Головна

Е. Б. Абдуллін

1. Побудувати матрицю відмінностей між альтернативами з W з використанням будь-якої з експертиз Е1 - Е3.

2. Показати за допомогою експертизи Е8 безліч W в простір Еl.

3. Визначити ранжування r1, ..., Rl елементів безлічі W по осях Еl.

4. Побудувати безліч До критеріїв з використанням експертизи Е10, в якій W ? = Ку, W * = К.

5. Побудувати ранжування r1 * , ..., Rd *  елементів безлічі W за критеріями k1, ..., Kd з До з використанням експертизи Е4, де d = | K |.

6. Знайти коефіцієнти рангової кореляції tij між ранжування ri і rj * , I = 1, ..., l, J = 1, ..., d.

7. Знайти критерій kj такий, що jI arg max tij, J = 1, ..., d. При цьому i-я вісь простору Еi інтерпретується як критерій ki.

Точність, з якою обрані критерії представляють критерії з безлічі К, в даному випадку буде визначатися точністю виконання експертизи Е8 (другий крок алгоритму).

5.2. Метод ідеальної точки

Точка а в критеріальною просторі називається ідеальною, якщо вона оптимальна відразу за всіма критеріями. Як правило, така точка не належить ІМА. В цьому випадку правилом пошуку компромісу може бути мінімізація відстані до ідеальної точки, яка може бути задана як точка, координати якої збігаються з граничними значеннями відповідних критеріїв. Задамо для всіх точок x, що представляють відповідні альтернативи в критеріальною просторі, функцію, що є евклідовим відстанню між точками x і a:

p (x, a) = [ai = 1m (A-xi)2 ]1/2,

де m - розмірність критериального простору. Рішення завдання в цьому випадку зводиться до звичайної однокритерійним задачі оптимізації p (x, a) ® min.

Розглянемо простий приклад. Нехай альтернативи задані точками в критеріальною просторі розмірності два: x1= (4,0); x2= (3,1); x3= (2,2); x4= (1,3); x5= (0,4). Тоді ідеальною точкою в припущенні, що критерій максимізує, буде а = (4,4). Вона не належить ІМА. Знаходимо відстань від точок x до а: p (x1, A) = 4; p (x2, A) = 101/2; p (x3, A) = 81/2; p (x4, A) = 101/2; p (x, a) = 4. Найменша відстань має точка x3. Таким чином, вона є рішенням даної задачі.

5.3. Виділення Парето оптимальних рішень

Серед всіх бінарних відносин, заданих на множині альтернатив W, особливе місце займають координатні відносини, для порівняння за якими пари альтернатив досить мати інформацію лише про знак різниць однойменних координат. При вирішенні завдань вибору найбільш широко використовуються координатні відносини Парето і лексикографії.

Поняття оптимального по (стосовно) Парето, або ефективного вирішення, Є одним з фундаментальних понять теорії прийняття рішень. Воно являє собою узагальнення поняття точки максимуму числової функції на випадок декількох функцій (критеріїв): рішення Парето - оптимально, якщо значення будь-якого з критеріїв можна виправити лише за рахунок погіршення значень інших критеріїв. Найменування зазначеного поняття пов'язане з ім'ям італійського економіста і соціолога В. Парето (1848 - 1923), який одним з перших почав його використовувати при математичних дослідженнях процесу ринкового обміну товарів.

Наведемо формальне визначення відносини Парето і безлічі Парето.

ставлення Парето (Р):

( "X, yIW) [xPy] U {(" j = 1, ..., m) [xj?yj] & ($ II {1, ..., m}) [xi> yi]}.

безліччю Парето на WIЕm називається безліч недомініруемих по Р альтернатив:

W+(Р) = {xIW | ( "YIW) [yPx]}.

З наведеного визначення випливає, що елементи множини Парето є Парето оптимальними (див. Визначення R - оптимальних елементів, п.4.3). Нижче для позначення безлічі Парето оптимальних альтернатив будемо використовувати позначення WР.

Розглянемо приклад. нехай

W = {x1, ..., X6};

x11= 2; x21= 3; x31= 1; x41= 1; x51= 4; x61= 5;

x12= 5; x22= 3; x32= 4 x42= 3; x52= 3; x62= 4.

Безлічі W і Wр зображені на рис.5.1.

k2

P+(x1) P+(x6)

 5 x1 ·

 4 x3 x6 ·

 3 x4 x2 x5

2

1

 0 1 2 3 4 5 k1

Мал. 5.1. Критеріальне уявлення множин W і WР

Легко бачити, що

PW+(x1) = ?; PW+(x2) = {X5, x6}; PW+(x3) = {X1, x6};

PW+(x4) = {X1, x2, x3, x5, x6}; PW+(x5) = {X6}; PW+(x6) = ?.

Таким чином, Парето оптимальними є альтернативи x1 і x6.

При вирішенні практичних завдань виділення Парето оптимальних альтернатив може бути здійснено з використанням алгоритмів 4.1 і 4.2. У разі застосування останнього алгоритму (що дозволяє скоротити обсяг обчислень) функція j (x), що задає гомоморфізм відносини Парето в лінійний порядок, може бути обрана таким чином [6]:

j (x) = ai = 1m lixi,

де li - Будь-які позитивні числа.

5.4. Метод лексикографічного впорядкування

Ставлення лексикографії є ??другим прикладом координатного відносини, заданого на ІМА W. Формально це відношення вводиться наступним чином. Нехай на осях координат задано лінійний порядок такої, що k1> k2> ...> Km, Де ki- Номер координати на i-му місці порядку.

ставлення лексикографії (L):

( "X, yIW) [xLy] U [x1> y1], Або

[x1= y1 & x2> y2], Або ... або [x1= y1, ..., Xm-1= ym-1 & xm> ym].

безліч WL складається з одного елемента. Для знаходження цього елемента можна скористатися алгоритмом 4.2. Функція j (x), що задає гомоморфізм відносини лексикографії в лінійний порядок, вибирається в такий спосіб:

j (x) = ai = 1m Dm-ixi,

де

D = 1 + (max | x1i-x2i |) / (Min | x1i-x2i |).

 {I, x1, x2IW} {I, x1, x2IW | x1i?x2i}

5.5. узагальнені критерії

Метод використання узагальнених критеріїв є, мабуть, найбільш поширеним при вирішенні багатокритеріальних задач. Його застосування дозволяє звести многокритериальную завдання до однокритерійним, Рішення якої суттєво простіше і може бути здійснено методами математичного програмування. Конкретний вид узагальненого критерію вибирається ЛПР, зазвичай, виходячи зі змісту розв'язуваної задачі. Як правило, використовують адитивні і мультиплікативні узагальнені критерії:

G = ai = 1m aiki/ si;

m

1-G = П (1-aiki/ si).

 i = 1

коефіцієнти si забезпечують, по-перше, безрозмірність числа ki/ si (Приватні критерії можуть мати різну розмірність, і тоді деякі арифметичні операції над ними, наприклад додавання, не мають сенсу) і, по-друге, в необхідних випадках (як у натуральному вираженні для мультиплікативного критерію) виконання умови aiki/ si? 1. коефіцієнти ai враховують відносний внесок приватних критеріїв в узагальнений критерій (вага критерію). Як значення цих коефіцієнтів можуть бути використані показники відносної важливості критеріїв, які визначаються методом одновимірного шкалювання (експертиза Е9).

Очевидні переваги об'єднання декількох критеріїв в один узагальнений критерій супроводжується рядом труднощів і недоліків, які необхідно враховувати при використанні цього методу. Так, впорядкування альтернатив в багатовимірному просторі в принципі не може бути однозначним і повністю визначається видом впорядкує функції. Узагальнений критерій відіграє роль цієї впорядкує функції, і навіть незначна зміна його вигляду може привести до того, що оптимальна в новому сенсі альтернатива виявиться дуже сильно відрізняється від старої. Приклади використання узагальнених критеріїв при вирішенні різноманітних задач управління підприємством розглянуті в [4].

5.6. Узгодження рішення за головним критерієм

Недоліки згортання кількох критеріїв змушують шукати інші підходи до вирішення завдання багатокритеріального вибору. Розглянутий нижче спосіб базується на використанні того факту, що приватні критерії зазвичай нерівнозначні між собою (одні з них більш важливі, ніж інші). Найбільш явний вираз цієї ідеї полягає у виділенні основного (головного) критерію і розгляду інших як додаткових (супутніх). Така відмінність критеріїв дозволяє сформулювати завдання вибору як задачу знаходження умовного екстремуму основного критерію:

xоп= Arg {max k1(X) | ki(X) = Ci, I = 2, ..., m}.

xIW

У деяких завданнях виявляється можливим або навіть необхідним ставити обмеження на супутні критерії не настільки жорстко. Наприклад, якщо супутній критерій характеризує вартість витрат або величину ризику, то замість їх фіксації розумніше ставити деякий верхній рівень, тобто формулювати завдання з обмеженнями типу нерівностей

xоп= Arg {max k1(X) | ki(X) ? Ci, I = 2, ..., m}.

xIW

В рамках цього ж підходу можливі й інші варіанти. У попередніх варіантах відмінність між основним і додатковими критеріями виглядає занадто сильним. Іншу постановку задачі дає метод поступок. Суть його полягає в наступному. Нехай приватні критерії упорядковані в порядку убування їх важливості. Для першого з них знаходиться краща за цим критерієм альтернатива. Потім визначається "поступка" Dk1 тобто величина, на яку можна зменшити досягнуте значення найважливішого критерію, щоб за рахунок поступки спробувати збільшити, наскільки можливо, значення наступного за важливістю критерію, і т.д.

5.7. Вибір в умовах невизначеності

Раніше були розглянуті підходи до здійснення вибору в таких умовах, коли наслідки зробленого вибору визначаються однозначно. Вибір однієї з альтернатив xIW при цьому пов'язаний з відомим ЛПР однозначним наслідком, і вся проблема вибору це проблема різних наслідків (або, що в даному випадку те ж саме, альтернатив). У реальній практиці нерідко доводиться мати справу з більш складною ситуацією, коли вибір альтернативи неоднозначно визначає наслідки зробленого вибору: для кожної альтернативи є набір можливих результатів yIY, з яких один виявиться поєднаним з обраної альтернативою, але який саме - в момент вибору невідомо, а стане ясним пізніше, коли вибір вже зроблено і змінити нічого не можна. Така ситуація зазвичай пов'язана з наявністю невизначеності, браком інформації у ЛПР і неможливістю її проконтролювати, нестабільністю обстановки і неможливістю її частково або повністю спрогнозувати. Хоча з кожної альтернативою x пов'язане одне і те ж безліч випадків Y, для різних альтернатив однакові результати мають різне значення. Наведена ситуація може бути відображена за допомогою наступної матриці (табл. 5.1).

Таблиця 5.1.

матриця платежів

 
 


Y y1 y2 ... yj ... ys

W

 
 


x1 q11 q12 ... q1j ... q1s

... ... ... ... ... ... ...

xi qi1 qi2 ... qij ... qis

... ... ... ... ... ... ...

xn qn1 qn2 ... qnj ... qns

У цій матриці числа qij висловлюють оцінку ситуації, коли зроблений вибір альтернативи xi і реалізувався результат yj. У різних випадках числа qij можуть мати різний зміст: іноді це "виграші", іноді "втрати", "платежі"; в літературі вживаються і інші назви. У завданнях многокритериального вибору в залежності від використовуваного методу в якості їх значень можуть використовуватися відстані до ідеальної точки, значення узагальненого критерію, значення головного критерію і т.д.

В даному випадку в силу невизначеності результату потрібно дати оцінку цілій рядку платіжної матриці; маючи такі оцінки для всіх рядків і порівнюючи їх, можна зробити вибір. Для отримання оцінок на практиці використовуються різні критерії. Найпоширенішим є критерій вибору "меншого з зол", званий Максимін критерієм. Відповідно до нього в кожній з рядків матриці платежів знаходиться найменший виграш min qij, J = 1, ..., s, який характеризує гарантований виграш в найгіршому випадку і вважається оцінкою альтернативи xi. Потім знаходиться альтернатива xоп, Що забезпечує найбільше значення цієї оцінки:

xоп= Arg max min qij.

i j

Ця альтернатива називається оптимальної по максимина критерієм. Оскільки часто платіжну матрицю визначають не через виграш, а через програш, той же принцип призводить до мінімаксне критерієм.

Мінімаксний (максимина) критерій є вкрай обережним, дуже песимістичним, тому були запропоновані інші критерії. Такий, наприклад, критерій мінімаксного жалю, Запропонований Севідж. При цьому по платіжній матриці Q = (qij) Обчислюється "матриця жалю" S = (sij), Елементи якої визначаються як sij= qij - Min qij, I = 1, ..., n, і мінімаксний критерій застосовується до матриці S:

xоп= Arg min max sij.

i j

Подальше ослаблення пессимистичности оцінки альтернатив дає критерій песимізму - оптимізму (критерій Гурвіца), Який зводиться до зваженої комбінації найкращого і найгіршого результатів: за оцінку альтернативи xi в критерії Гурвіца приймається величина

G (x) = a min qij + (1-a) max qij, 0 ? a ? 1.

j j

Показник a називається показником песимізму - оптимізму (при a = 1 приходимо до Максиміна критерієм); оптимальна альтернатива є

xоп= Arg max G (xi).

i

При a = 0 отримується рішення максимізує максимальний виграш, що відповідає оптимістичним підходу.

Нарешті, в якості критерію G (xi) Може бути вибрано середнє значення виграшу

G (xi) = Aj = 1s qij / S,

що призводить до отримання рішення найкращого в середньому.

вправи

1. Як зміниться рішення задачі вибору, розглянутої в п. 5.2, якщо прийняти x3= (3,2)?

2. Скориставшись методом ідеальної точки, вирішите задачу багатокритеріального вибору для випадку, розглянутого в прикладі п. 5.3.

3. Знайдіть безліч Парето для альтернатив з прикладу п. 5.2.

4. Здійсніть лексикографическое впорядкування альтернатив з прикладу п. 5.3, якщо критерії проранжовано наступним чином: a) (k1, k2); b) (k2, k1). Побудуйте функцію j (x), задану гомоморфізм відносини лексикографії в лінійний порядок.

5. Знайдіть рішення задачі вибору з прикладу п. 5.2 методом узгодження за головним критерієм, якщо: а) як головний критерій обраний k1, А на критерій k2 накладено обмеження k2> 1; b) в якості головного критерію обраний k2, А на критерій k1 накладено обмеження k1?1;

6. Покажіть, що рішення багатокритеріальної задачі вибору, отримані на основі методу ідеальної точки, лексикографічного впорядкування, узагальнених критеріїв завжди є Парето - оптимальними.

Питання для самоперевірки

1. Які існують методи розв'язання багатокритеріальних задач вибору? Дайте їм коротку характеристику.

2. Які вимоги пред'являються до набору критеріїв? Чому?

3. У чому принципова відмінність алгоритмів 5.1 і 5.2?

4. Наведіть визначення таких понять:

- Відношення Парето;

- Безліч Парето;

- Парето оптимальний елемент (альтернатива);

- Відношення лексикографії;

- Адитивний узагальнений критерій;

- Мультиплікативний узагальнений критерій.

5. Яку роль відіграють коефіцієнти ai, si у виразах для узагальнених критеріїв? Яким чином можуть бути визначені коефіцієнти ai?

6. Які існують методи вибору альтернатив в умовах невизначеності? Дайте їм порівняльну характеристику.

Список літератури

1. Веснін В. Р. Основи менеджменту: Підручник.-М .: Інститут міжнародного права та економіки. Видавництво "Тріада, ЛТД", 1996.

2. Трахтенгерц Е. А. Комп'ютерна підтримка прийняття рішень. М .: Сінтег, 1998..

3. Акуліч І. Л. Математичне програмування в прикладах і завданнях. М .: Вища. шк., 1986.

4. Контролінг як інструмент управління підприємством / Под ред. Н. Г. Данілочкіной. М .: Аудит, ЮНИТИ, 1998..

5. Глущенко В. В., Глущенко І. І. Розробка управлінського рішення. Прогнозування-планування. Теорія проектування експеріментов.-г. Залізничний, Моск. обл .: ТОВ НВЦ "Крила", 1997.

6. Макаров І. М., Виноградська Т. М., Рубчинський А. В., Соколов В. Б. Теорія вибору і прийняття рішень. М .: Наука, 1982.

7. Подиновский В. В., Ногін В. Д. Парето - оптимальні рішення багатокритеріальних задач. М .: Наука, 1982.

8. Перегудов Ф.І., Тарасенко Ф. П. Введення в системний аналіз. М .: Вища. шк., 1989.

9. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Довідник з математики для інженерів і учнів втузів. М .: Наука, 1986.

10. Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теорія ймовірностей і її інженерні додатки. М .: Наука, 1988.

11. Виссема Х. Менеджмент в підрозділах фірми. М .: ИНФРА-М, 1996..

ЗМІСТ

Введение...3

1. Методологічні основи розробки та прийняття управлінських

рішень ... ... 4

1.1. Функції рішення в методології та організації процесу

управління ... ... 4

1.2. Класифікація управлінських рішень ... 7

1.3. Вимоги до управлінських рішень та якість

управлінських рішень ... ... 9

1.4. Відповідальність за результати прийняття управлінських

рішень ... ... 10

1.5. Таємниця і конфіденційність при розробці та реалізації

управлінських рішень ... ... 12

1.6. Ризики при прийнятті управлінських рішень та управління

ризиками ... ... 13

1.7. Математичні основи прийняття управлінських рішень ... 18

1.8. Підходи до прийняття управлінських рішень ... 22

2. Методи підготовки і реалізації експертиз ... 31

2.1. Завдання оцінювання ... ... 32

2.2. Розробка схеми експертизи ... ..33

2.3. Підбір експертів ... ... 37

2.4. Статистичні методи обробки експертної інформації ... 38

2.5. Алгебраїчний метод ... ... 44

2.6. Методи шкалювання ... ... 46

3. Формування вихідного безлічі альтернатив ... 51

3.1. Загальна характеристика процедури формування ІМА ... 51

3.2. Алгоритми формування ІМА ... 52

4. Теоретичні основи вибору альтернатив ... 55

4.1. Бінарні відносини ... ... 55

4.2. Відносини еквівалентності, порядку та домінування ... 57

4.3. Поняття R-оптимальності ... ... 58

4.4. Алгоритми вибору R-оптимальних альтернатив ... 59

5. Вибір альтернатив на основі декількох критеріїв ... 63

5.1. Формування набору критеріїв ... 63

5.2. Метод ідеальної точки ... ... 65

5.3. Виділення Парето оптимальних рішень ... 66

5.4. Метод лексикографічного впорядкування ... 67

5.5. Узагальнені критерії ... ... 68

5.6. Узгодження рішення за головним критерієм ... 69

5.7. Вибір в умовах невизначеності ... 70

Список літератури... ... 73

Е. Б. Абдуллін




Сутність методології педагогіки музичної освіти та методологічної культури вчителя музики | В ім'я чого, заради чого ми залучаємо наших дітей до музики, яка це має бути музика за своєю якістю і т.п.? | Перший ( «постановочний») етап включає в себе визначення основних методологічних характеристик дослідження. | діяльності | Які духовно-світоглядні ідеї і принципи Б. М. Целковніков висуває в якості методологічних підстав розглянутої проблеми? | Мистецтво і суспільство | Правила оформлення бібліографічних посилань | СУТНІСТЬ методологічний аналіз | Структура методологічного аналізу | ПРИНЦИПИ методологічний аналіз |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати