На головну

Глава 4. Арифметичні основи ЕОМ

  1. I. ОСНОВИ МАРКЕТИНГУ
  2. II.1. основи державності
  3. IV. Основіформальних-ЛОГІЧНИХ ЗАКОНИ
  4. IX. ПРАВОВІ ОСНОВИ ІНФОРМАЦІЙНОГО ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ ПРИРОДОКОРИСТУВАННЯ ТА ОХОРОНИ НАВКОЛИШНЬОГО СЕРЕДОВИЩА
  5. Money Management - основи управління капіталом
  6. Quot; Основи екології та економіка природокористування "як міжгалузева навчальна дисципліна. Предмет і методологія курсу
  7. V. ЗАБУТІ ОСНОВИ

4.1 Системи числення

Інформація, обробляючи ЕОМ і знаходиться всередині обчислювальної машини, завжди представлена ??у вигляді чисел, записаних в тій чи іншій системі числення. Питання про вибір системи числення для цифрового автомата - один з найважливіших питань проектування як алгоритмів функціонування окремих пристроїв, так і розрахунку технічних характеристик автомата.

Можна вважати, що будь-яке число має значення (Зміст) і форму подання (т. е. запис числа). Значення числа задає порядок розташування чисел на числовій осі, або іншими словами його ставлення до значень інших чисел ( «Більше», «менше», «дорівнює»). Форма подання визначає порядок запису числа за допомогою призначених для цього знаків. При цьому значення числа не залежить від способу його подання. Це означає також, що число з одним і тим же значенням може бути записано по-різному, т. Е. відсутня взаємно однозначна відповідність між поданням числа і його значенням. Наприклад, число п'ять в римській системі числення представляється як символ «V», в двійковій системі числення як набір символів - цифр «101», в десятковій системі числення як символ - цифра «5» і т. Д., Цей ряд можна продовжувати нескінченно . У зв'язку з цим виникають питання, по-перше, про форми подання чисел, і, по-друге, про можливості та способи переходу від однієї форми до іншої.

Спосіб подання числа визначається системою числення.

Система числення - сукупність прийомів і правил для запису числа символами (цифровими знаками).

Будь-яка призначена для практичного застосування система числення має забезпечувати єдиність подання числа і простоту оперування числами.

Способи запису чисел можна об'єднати в дві групи: непозиційної и позиційні. У свою чергу позиційні системи числення підрозділяються на традиційні системи числення і нетрадиційні системи числення.

Непозиційної системи числення.

Системи числення, в яких кожній цифрі відповідає величина, незалежна від місця розташування цієї цифри в запису числа, називається непозиційною.

Принципи побудови таких систем не складні. Для їх утворення використовують в основному операції додавання і віднімання.

До непозиційній системі числення можна віднести унарна систему. Система з одним символом (паличкою) зустрічалася у багатьох народів.

Найбільш відома непозиційних система числення - римська. У римській системі числення для зображення чисел використовуються символи I, V, X, L (50), C (100), D (500), м (1000). Десяткове число 27 представляється в такий спосіб: XXVII = 10 + 10 + 5 + 1 + 1. У непозиційних системах числення не подаються дробові і негативні числа. Арифметичні операції виконувати в непозиционной системі числення дуже складно, так як відсутні правила для виконання дій.

Позиційні системи числення.

Системи числення, в яких вклад кожної цифри в величину числа залежить від її положення (позиції) в послідовності цифр, що зображає число, називаються позиційними. Для позиційних систем числення характерним і визначальним є наявність підстави системи, яке показує, по-перше, у скільки разів змінюється кількісне значення цифри при переміщенні її на сусідню позицію (вліво або вправо) і, по-друге, скільки різних цифр входить в обмежений набір, званий алфавітом системи, що використовується для запису будь-якого числа.

Під алфавітом позиційної системи числення розуміють сукупність різних цифр (символів), які використовуються для запису чисел.

Для запису чисел в конкретній системі числення використовується певний кінцевий алфавіт, що складається з цифр - символів.

При цьому підставою традиційної системи числення може бути будь-яке натуральне число р?2. Найменування системи числення відповідає її основи. Кількість цифр, що використовуються в р-ічних системах числення для запису алфавіту одно основи системи числення Наприклад, алфавіт двійкової системи числення складається з двох цифр 0 і 1. Алфавіт Дванадцяткова системи числення складається з 12 цифр-символів: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. Традиційних цифр-символів для запису алфавіту цієї системи числення виявилося недостатньо, тому були введені в якості цифр заголовні букви латинського алфавіту.

У теорії чисел розглядаються системи числення, підставами яких можуть бути будь-які натуральні числа> 1, а також доводиться, що в будь-який позиційній системі числення можна записати будь-яке число і притому єдиним чином.

Запишемо алфавіти систем числення, що використовуються в інформатиці:

- Двійкова система числення 0,1;

- Четверичная система числення 0,1,2,3;

- Восьмерична система числення 0,1,2,3,4,5,6,7;

- Шістнадцяткова система числення 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A, B, C, D, E, F.

Будь-яке число А в позиційній системі числення можна представити сумою творів цілих однозначних коефіцієнтів ai, Взятих з алфавіту системи на послідовні цілі ступеня підстави p (так звана розгорнута форма запису числа):

 , (4.1)

де m - кількість цифр в цілій частині числа або Аq=  ? qk, для цілої частини числа і Аq=  ? qk (4.2)

де адо-будь-яка цифра з алфавіту системи з основою рівним q, m, n-число позицій відповідно для цілої і дробової частин числа.

Статечної ряд для цілої і дробової частин числа можна представити еквівалентними виразами за схемою Горнера:

для цілої частини: Аq= ak?qk= (... ((Am-1q + am-2q) q + am-3) Q + ... + a1) Q + a0; (4.3)

для дробової частини Aq= akqk= q-1(a-1+ q-1(a-2+ ... Q-1 (a-k + 1+ a-kq-1) ...)). (4.4)

4.2 Переклад чисел з однієї системи числення в іншу.

1) Переклад цілих чисел з однієї системи числення в іншу.

Ціле число в системі числення q може бути представлено еквівалентним числом в системі числення р по формулі (1.3)

Аq= Ар= (... ((Bm-1p + bm-2p) q + bm-3) P + ... + b1) P + b0. (4.5)

Завдання перекладу числа з однієї системи числення (q) в іншу систему числення (р) полягає в знаходженні значень цифр bk числа в новій системі числення.

Розділивши обидві частини рівності (4.5) на основу нової системи р, виражене цифрами системи числення q, отримаємо:

 (4.6)

або Аq= Ap= (Aq)1+ b0, Де (Аq)1 - Ціле приватне, b0 - Залишок, який є першою молодшої цифрою числа в новій системі числення, залишок виражений цифрами вихідної системи числення.

При наступному розподілі приватного на підставу системи числення р будуть отримані нове приватне і новий залишок: (Аq)1= (Aq)2+ b1, Де b1 - друга молодша цифра числа. Продовжуючи поділ цілих цілих приватних до нульового значення приватного, знаходимо все цифри числа в новій системі числення.

Правило перекладу цілого числа з однієї системи числення в іншу.

1) послідовно ділити дане число і одержувані цілі приватні на основу нової системи числення, виражені цифрами вихідної системи, до тих пір, поки приватне не стане рівним нулю.

2)Отримані залишки, які є цифрами числа в новій системі числення, висловити цифрами алфавіту цієї системи числення.

3)Записати число в новій системі, починаючи з останнього залишку.

2) Переклад дробових чисел.

Міркуючи за аналогією з перекладом для цілих чисел, але використовуючи операцію множення, сформулюємо правило перекладу дробових чисел.

Правило перекладу дробових чисел з однієї системи числення в іншу.

1) послідовно множити дане число і одержувані дробові частини творів на основу нової системи, виражене цифрами вихідної системи, до тих пір, поки або дрібна частина твору не стане рівною нулю, або не з'явиться період, або не буде досягнуто певної кількості розрядів шуканої дробу.

2) Отримані цілі частини творів, є цифрами числа в новій системі числення, висловити цифрами алфавіту цієї системи.

3) Записати дробову частину числа в новій системі числення, починаючи з цілої частини першого твору.

4.3 Переклад з 10-ної системи числення в р-ву.

1.) Використовуємо викладений спосіб перекладу числа з однієї системи числення в іншу при р = 10 і q = 2.

Нехай десяткове число дорівнює 13. Щоб перевести його в двійкову систему числення необхідно виконати наступні арифметичні операції:

         
       
1      
         

Число 13 ділимо на 2, отриманий залишок буде молодшим розрядом шуканого двійкового числа.

Кожне чергове приватне ділиться на 2 до тих пір, поки частка від ділення не стане не стане рівним 0.

Останнє приватне є старшим розрядом двійкового числа. Запишемо отримане останнє приватне і всі залишки по порядку справа-наліво - 1101, Це і є число 13 в двійковій системі числення, 1310= 11012.

Сутність обчислень полягає в багаторазовому розподілі цілих чисел на 2.

Розглянемо переклад дрібного десяткового числа в двійкову форму. Для цього ми повинні виконати арифметичну операцію множення до першого отриманого нуля в дробової частини, або до певної кількості значущих цифр.

Пояснимо на прикладах.

1) переведемо число 0,5 (десяткове) в двійкову систему числення. Для наочності будемо приводити множення "стовпчиком".

0
 

2) 0,7510 переводимо в двійкову систему числення.

 
 


0  75 2
 50 2

Виписуємо розряди «зверху-вниз».

3) 0,3310 переводимо в двійкову систему.

0  33 2
 66 2
1  32 2
 64 2
 28 2
 56 2
 12 2
 24 2
 48 2
 96 2
 92 ...

4) Провести 10,2510 в двійкову систему числення.

 0,  25 2
 50 2
0
 
         
       
     
         

10,2510= 1010,012.

2.) Виконати переклад числа з однієї системи числення в іншу можна підбором відповідних показників підстави системи числення і коефіцієнтів при цих ступенях, т. Е. Записати розгорнуту форму числа, але вже в іншій системі числення. Найбільш легко цей спосіб реалізується для двійкової системи числення, тому що коефіцієнти при ступенях можуть набувати значень або 0, або 1. Наприклад, переведемо число 123 в двійкову систему числення підбором показників ступенів і коефіцієнтів при них. Складемо таблицю ступенів числа 2 і подивимося, які з цих ступенів можуть в сумі скласти число 123.

Таблиця ступенів числа 2.

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 210

123 = 64 + 32 + 16 + 8 + 2 + 1 = 1 ? 26+ 1 ? 25+ 1 ? 24+ 1 ? 23+ 0 ? 22+ 1 ? 21+ 1 ? 20= 11110112.

Розглянемо переклад цілих і дробових чисел з десяткової системи числення в вісімкову систему числення.

У вісімковій системі числення для представлення числа використовуються цифри від 0 до 7. Правила перекладу природно залишаються колишніми.

приклад

21,2510 переведемо в вісімкову систему числення.

 2110= 2580,2510= 0,2821,2510= 25,28
 
 
   
 25 8

При перекладі з десяткової системи числення в шістнадцяткову, необхідно пам'ятати про те, що кількість символів алфавіту шестнадцатеричной системи числення перевищує кількість символів алфавіту десяткової системи числення і двозначні числа 11,12,13,14,15 десяткової системи числення є однозначними в системі числення за основою 16.

У шістнадцятковій системі числення для запису будь-якого числа необхідно 16 цифр, для зображення яких бракує цифр використовуються великі літери латинського алфавіту.

Алфавіт шестнадцатеричной системи числення:

A B C D E F
                   

Приклад.

Перевести десяткове число 142,25 в шістнадцяткову систему числення.

 14210= 8E80,2510= 0,416142,2510= 8E, 416
 
 
 (E)    
 0,  25 16

4.4 Переклад чисел з р-ічной системи числення в десяткову.

Для того, щоб перевести р-ічное число в десяткову систему числення, запишемо його в розгорнутій формі, а потім, виконавши необхідні обчислення, отримаємо відповідне десяткове число.

Приклад 1.

Перекласти з вісімковій системи числення в десяткову наступні числа:

-13.48; 27.518; 14.28; 127.038

Запишемо розгорнуту форму записи числа в вісімковій системі числення, підстава системи счісленія108, Висловимо цифрою десяткової системи числення 108= 810

Виконаємо переклад для першого числа:

-13.48= - (138+0.48)

-13.48= -11.510.

Інші приклади вирішите самостійно.

Приклад 2.

Перекласти наступні числа: 1110011.012, -456.078, 1АС.1516.

1110011.01 = 1 ? 26+ 1 ? 25+ 1 ? 24+ 0 ? 23+ 0 ? 22+ 1 ? 21+ 1 ? 20+

0 ? 2-1= 64 + 32 + 16 + 2 + 1 + 0.25 = 115.25; інші приклади виконайте самостійно.

4.5 Системи числення з основами, які є ступенем 2.

При вирішенні прикладів з перекладу чисел з однієї системи числення в іншу (при цьому обидві системи мають в якості підстави ступеня числа 2) може знадобитися таблиця перекладів.

Таблиця перекладів.

 Система числення з основою 10  Система числення з основою 2  Система числення з основою 8  Система числення з основою 16
A
B
C
D
E
F



Формула Шеннона. | Джерело - кодує пристрій - кодер каналу - канал зв'язку - декодер каналу - декодер - приймач. | Принципи фон Неймана | ЕОМ - програмно-керований цифровий автомат. | Коротка історія розвитку ЕОМ | перше покоління | друге покоління | третє покоління | четверте покоління | Глава 3. Алгоритми. Алгоритмізація |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати