Головна |
дано: Рівняння відносного руху точки М
OM = Sr = Sr(T) = 2,5 · p · t2, См;
рівняння обертального руху тіла D
?e = ?e(T) = 2 · t3 - 5 · t, радий;
t1 = 1 c; R = 40 см.
Точка М рухається по тілу D. За заданим рівнянням відносного руху точки М і руху тіла D визначити для заданого моменту часу t1 абсолютну швидкість і абсолютне прискорення точки М (OM (t1) =? Vr(t1) =? Ve(t1) =? V (t1) =? ar(t1) =? ae(t1) =? ac(t1) =? a(t1) =?) (Рис. 2.49).
Рішення. Точка М здійснює складний рух, тому для вирішення завдання необхідно ввести нерухому систему відліку O1X1Y1Z1 і рухливу систему відліку OXYZ. Зобразимо розглянутий механізм в момент часу t1 (Рис. 2.50).
Координатну вісь O1Y1 нерухомої системи відліку направимо по осі обертання тіла D. Рухому систему відліку OXYZ закріпимо на тілі D, розташувавши початок відліку в точці О. За вихідними даними рівняння відносного руху точки М задано природним способом Sr(T) = 2,5 · p · t2. Виходячи з цього, відомі такі характеристики руху: вид траєкторії руху - дуга окружності радіусом R; початок відліку дугового координати Sr - Точка О; позитивний напрямок відліку дугового координати Sr - Знак (+); рівняння руху Sr = 2,5 · p · t2.
Визначимо положення точки М на траєкторії відносного руху в момент часу t1:
Sr(t1) = 2 · p · (t1)2 = 2,5 · p · 22 = 10p см 0.
Для координації точки М на траєкторії відносного руху доцільно використовувати центральний кут:
a (t1) = Sr(t1) / R = 2,5 · p · (t1)2/ R = 2,5 · p · 22/ 40 = p / 4.
Отже, ? (t1) = 45о. Точка М тіла D, що здійснює обертальний рух в нерухомій системі відліку O1X1Y1Z1, Описує коло радіусом
MK = R - R · cos (? (t1)) = R · (1 - cos (? (t1)) = 40 · (1 - 0,707) = 11,72 см.
Таким чином, траєкторія переносного руху точки М встановлена. Це коло радіусом МК з центром в точці К, розташованої на осі обертання тіла D.
Абсолютна рух точки М - це сума відносного і переносного рухів. Таким чином, траєкторія абсолютного руху точки М являє собою кручені лінію, розташовану на сферичному конусі.
Для визначення абсолютної швидкості V точки М використовується векторне рівність
V = Vr + Ve,
де Vr - Вектор відносної швидкості; Ve - Вектор переносний швидкості.
визначимо проекцію відносної швидкості Vr на дотичну:
= = 5 · p · t.
У момент часу t1 маємо
(t1) = (t1) = 5 · p · t1 = 5 · p · 2 = 10 · p = 31,4 см / c> 0.
оскільки (t1)> 0, то модуль відносної Vr(t1) = (t1), А вектор відносної швидкості Vr направлений так само, як і одиничний вектор ? природної координатної системи відліку. Покажемо цей вектор на рис. 2.50.
Для визначення переносний швидкості Ve попередньо знайдемо модуль ?е кутової швидкості переносного обертання.
?e = I I = I6 · t2 - 5I.
У момент часу (t1) маємо
?e(t1) = I6 · (t1)2 - 5I = I6 · 22 - 5I = 19 рад / c> 0.
оскільки ?e(t1)> 0, то величина кута ?е зростає. Покажемо на рис. 2.50 напрямок обертання і визначимо модуль переносної швидкості Ve(t1) за формулою
Ve(t1) = ?e(t1) · МК = 19 · 11,72 = 222,68 см / с.
Так як Ve(t1) Спрямована по дотичній до траєкторії переносного руху, то вона перпендикулярна площині OYZ рухомий системи відліку. З іншого боку, Vr + Ve. Виходячи з цього, визначимо модуль абсолютної швидкості:
V (t1) = = = 224,88 см / с.
якщо Vr не перпендикулярно Ve, То визначення модуля швидкості V слід визначати через проекції векторного виразу V = Vr + Ve на координатні осі нерухомої системи відліку O1X1Y1Z1.
= Ve; = - Vr· Cos (?); = Vr· Sin (?),
де , , - Проекції абсолютної швидкості на осі O1X1, O1Y1, O1Z1 системи відліку O1X1Y1Z1.
V (t1) = =
= =
= = 224,88 см / с.
Для орієнтації абсолютної швидкості Vв просторі нерухомої системи відліку визначимо напрямні косинуси.
cos (V,i1) = (t1) / V (t1) = 222,68 / 224,88 = 0,990;
cos (V,j1) = (t1) / V (t1) = (- 31,4 · 0,707) / 224,88 = - 0,098;
cos (V,k1) = (t1) / V (t1) = (31,4 · 0,707) / 224,88 = 0,098.
При визначенні абсолютного прискорення a точки М використовується формула
a = ar+ ae+ ac ,
де ar - Відносне прискорення; ae - Переносне прискорення; ac - Прискорення Коріоліса.
Оскільки відносний рух задано природним способом, то справедливо рівність
ar= + ,
де - Відносне дотичне прискорення; - Відносне нормальне прискорення.
Так як переносний рух є обертальним, то переносне прискорення ae знаходять за формулою
ae= + ,
де - Переносне доцентровийприскорення; - Переносне обертальний прискорення.
Вихідну формулу для визначення абсолютного прискорення можна представити в наступному вигляді:
a = + + + + ac.
Приступаємо до визначення складових в правій частині останнього виразу.
= = d / Dt = d (5 · p · t) / dt = 5 · p = const.
(t1) = 5 · p = 5 · 3,14 = 15,7 см / с2 > 0 = const.
Так як и мають однакові знаки, то у відносному русі точка М рухається рівноприскореному. покажемо вектор (t1) На рис. 2.50.
(t1) = (Vr(t1))2/ ? = (Vr(t1))2/ R = (3,14)2/ 40 = 24,64 см / с2 .
вектор (t1) Спрямований по головній нормалі до центру кривизни траєкторії відносного руху.
модуль ar(t1) Відносного прискорення ar(t1) В момент часу t1 визначимо за формулою
ar(t1) = =
= = 29,276 cм / c2.
модуль (t1) Переносного доцентровий прискорення (t1) В момент часу t1 визначимо за формулою
(t1) = (?e(t1))2· MK = (19)2· 11,72 = 4230,92 см / с2.
вектор (t1) Спрямований до осі переносного обертання. Покажемо його на рис. 2.50.
Для визначення переносного обертального прискорення необхідно попередньо визначити модуль ?е переносного кутового прискорення .
?e = I I = Id / DtI = Id (6 · t2 - 5) / dtI = I12 · tI.
?e(t1) = 12 · t1 = 12 · 2 = 24 рад / с2.
Так як и мають однакові знаки, то переносне обертання відбувається прискорено. Виходячи з цього, напрямки и Ve збігаються.
(t1) = ?e(t1) · МК = 24 · 11,72 = 281,28 см / с2.
покажемо вектор (t1) На рис. 2.50.
модуль ae(t1) Переносного прискорення aе(t1) В момент часу t1 визначимо за формулою
aе(t1) = =
= = 4240,259 cм / c2.
Приступаємо до визначення модуля прискорення Коріоліса.
ac(t1) = 2?е(t1) · Vr(t1) · Sin ( (t1), Vr(t1)).
Відповідно до визначення вектор переносний кутової швидкості лежить на осі обертання тіла D і спрямований в бік збільшення координати Y1 (Див. Рис 2.50).
ac(t1) = 2?е(t1) · Vr(t1) · Sin ( (t1), Vr(t1)) = 2?е(t1) · Vr(t1) · Sin (135o) =
= 2 · 19 · 31,4 · 0,707 = 843,59 см / с2.
За правилом векторного добутку (ac = 2 ( xVr)) Прискорення Коріоліса ac направлено так само, як і вектори Ve и . Покажемо вектор прискорення Коріоліса на рис. 2.50.
Таким чином, у векторному рівність
a = + + + + ac
відомі всі складові, що знаходяться в його правій частині.
визначимо модуль a(t1) Абсолютного прискорення a(t1) Через його проекції (t1), (t1), (t1) На осі нерухомої системи відліку O1X1Y1Z1 в момент часу (t1).
(t1) = (t1) + ac(t1) = 281,28 + 843,59 = 1124,87 см / с2;
(t1) = - (t1) · Cos (? (t1)) + (t1) · Sin (? (t1)) =
= - 15,7 · 0,707 + 24,64 · 0,707 = 6,32 см / с2;
(t1) = (t1) · Sin (? (t1)) + (t1) · Cos (? (t1)) - (t1) =
= 15,7 · 0,707 + 24,64 · 0,707 - 4230,92 = - 4202,39 см / с2;
a(t1) = = 4350,01 см / с2.
Для орієнтації абсолютного прискорення в просторі визначимо напрямні косинуси.
cos (a, i1) = (t1)/ a(t1) = 1124,87 / 4350,01 = 0,258;
cos (a, j1) = (t1)/ a(t1) = 6,32 / 4350,01 = 0,001;
cos (a, k1) = (t1)/ a(t1) = - 4202,39 / 4350,01 = - 0,966.
Результати розрахунків зводяться в таблицю.
Таблиця
Кінематичні характеристики точки М в момент часу t1
Sr(t1), См | Vr(t1), См / с | Ve(t1), См / с | V (t1), См / с | (t1), См / с2 | (t1), См / с2 | (t1), См / с2 |
31,400 | 31,400 | 222,688 | 224,880 | 15,700 | 24,640 | 29,276 |
закінчення таблиці
, См / с2 | , См / с2 | , См / с2 | ?e(t1), Рад / с | ?e(t1), Рад / с2 | ac(t1), См / с2 | a(t1), См / с2 |
4230,920 | 281,280 | 4240,259 | 19,000 | 24,000 | 843,590 | 4350,010 |
2.28. Сферичне рух твердого тіла
Розглянемо рух тіла, одна з точок якого в усі час руху залишається нерухомою. При такому русі всі інші точки тіла рухаються по сферичних поверхнях, центри яких співпадають з нерухомою точкою. Такий рух називають сферичним рухом твердого тіла.
Сферичне рух твердого тіла - Рух, при якому швидкість однієї точки тіла дорівнює нулю, а інші точки рухаються по сферичних поверхнях, центри яких співпадають з цієї нерухомою точкою.
Прикладом сферичного руху тіла служить рух дзиги, що має нерухому точку Про1 (Рис. 2.51).
Для визначення положення тіла в кожен момент часу використовують дві системи відліку: нерухома система відліку O1X1Y1Z1 і рухома система відліку OXYZ, яка жорстко закріплена на тілі. При цьому початок відліку ПСО збігається з початком відліку НСО.
На рис. 2.51 стрілками показані позитивні напрямки відліку кутів ?, ?, і ?. Розглянемо докладніше порядок відліку цих кутів. Площина OXY рухомий системи відліку OXYZ перетинається з площиною O1X1Y1 нерухомої системи відліку O1X1Y1Z1 по лінії O1L. Цю лінію називають віссю вузлів. Введемо одиничний вектор р, Спрямований від точки Про1 до точки L осі вузлів. одиничні вектори i1, p лежать в горизонтальній площині O1X1Y1 і утворюють кут ?, величина якого залежить від часу. ? = f1(T). Позитивний напрямок відліку кута ? визначають за правилом: дивлячись назустріч вектору k1, Поворот вектора i1 до вектору р повинні побачити, що відбувається проти годинникової стрілки.
одиничні вектори k1, k утворюють площину, в якій знаходиться кут ?, який також залежить від часу. ? = f2(T). Позитивний напрямок відліку кута ? визначають за правилом: дивлячись назустріч вектору i, Поворот вектора k1, До вектору k повинні побачити, що відбувається проти годинникової стрілки.
одиничні вектори р, i утворюють площину, в якій лежить кут ?, величина якого заздрості від часу. ? = f3(T). Правило позитивного напрямку відліку кута ?: дивлячись назустріч вектору j, Поворот вектора р до вектору i повинні побачити, що відбувається проти годинникової стрілки.
Кути ?, ?, ? називають також ейлеровимі кутами:
кут ? - кут прецесії;
кут ? - кут нутації;
кут ? - кут власного обертання.
Так як положення тіла, що має одну нерухому точку, визначається трьома ейлеровимі кутами, т. Е. Трьома параметрами, то воно має три ступені свободи.
Таким чином, сферичне рух тіла описується трьома рівняннями руху:
? = f1(T); ? = f2(T); ? = f3(T).
При сферичному русі широко використовують теорему Ейлера-Даламбера.
Тверде тіло, що має одну нерухому точку, можна перемістити з одного положення в інше поворотом навколо осі, що проходить через нерухому точку (рис. 2.52).
Іншими словами, тіло може обертатися щодо миттєвої осі обертання.
Миттєва вісь обертання - Геометричне місце точок тіла, швидкості яких в даний момент часу дорівнюють нулю.
У разі сферичного руху вектор кутової швидкості ? в даний момент часу відкладається від нерухомої точки О по миттєвої осі в таку сторону, щоб, дивлячись назустріч цьому вектору, бачити обертання тіла, що відбувається проти годинникової стрілки.
Tело, що має одну нерухому точку, можна перемістити з одного положення в інше поворотом навколо деякої осі, що проходить через нерухому точку. Прикладом такого руху є кочення рухомого конуса 1 по нерухомому конусу 2 (рис. 2.53). Покажемо на малюнку напрямок вектора миттєвої кутової швидкості і запишемо формулу для визначення модуля швидкості точки З рухомого конуса.
Так як швидкість VО точки Про конуса 1 дорівнює нулю, то цей конус здійснює сферичне рух. Такий рух можна представити як обертальний рух щодо миттєвої осі обертання. Миттєва вісь обертання - геометричне місце точок тіла, швидкості яких в даний момент часу дорівнюють нулю. Для тіла 1 миттєвої віссю обертання є вісь ОК (див. Рис. 2.53).
вектор ? кутової швидкості тіла 1 відкладається на миттєвої осі обертання в таку сторону, щоб, дивлячись назустріч цьому вектору, бачити обертання тіла, що відбувається проти годинникової стрілки.
модуль VC швидкості точки С конуса 1 визначають за формулою
VC = ? · CL,
де CL - найкоротша відстань від точки С тіла 1 до миттєвої осі обертання.
Для заочної та дистанційної форм навчання виконання контрольних робіт на сферичне рух не передбачено. Однак такі завдання досить часто зустрічаються в дидактичних одиницях інтернет-іспиту. Наведемо приклади розв'язання задач такого типу.
приклад 1.
Рухомий конус котиться по нерухомій горизонтальній площині O1X1Y1, Маючи нерухому точку Про1 (Рис. 2.54).
Запишіть номер вектора, за яким спрямована миттєва кутова швидкість обертання.
відповідь. Миттєва кутова швидкість обертання ? збігається з напрямком 1.
приклад 2.
Рухомий конус 1 котиться без проковзування по нерухомому конусу 2, так, що модуль кутової швидкості обертання осі Про1З відносно осі Про1С1 нерухомого конуса постійний і дорівнює ?1 рад / с (рис. 2.55).
(Для довідки: sin (15o) = Cos (75o) = 0,26; sin (75o) = Cos (15o) = 0,96).
Миттєва кутова швидкість рухомого конуса дорівнює ...
Варіанти відповідей: ? = 1,9?1 рад / с; ? = 2,7?1 рад / с; ? = 0,52?1 рад / с; ? = 0,35?1 рад / с; ? = 0,7?1 рад / с.
Рішення.
Модуль швидкості точки С при обертанні осі Про1З відносно осі Про1С1 визначимо за формулою VC = ?1· CM = ?1· O1C · sin (30o) (Рис. 2.56).
Конус 1 обертається щодо миттєвої осі Про1D обертання з кутовою швидкістю ?. Виходячи з цього, модуль VC швидкості точки С конуса 1 дорівнює
VC = ? · CL = ? · R · cos (15o) = ? · (O1C · tg (15o)) · Cos (15o) =
= ? · O1C · (sin (15o) / Cos (15o)) · Cos (15o) = ? · O1C · (sin (15o).
тоді
VC = ?1· O1C · sin (30o) = ? · O1C · (sin (15o)).
Вирішуючи останню рівність, отримаємо
? = ?1· (Sin (30o) / Sin (15o)) = ?1· (0,5 / 0,26) = 1,93 рад / с.
Правильну відповідь: ? = 1,93 рад / с.
приклад 3.
Рухомий конус 1 котиться без проковзування по нерухомому конусу 2, так, що модуль кутової швидкості обертання осі ОС щодо осі ОС1 нерухомого конуса постійний і дорівнює ?1 рад / с (рис. 2.57).
(Для довідки: sin (15o) = Cos (75o) = 0,26; sin (75o) = Cos (15o) = 0,96).
Якщо відомі кути і радіус підстави R = 1 м, то миттєва кутова швидкість рухомого конуса 1 дорівнює ...
Варіанти відповідей: ? = 0,73 · ?1 рад / с; ? = 0,52 · ?1 рад / с; ? = 0,28 · ?1 рад / с; ? = 1,37 · ?1 рад / с; ? = 1,92 · ?1 рад / с.
Рішення.
Модуль швидкості точки С при обертанні осі ОС щодо осі ОС1 визначимо за формулою VC = ?1· CM = ?1· OC · sin (75o) (Рис. 2.58).
Конус 1 обертається щодо миттєвої осі Про1D обертання з кутовою швидкістю ?. Виходячи з цього, модуль VC швидкості точки С конуса 1 дорівнює
VC = ? · CL = ? · (OC) · sin (45o).
тоді
VC = ?1· OC · sin (75o) = ? · OC · sin (75o).
Вирішуючи останню рівність, отримаємо
? = ?1· (Sin (75o) / Sin (45o)) = ?1· (0,96 / 0,707) = 1,37 · ?1 рад / с.
Правильну відповідь: ? = 1,37 · ?1 рад / с.
2.29. Загальний випадок руху твердого тіла
У загальному випадку рух вільного тіла в просторі можна розглядати як суму найпростіших рухів (три поступальних руху, паралельні координатним осях, і три обертальні рухи щодо цих осей), які здійснюються одночасно і незалежно один від одного.
Таким чином, вільний тіло в просторі має шість ступенів свободи.
У теоретичної механіки рух вільного тіла в просторі розглядають як складне, що складається з поступального руху зі швидкістю деякої точки тіла, прийнятої за полюс, і сферичного руху навколо цього полюса (рис. 2.60).
Приймемо довільну точку О за полюс і помістимо в нього почала двох рухливих систем відліку OXYZ, O2X2Y2Z2. При цьому система відліку OXYZ нерухомо закріплена на тілі, а система відліку O2X2Y2Z2 здійснює поступальний рух таким чином, що її координатні осі паралельні координатним осях нерухомої системи відліку O1X1Y1Z1.
Площині OXY, O2X2Y2 рухомих систем відліку перетинаються по лінії OL. Введенням одиничного вектора р цю лінію перетворять в вісь вузлів.
На рис. 2.60 показані кути ?, ?, ?, величини яких залежать від часу. Ці кути називають ейлеровимі кутами.
Таким чином, вільний рух тіла визначається шістьма рівняннями руху вільного твердого тіла.
X1О = f1(T); Y1О = f2(T); Z1О = f3(T);
? = f4(T); ? = f5(T); ? = f6(T),
де X1О, Y1О, Z1О - Координати полюса О в нерухомій системі відліку O1X1Y1Z1.
Перші три рівняння, що визначають поступальну частина руху тіла, залежать від вибору полюса О, так як координати різних точок тіла різні.
Решта три рівняння, що визначає сферичне рух тіла навколо полюса, від вибору полюса не залежать.
швидкість VM будь-якої точки М вільного тіла дорівнює геометричній сумі швидкості VO полюса О і швидкості VMO цієї точки в її сферичному русі навколо полюса.
VM = VO + VMO.
швидкість VMO визначають за формулою
VMO = ? ? rM,
де ? - Вектор миттєвої кутової швидкості; rM - Радіус-вектор, початок якого знаходиться в полюсі, а кінець в точці М.
Для студентів заочної та дистанційної форм навчання виконання курсових завдань на вільний рух тіла не передбачено.
Питання і завдання для самоконтролю
1. Сформулювати визначення терміна «Складний рух точки або тіла».
2. Сформулювати визначення терміна «Абсолютний рух точки».
3. Сформулювати визначення терміна «Відносний рух точки».
4. Сформулювати визначення терміна «Переносний рух точки».
5. Сформулювати визначення терміна «Абсолютна траєкторія точки».
6. Сформулювати визначення терміна «Відносна траєкторія точки».
7. Сформулювати визначення терміна «Абсолютна швидкість точки».
8. Сформулювати визначення терміна «Відносна швидкість точки».
9. Сформулювати визначення терміна «Переносна швидкість точки».
10. Сформулювати визначення терміна «Абсолютне прискорення точки».
11. Сформулювати визначення терміна «Відносне прискорення точки».
12. Сформулювати визначення терміна «Переносне прискорення точки».
13. Сформулювати визначення терміна «Кориолисово прискорення точки».
Способів завдання руху точки | Векторний спосіб завдання руху точки | Приклад виконання курсового завдання К 1 | Приклад виконання курсового завдання К 2 | За допомогою миттєвого центру швидкостей | Миттєвого центру швидкостей | Приклад виконання курсового завдання К 3 | Складний рух точки | додавання швидкостей | Додавання прискорень (теорема Коріоліса) |