.  . 2.2.  . 2.3.  . 2.4.  . 2.5. .

Визначити лінії рівня і побудувати деякі з них при  для наступних функцій:

2.6.  . 2.7.  . 2.8.  . 2.9.  . 2.10. .

Знайти приватні похідні наступних функцій, записати повний диференціал:

2.11.  . 2.12.  . 2.13. .

2.14.  . 2.15.  . 2.16.  . 2.17. .

2.18.  . 2.19. .

Знайти приватні похідні другого порядку.

2.20.  . 2.21.  . .2.22.  . 2.23. .

2.24. Обчислити похідну функції  в точці  у напрямку вектора .

2.25. Знайти похідну функції  в точці  в напрямку, що становить з віссю  кут  . Визначити напрямок максимального зростання даної функції в даній точці.

2.26. Знайти напрямок максимального зростання функції  в точці .

2.27. Знайти похідну по напрямку бісектриси першого координатного кута в точці  функції .

2.28. Знайти градієнт функції  в точці .

Дослідити на екстремум наступні функції:

2.29.  . 2.30.  . 2.31. .

2.32.  . 2.33.  . 2.34. .

відповіді:

2.1.  . 2.2.  . 2.3.  . 2.4. и  . 2.5. .

2.6.  . 2.7.  . 2.8.  . 2.9.  . 2.10. .

2.11.  . 2.12. .

2.13.  . 2.14. .

2.15.  . 2.16. .

2.17.  . 2.18. .

2.19.  . 2.20. , , .

2.21. , , .

2.22. , ,

.

2.23. , , .

2.24 ..  . 2.25. ,  . 2. 26.  . 2.27. .

2.28  . 2.29.  - Точка мінімуму. 2.30. Точок екстремуму немає.

2.31.  - Точка мінімуму. 2.32.  - Точка максимуму.

2.33.  - Точка мінімуму. 2.34. Точок екстремуму немає.

Контрольна робота № 2. Функції декількох змінних.

1. Знайти область визначення функції і зобразити її на площині .

2. Визначити лінії рівня функції, зобразити деякі з них при .

3. Знайти приватні похідні ,  даної функції, записати її повний диференціал.

4. Обчислити приватні похідні другого порядку.

5. Обчислити градієнт і похідну функції в даній точці  у напрямку .

6. Дослідити функцію на екстремум. Визначити точки максимуму і мінімуму, обчислити максимальні і мінімальні значення даної функції.

Варіант 1.

1.  . 2.  . 3.  . 4. .

5.  . 6. .

Варіант 2.

1.  . 2.  . 3.  . 4. .

5.  . 6. .

Варіант 3.

1.  . 2.  . 3.  . 4. .

5.  . 6. .

Варіант 4.

1.  . 2.  . 3.  . 4. .

5.  . 6. .

Варіант 5.

1.  . 2.  . 3.  . 4. .

5.  . 6. .

Варіант 6.

1.  . 2.  . 3.  . 4. .

5.  . 6. .

Варіант 7.

1.  . 2.  . 3.  . 4. .

5.  . 6. .

Варіант 8.

1.  . 2.  . 3.  . 4. .

5.  . 6. .

Варіант 9.

1.  . 2.  . 3.  . 4. .

5.  . 6. .

Варіант 10.

1.  . 2.  . 3.  . 4. .

5.  . 6. .

Варіант 11.

1.  . 2.  . 3.  . 4. .

5.  . 6. .

Варіант 12.

1.  . 2.  . 3.  . 4. .

5.  . 6. .

Варіант 13.

1.  . 2.  . 3.  . 4. .

5.  . 6. .

Варіант 14.

1.  . 2.  . 3.  . 4. .

5.  . 6. .

Варіант 15.

1.  . 2.  . 3.  . 4. .

5.  . 6. .

Варіант 16.

1.  . 2.  . 3.  . 4. .

5.  . 6. .

Варіант 17.

1.  . 2.  . 3.  . 4. .

5.  . 6. .

Варіант 18.

1.  . 2.  . 3.  . 4. .

5.  . 6. .

Варіант 19.

1.  . 2.  . 3.  . 4. .

5.  . 6. .

Варіант 20.

1.  . 2.  . 3.  . 4. .

5.  . 6. .

Варіант 21.

1.  . 2.  . 3.  . 4. .

5.  . 6.

Варіант 22.

1.  . 2.  . 3.  . 4. .

5.  . 6. .

Варіант 23.

1.  . 2.  . 3.  . 4. .

5.  . 6. .

Варіант 24.

1.  . 2.  . 3.  . 4. .

5.  . 6. .

Варіант 25.

1.  . 2.  . 3.  . 4. .

5.  . 6. .

Варіант 26.

1.  . 2.  . 3.  . 4. .

5.  . 6. .

Варіант 27.

1.  . 2.  . 3.  . 4. .

5.  . 6. .

Варіант 28.

1.  . 2.  . 3.  . 4. .

5.  . 6. .

Варіант 29.

1.  . 2.  . 3.  . 4. .

5.  . 6.

Варіант 30.

1.  . 2.  . 3.  . 4. .

5.  . 6. .

3. Диференціальні рівняння

3.1. загальні поняття

Рівняння, в яких невідома функція входить під знаком похідної або диференціала, називаються диференціальнимирівняннями.

Якщо невідома функція залежить тільки від одного аргументу - однієї незалежної змінної, то диференціальне рівняння називається звичайним, А якщо вона залежить від декількох аргументів і диференціальне рівняння містить будь - які її приватні похідні по цих аргументів, то воно називається диференціальним рівнянням з приватними похідними.

порядком диференціального рівняння називається найвищий порядок міститься в цьому рівнянні похідною шуканої функції. Наприклад, рівняння  , де  - Незалежна змінна, а  - Шукана функція, є звичайним диференціальним рівнянням третього порядку. рівняння  , в котрому и  - Дві незалежні змінні, а  - Шукана функція цих змінних, є диференціальним рівнянням з приватними похідними другого порядку.

У цих методичних вказівках розглядаються деякі з основних методів розв'язання звичайних диференціальних рівнянь.

Рішенням диференціального рівняння називається функція, яка при підстановці в це рівняння звертає їх у тотожність. Процес знаходження рішень диференціального рівняння називається інтегруванням диференціального рівняння, а саме рішення диференціального рівняння називається його інтегралом, графік цього рішення прийнято називати інтегральною кривою.

Рішення диференціального рівняння називається загальним, Якщо воно містить стільки незалежних довільних постійних, який порядок рівняння, а функції, що отримуються із загального рішення при різних числових значеннях довільних постійних, називаються приватними рішеннями цього рівняння.

3.2. Диференціальні рівняння першого порядку

Диференціальне рівняння першого порядку, в якому  - Незалежна змінна,  - Невідома функція,  - Похідна невідомої функції, має наступний загальний вид

 (3.1)

У тому випадку, коли похідну  вдається висловити через інші змінні, диференціальне рівняння першого порядку набуває вигляду

 (3.2)

або, в разі коли  , Форму, яка містить диференціали:

 (3.3)

завданням Кошіназивають задачу знаходження рішення  диференціального рівняння, що задовольняє початковій умові

 (3.4)

де и  - Задані числа, початкові значення.




Московський технічний університет зв'язку та інформатики | Вступ | Метод підстановки. | Інтегрування по частинах. | Інтегрування раціональних виразів | Інтегрування найпростіших иррациональностей | Інтегрування тригонометричних функцій | Інтеграл із змінною верхньою межею. Формула Ньютона - Лейбніца. | Заміна змінної в певному інтегралі. | Обчислення площі плоских фігур. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати