На головну

Інтегрування тригонометричних функцій

  1. Список похідних найпростіших елементарних функцій
  2. XII. МЕДИКО-ПСИХОЛОГІЧНА ДІАГНОСТИКА: ПОРУШЕННЯ ПСИХІЧНИХ ФУНКЦІЙ, станів, МОВНОЇ ДІЯЛЬНОСТІ І ОСОБИСТІСНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ
  3. Анатомо-морфологічна база вищих психічних функцій
  4. Анатомо-морфологічна база вищих психічних функцій.
  5. Вакуумна терапія еректильної дисфункції
  6. Введення формул і функцій для табличних розрахунків
  7. Види вбудованих функцій

інтеграли виду раціоналізуються універсальної тригонометричної підстановкою: .При етоміспользуются формули, що виражають синус і косинус через тангенс половинного аргументу

.

Крім того, при заміні змінної в цьому інтегралі враховуємо, що .

Раціоналізація за допомогою універсальної підстановки іноді призводить до громіздким підінтегральної функції. В деяких окремих випадках ефективніше використовувати підстановки  або .

1.19).

 . У цьому прикладі використана універсальна підстановка.

1.20).  . Тут зручно виконати заміну  . І, так як  , то

.

У інтеграли виду  , якщо и  - Парні позитивні числа, використовуються формули зниження ступеня:  . Якщо ж  або  - Непарне число, інтеграл знаходять, відокремлюючи від непарного степеня один множник.

1.21). =

 . тут .

1.22).  . позначивши  , отримаємо

 . тут .

інтеграли виду  знаходяться за допомогою тригонометричних формул: ,

, .

1.23). .

Завдання для самостійного рішення

1.29.  . 1.36.  . 1.43. .

1.30.  . 1.37.  . 1.44. .

1.31.  . 1.38.  . 1.45. .

1.32.  . 1.39.  . 1.46. .

1.33.  . 1.40.  . 1.47.

1.34.  1.41.  . 1.48. .

1.35.  . 1.42.  . 1.49. .

Відповіді.

1.29.  1.36.  . 1.43. .

.

1.30.  . 1.37.  . 1.44. .

1.31.  . 1.38.  . 1.45. .

1.32.  .1.39.  1.46. .

1.33.  . 1.40.  . 1.47.

1.34.  . 1.41.  . 1.48. .

1.35.  . 1.42.  . 1.49. .

1.2. Визначений інтеграл.

функція  визначена і обмежена на відрізку  . Довільно обраними точками

 розіб'ємо цей відрізок на  елементарних відрізків ,  , Довжина кожного з яких дорівнює  . У кожному з цих елементарних відрізків довільно виберемо точку ,  . сума виду

називається  -ої інтегральної сумою функції  на відрізку  . якщо  на  , то  - Площа ступінчастою фігури. позначимо .

Кінцевий межа послідовності інтегральних сум при и  називається певним інтеграломвід функції  на відрізку  і позначається

.

Межа в цьому визначенні не залежить від способу розбиття відрізка  на елементарні відрізки і вибору в кожному з них проміжних точок  . тут  - Змінна інтегрування,  - Підінтегральна функція,  - Підінтегральний вираз,  - Відрізок інтегрування, и  - Нижній і верхній межі інтегрування. Якщо певний інтеграл існує, то функцію  називають интегрируемой на відрізку  . Зокрема, безперервність підінтегральної функції на відрізку  забезпечує її інтегрованість на цьому відрізку.

Геометричний сенс певного інтеграла.

якщо  на  , то  - Це площа криволінійної трапеції - плоскої фігури, обмеженої графіком функції  , віссю  і двома прямими .

Теорема. Якщо функція визначена і неперервна на  всюди, за винятком кінцевого числа точок розриву першого роду, то вона інтегровна на цьому відрізку.

 




МІНІСТЕРСТВО ЗВ'ЯЗКУ | Московський технічний університет зв'язку та інформатики | Вступ | Метод підстановки. | Інтегрування по частинах. | Інтегрування раціональних виразів | Заміна змінної в певному інтегралі. | Обчислення площі плоских фігур. | Теорема (необхідна ознака існування екстремуму). | Теорема (достатні умови екстремуму). |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати