Головна

Математичне сподівання і дисперсія

  1. дисперсія
  2. Дисперсія випадкової величини
  3. Дисперсія постійної величини
  4. Дисперсія випадкової величини
  5. Дисперсія.
  6. Тривале очікування операції більш небезпечно, ніж евакуація.
  7. Математичний вираз другого закону ТТД

Часто виникає необхідність охарактеризувати розподіл випадкової змінної за допомогою одного-двох числових показників, що виражають найбільш істотні властивості цього розподілу. До таких основних характеристик розподілу відносяться математичне очікування (стохастична середня), дисперсія і моменти.

Якщо випадкова змінна X дискретна, то математичне очікування Е (Х) цієї випадкової змінної визначається як сума добутків окремих значень, які може приймати змінна, на відповідні їм ймовірності:

 (2.3)

Трактування математичного очікування як деякої стохастичною (ймовірнісної) суми виду (2.3), досить звичайна в посібниках з теорії ймовірності, грішить деякою формальністю. Набагато істотніше трактування математичного очікування як стохастичною (ймовірнісної) середньої виду:

 (2.4)

де в чисельнику кожне можливе значення х випадкової змінної X зважено за ймовірністю Р його виникнення, а знаменник - сума всіх таких ваг. Так як ця сума ваг (сума всіх ймовірностей Р) Завжди дорівнює 1, стохастична середня (2.4) завжди тотожне збігається зі стохастичною сумою (2.3).

Отже, математичне сподівання випадкової змінної X з більшою користю може бути витлумачено як арифметична середня всіх можливих значень xi цієї змінної, зважених стохастически, т. е. по можливостям Рi їх виникнення.

У вираженні (2.3) підсумовування поширюється на всі можливі значення випадкової змінної.

Якщо випадкова змінна X неперервна і приймає значення в інтервалі (С, d), То у визначенні математичного очікування, що постачається на безперервні змінні, сума, природно, змінюється інтегралом. Таким чином:

 (2.5)

де f (x) - Щільність ймовірності випадкової змінної X.

якщо X є дискретна змінна, яка може приймати ряд значень, то математичне очікування існує тоді і тільки тоді, коли нескінченний ряд виду (2.3) абсолютно сходиться. Точно так же, якщо X є безперервна випадкова змінна, то математичне очікування E (X) існує тоді і тільки тоді, коли інтеграл (2.5) є абсолютно збіжним.

Математичне сподівання - основна характеристика розподілу. Воно інформує про те, яким є середній рівень значень, прийнятих випадкової змінної. Точніше кажучи, якщо спостерігати випадкову змінну X вельми велике число раз, то середня арифметична значень, прийнятих випадкової змінної, була б наближено дорівнює E (X). І це не дивно. Більш ретельний аналіз виразу (2.5) показує, що E (X) є середня арифметична окремих можливих значень випадкової змінної, зважених за відповідними їм ймовірностями. Саме тому замість терміна «математичне очікування» часто застосовують найменування «середнє значення випадкової змінної».

Наведемо два приклади обчислення математичного очікування випадкової змінної.

приклад

Випадкова змінна X може приймати значення -
-1, 0 і +1 з вірогідністю відповідно 0,1, 0,3 і 0,6. Тоді математичне сподівання випадкової змінної X:

приклад

Безперервна випадкова змінна X приймає значення в інтервалі (0; 2), і її функція щільності ймовірності в цьому інтервалі становить . Потрібно знайти математичне очікування цієї випадкової змінної. Застосовуючи формулу (2.5), отримуємо:

Якщо математичне очікування визначає середній рівень значень, прийнятих випадкової змінної, то дисперсія є характеристика ступеня розбіжності цих значень. Дисперсія визначається, як математичне сподівання квадрата відхилень випадкової змінної від її математичного очікування. Таким чином, позначивши дисперсію через D2(X), Маємо:

 (2.6)

У деяких випадках велике практичне значення має квадратний корінь з дисперсії, званий зазвичай середнім квад-ратіческая відхиленням, або стандартним відхиленням. Позначаючи його через D (X), Маємо:

 (2.7)

якщо X є дискретна випадкова змінна, то обчислення дисперсії зводиться до наступного:

 (2.8)

Причому підсумовування поширюється на всі можливі значення змінної.

якщо X є безперервна випадкова змінна з щільністю ймовірності f (x), То для отримання дисперсії необхідно обчислити інтеграл:

 (2.9)

приклад

Обчислити дисперсію випадкової змінної X з прикладу 1 цього параграфа. оскільки X є дискретна змінна вдаємося до формули (2.8) і, враховуючи, що Е (х) = 0,5, отримаємо:

приклад

Обчислити дисперсію випадкової змінної X з прикладу 2 цього параграфа. Так як Е (х) = 4/3, то за формулою (2.9) маємо:

У багатьох випадках обчислення дисперсії можна значно спростити, застосовуючи наступну формулу, справедливу і для дискретних, і для безперервних змінних:

 (2.10)

Відповідно до цієї формули дисперсія випадкової змінної X дорівнює математичному очікуванню випадкової змінної X2 мінус квадрат математичного очікування випадкової змінної X. Розподіл випадкової змінної X2 дається розподілом змінної X. Тому, якщо X - Дискретна змінна, Е (Х2) обчислюють за формулою:

 (2.11)

Якщо ж X - безперервна змінна, то Е (Х2) обчислюють за формулою:

 (2.12)

приклад

За допомогою формули (2.12) обчислити дисперсію випадкової змінної X, яка приймає різні значення в інтервалі [0; 2] і функція щільності ймовірності якої є:

Обчислимо математичне сподівання випадкової змінної X2:

Оскільки з попередніх розрахунків відомо, що Е (X) = 4/3, то отримаємо:

Природно, що отриманий результат збігається з результатом, знайденим за формулою (2.9).




Ю. М. ЖУЧЕНКО | НАВЧАЛЬНИЙ ПОСІБНИК | Предмет і метод математичної статистики | Поняття випадкової події | Імовірність випадкової події | обчислення ймовірностей | Поняття випадкової змінної | Дискретні випадкові змінні | Біноміальний розподіл і вимір ймовірностей | Розподіл рідкісних подій (Пуассона) |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати