загрузка...
загрузка...
На головну

РОЗДІЛ IV. НАВЧАННЯ ВИРІШЕННЯ ЗАВДАНЬ

  1. Amp; Завдання №3 Імпорт таблиць
  2. Amp; Завдання №4 Створення таблиці за допомогою Конструктора.
  3. Amp; Завдання №5 Створити зв'язку встановленого типу. Друк Схеми БДБазаПочтаФамілія.
  4. Amp; Завдання №6 Заповнення таблиць БДБазаПочтаФамілія.
  5. Excel для вирішення прикладних завдань
  6. I РОЗДІЛ
  7. I. Завдання семіотики і передумови, необхідні для її розробки


§1. Математична задача і її основні компоненти

Навчальні математичні задачі є ефективним засобом засвоєння учнями понять і методів шкільного курсу математики і математичної теорій. Завдання під час навчання математиці мають освітній, практичне і виховне значення.

Завдання слугують досягненню всіх цілей: сприяють мотивації введення понять, виявлення їх істотних властивостей, засвоєнню математичної символіки і термінології, розкривають взаємозв'язки одного поняття з іншими.

Саме тому при вирішенні задач використовується половина навчального часу уроків математики.

За своїм функціональним призначенням завдання як засіб навчання можуть бути спрямовані на формування знань, умінь і навичок учнів (навчальні завдання), або на здійснення контролю з боку вчителя і учнів рівня сформованості ЗУН (контролюючі завдання).

Під навчальними слід розуміти функції задач, спрямовані на формування в учнів системи математичних ЗУН, на різних етапах їх засвоєння.

Під виховують слід розуміти функції задач, спрямовані на формування діалектико-матеріалістичного світогляду, пізнавального інтересу і самостійності.

Під розвиваючими функціями завдань слід розуміти тих, які спрямовані на розвиток мислення учнів, на оволодіння ними ефективними прийомами розумової діяльності.

До трьох вищевказаних функцій слід додати ще одну важливу функцію - контролюючу.

Під контролюючими слід розуміти функції задач, спрямовані на встановлення рівнів навченості й освіченості, здатності до самостійного вивчення математики, рівня математичного розвитку учнів і сформованості пізнавальних інтересів.

Кожна з названих основних функцій задач практично ніколи не виступає ізольовано від інших (Наприклад, будь-яке навчання розвиває, якщо воно поставлено правильно).

Завдання поділяються:

· За характером вимоги (завдання на доказ, на побудову, на обчислення);

· За функціональним призначенням (завдання з дидактичними, пізнавальними, розвиваючими функціями);

· За величиною проблемності (стандартні, навчальні, пошукові, проблемні);

· За методами вирішення (завдання на геометричні перетворення, завдання на вектори і ін.);

· За кількістю об'єктів в умові завдання і зв'язків між ними (прості і складні);

· По компонентам навчальної діяльності (організаційно дієві, стимулюють, контрольно - оціночні).

· За характером зв'язків між елементами завдання (алгоритмічні, полуалгорітміческіе, евристичні).

Крім того, розрізняють завдання: стандартні і нестандартні; теоретичні і практичні; усні і письмові; однокрокові, двокрокового і ін .; усні, полуустние, письмові і т. д.

Основні компоненти завдання:

1. Умова - початковий стан.

2. базис рішення - Теоретичне обґрунтування рішення.

3. Рішення - Перетворення умови задачі для знаходження, необхідного висновком, шуканого.

4. висновок - Кінцевий стан.

математичними вважаються всі завдання, в яких перехід від початкового стану (1) до кінцевого (4) здійснюється математичними засобами, т. е. математичним характером компонентів: обгрунтування (2) і рішення (3).

Якщо всі компоненти завдання (умова, обгрунтування, рішення, висновок) - математичні об'єкти, то завдання називається чисто математичної; якщо математичними є тільки компоненти рішення і базис рішення, то завдання називається прикладної математичної завданням.

На основі розглянутої моделі загального поняття завдання та її основних компонентів виділяють наступні типи завдань:

1. стандартної називається задача, в якій чисто визначено умову, відомі спосіб вирішення і її обгрунтування, а також дані вправи на відтворення відомого.

2. Завдання називається навчальної, Якщо в ній невідомий або погано визначено один з основних компонентів.

3. Якщо невідомі два компонента, завдання називається пошукової,

4. а якщо три - проблемною..

Основні етапи виконання завдання по Д. Пойа [5].

Щоб зручно згрупувати питання і поради, розрізняють чотири ступені в процесі вирішення завдань. По-перше, ми повинні зрозуміти задачу; ми повинні ясно бачити, що в ній є шуканим. По-друге, ми повинні побачити, як пов'язані один з одним різні елементи завдання, як невідоме пов'язано з даними. Це необхідно, щоб отримати уявлення про рішення, щоб скласти план. По-третє, ми здійснюємо наш план. По-четверте, озираючись назад на отримане рішення, ми знову вивчаємо і аналізуємо його.

Отже, етапи вирішення завдань по Д. Пойа:

I. Розуміння постановки завдання.

II. Складання плану.

III. Здійснення плану.

IV. Аналіз рішення.

Зупинимося детальніше на цих етапах вирішення завдань.

1. Розуміння постановки завдання.Учень повинен зрозуміти завдання. Але не тільки зрозуміти; він повинен хотіти вирішити її. Якщо учневі не вистачає розуміння завдання або інтересу до неї, це не завжди його вина. Завдання має бути вміло обрана, вона повинна бути не надто важкою і не дуже легкою, бути природною і цікавою, причому деякий час потрібно приділяти для її природною і цікавій інтерпретації.

Перш за все, повинна бути зрозуміла словесна формулювання завдання. Перевірити це вчитель до деякої міри може; він просить учня повторити формулювання завдання, і учень повинен виявитися в стані легко це зробити.

Учень також повинен бути в змозі вказати головні елементи завдання - невідоме, дане, умова. Таким чином, учитель рідко може дозволити собі обійтися без питань: що невідомо? Що дано? У чому полягає умова?

Учень повинен уважно, багаторазово і з різних сторін розглянути головні елементи задачі.

Якщо із завданням пов'язана якась геометрична фігура, він повинен зробити креслення і вказати на ньому невідоме і дані. Якщо необхідно якось назвати ці об'єкти, він повинен ввести відповідні позначення; приділяючи певну увагу невластивому вибору символів, він змушений зосереджувати свої думки на об'єктах, для яких потрібно підшукати символи.

2. Складання плану.У нас є план, якщо нам відомо, хоча б у загальних рисах, які обчислення або побудови нам доведеться виконати, щоб отримати невідоме. Головний крок на шляху до вирішення завдання полягає в тому, щоб виробити ідею плану. Ця ідея може з'являтися поступово.

Найкраще, що може зробити вчитель для учня, полягає в тому, щоб шляхом ненастирливої ??допомоги підказати йому блискучу ідею. Таким чином, часто виявляється доречним розпочати роботу з питання: чи відома вам якась родинна завдання? Чи не можна скористатися нею? Чи не можна сформулювати завдання інакше?

Намагаючись використовувати різні відомі завдання і теореми, розглядаючи всілякі видозміни завдання, експериментуючи з різними допоміжними завданнями, ми можемо залишити нашу первинне завдання так далеко в стороні, що виникає небезпека зовсім розпрощатися з нею. Але наступний чудовий питання поверне нас знову до неї: Чи всі дані ви використовували? Чи всі умови?

3. Здійснення плану.Нелегко придумати план, знайти ідею рішення. Дуже багато потрібно для цього: раніше придбані рішення, мозок, привчений до логічного мислення, повна зосередженість і ще одне: удача. Здійснити ж план вирішення набагато легше; тут нам буде потрібно головним чином терпіння.

План вказує лише загальні контури рішення; тепер нам потрібно переконатися, що всі деталі вписуються в ці деталі, одну за одною, поки все не стане цілком ясним і не залишиться жодного темного кута, в якому може ховатися помилка.

Якщо учень виробив план рішення, головна небезпека тепер в тому, що учень може забути свій план. Учитель повинен все ж наполягати, щоб учень перевіряв кожен свій крок.

Найважливіше полягає в тому, щоб учень був по-справжньому переконаний в правильності кожного кроку. У деяких випадках вчитель може вказати на різницю між «побачити» і «довести»: ясно вам, що розпочатий крок правильний? А в змозі ви довести, що він правильний?

4. Аналіз рішення.Навіть дуже хороші учні, отримавши відповідь і ретельно виклавши хід рішення, закривають зошит і переходять до інших справ.

Учень здійснив свій план. Він записав рішення, перевіряючи кожен крок. Таким чином, він має непогані підстави вважати своє рішення правильним.

Проте, помилки завжди можливі. Тому перевірка його завжди бажана. Особливо важливо не прогледіти (якщо він є) будь-якої швидкий інтуїтивний спосіб перевірки результату або ходу рішення. Чи не можна перевірити результат? Чи не можна перевірити хід рішення? Чи не можна отримати той же результат інакше?

Одна з перших і головних обов'язків вчителя полягає в тому, щоб не викликати в учнів враження, що математичні завдання мало пов'язані одна з одною і не пов'язані взагалі більше ні з чим. Нам видається природна можливість досліджувати, як пов'язана наша задача з іншими, коли ми озираємося назад на її рішення. Учні знайдуть, що, дійсно, дуже цікаво знову окинути поглядом рішення, якщо вони чесно витратили зусилля, щоб її отримати, і усвідомлюють, що плідно попрацювали.

Уявімо більш розгорнуту схему процесу рішення задачі:

Кожне завдання має ідейну і технічну складність. Ідейна частина рішення дає відповідь на питання, як вирішувати задачу, т. Е. Які методи, способи і прийоми потрібно використовувати, щоб вирішити це завдання. Технічна частина являє собою реалізацію знайденої ідеї. Є завдання, в яких головне знайти шлях (ідею) рішення, а технічно її реалізувати не складає особливих труднощів. Є завдання, в яких шлях вирішення досить очевидна, а її реалізація вимагає дуже громіздких обчислювальних викладок. Є також і завдання, в яких ідейна і технічна частини приблизно рівнозначні. Але треба пам'ятати, що для вирішення одних завдань цілком достатньо володіння методом вирішення і деякими обчислювальними навичками, для вирішення інших потрібне глибоке, усвідомлене розуміння суті питання. І в цьому випадку без теоретичних знань не можна обійтися.

Вирішуючи математичну задачу, можна пізнати багато нового: знайомиться з новою ситуацією, описаної в завданню, із застосуванням математичної теорії до її вирішення, пізнає новий метод вирішення або нові теоретичні розділи математики, необхідні для вирішення завдання, і т. Д. Іншими словами, при рішенні математичних задач людина набуває математичні знання, підвищує свою математичну освіту.

Запитання і завдання:

1. Яка роль задач у навчанні математики? Які функції виконують завдання в процесі навчання школярів?

2. Охарактеризуйте види завдань і опишіть їх.

3. Назвіть і охарактеризуйте основні компоненти завдання. Проведіть розбір будь-якої задачі покомпонентно.

4. Розкрийте зміст етапів вирішення задачі і проаналізуйте їх на прикладі будь-якого завдання шкільного курсу математики.

5. Придумайте прийоми здійснення аналізу виконання завдання на прикладі конкретного завдання шкільного курсу математики.

6. Розробіть фрагмент уроку з проведення аналізу умови арифметичної, алгебраїчної, планіметричний і стереометричних завдання.

література

1. Горнштейн, П. і., Хацкевич, А. р Полонський, В. б. та ін. Іспит з математики і його підводні рифи. - М .: Ілекса, Харків: Гімназія, 1998. - 236 с.

2. Готман, Е. р Завдання одне - рішення різні: Геометр. завдання: кн. для учнів. - М .: Просвещение, 2000. - 224 с.

3. Гусєв, В. а., Орлов В. в., Панщина В. а. та ін. Методика викладання геометрії: навч. посібник для студ. вищ. пед. навч. закладів. - М .: Видавничий центр «Академія», 2004. - 368 с.

4. Ігнатьєв, Є. і. Математична кмітливість. Цікаві завдання, ігри, фокуси, парадокси. - М .: Омега, 1994. - 192 с.

5. Пойа, Д. Як вирішувати завдання. - Львів: Журнал «Квантор», 1991. - 215 с.

6. Шаригін, І. ф., Голубєв, В. і. Факультативний курс з математики. Рішення задач: навч. посібник для 11 кл. середовищ. шк. - М .: Просвещение, 1991. - 384 с.

§2. Рішення нестандартних завдань
в курсі математики 5-6 класів

Важливим моментом підготовки до уроку є пошук прийомів, що дозволяють ефектно використовувати навчальний матеріал для вироблення у школярів навичок самоосвіти. На уроках повинна бути поставлена ??своя надзавдання, що зводиться саме до формування цих навичок і змінюється в залежності від теми уроку. В одному випадку вона полягає в навчанні прийомів аналізу, вмінню бачити закономірності, ставити питання, робити висновки, в іншому випадку - в формуванні критичного ставлення учнів до результатів своєї роботи, вимогливості до себе.

Відомо, що багато учнів просто бояться приступити до завдань, алгоритм вирішення яких їм невідомий. Часом проявляється страх перед труднощами, невміння долати їх самостійно. У такому випадку потрібна задача, яка, на перший погляд, здається, простий, а на ділі вимагає нестандартного підходу.

Один з надійних прийомів для вирішення проблеми - використання нестандартних і цікавих завдань на уроках математики. Під нестандартними завданнями можна розуміти або завдання, що не належать до жодного з розглянутих типів, або завдання на відомі нам теми, які традиційними методами не наважуються. Але треба зазначити, що, незважаючи на свою нестандартність, такі завдання не виходять за рамки шкільної програми, оскільки можуть бути вирішені шкільними методами.

Перш за все, хотілося б підкреслити, що такі завдання повинні бути пов'язані з досліджуваним матеріалом. Їх умови доцільно формулювати коротко і просто, а де потрібно із записом короткої записи на дошці. Серед цих завдань є завдання на кмітливість, завдання-жарти, які викликають пожвавлення в класі, пробуджують у учнів "смак" до розумової роботи. Автор популярної книги "Математична кмітливість" Е. і. Ігнатьєв писав: "... розумову самостійність і кмітливість не можна ні" втовкмачити ", ні" вкласти "ні в чию голову. Результати надійні лише тоді, коли введення в область математичних знань удосконалюються в легкій і приємній формі, на предметах і прикладах повсякденного і повсякденному обстановки, підібраних з належним дотепністю і цікавістю "[3].

Нестандартні завдання краще пропонувати до кінця уроку, коли учні вже втомлюються писати, вирішувати. Завдяки своїй оригінальності, завдання самі по собі викликають інтерес. При вирішенні нестандартних завдань доцільно розглядати різні способи вирішення. Особливу увагу треба звертати на вирішення завдань арифметичним способом, так як саме рішення задач арифметичним способом сприяє розвитку оригінальності мислення, є одним з кращих засобів розвитку самостійного творчого мислення учнів.

Як навчити учнів вирішувати нестандартні завдання? Природно навчити вирішення завдань, лише показуючи зразки таких рішень неможливо. Перш за все, слід врахувати, що навчитися вирішувати завдання учні зможуть лише, вирішуючи їх. Бо рішення будь-якої досить складного завдання вимагає від учня напруженої праці і завзятості.

Воля і завзятість найповніше виявляються в учнів, якщо завдання цікава. Тому вчитель повинен намагатися підбирати такі завдання, щоб учні хотіли б їх вирішувати. Підбираючи завдання, потрібно допомогти учневі виявити, що і математична задача може бути настільки ж захоплюючою, як і головоломка, і, що, вирішивши завдання, можна отримати величезне задоволення.

Розглянемо приклади завдань, щоб з'ясувати особливості процесу їх вирішення.

Завдання 1: Коли "післязавтра" стане "вчора", то "сьогодні" буде також далеко від неділі, як той день, який був "сьогодні", коли "вчора" було "завтра". Який сьогодні день тижня?

Зауважимо, що тлумачення умов такого завдання в буквальному сенсі не дає результату, бо ситуація настільки "заплутана", що необхідна розшифровка практично кожної фрази. Наприклад, фраза "післязавтра "стане" вчора " означає, що післяпіслязавтра настане через 3 дня, починаючи з того дня, який названий "сьогодні". З іншого боку, в умови коли "вчора "було" завтра " йдеться, що 2 дні тому було позавчора. Таким чином, завдання можна переформулювати в наступну: Який сьогодні день тижня, якщо післяпіслязавтра і позавчора однаково відстоять від неділі?

При аналізі умови задачі можна задавати різні питання, типу: що дано, що потрібно знайти, що потрібно знати для того, щоб відповісти на питання завдання і т. Д. Такий аналіз має результат тоді, коли знайдена деяка вузлова деталь в її умови, переосмислення якої як би "відкриває" ідею рішення.

При вирішенні нестандартних завдань учням доводиться повторювати пройдений матеріал, і, таким чином, вони також усувають свої прогалини по навчальному матеріалу. Рішення задач, що допускають ряд рішень - захоплююча і цікава робота. Учням можна дати і стандартне завдання, але при цьому запропонувати їм вирішити цю задачу різними способами.

Завдання 2. відстань від річки до турбази туристи розраховували пройти за 6 год. Однак після 2 ч шляху вони зменшили швидкість на 0,5 км / год і в результаті спізнилися на турбазу на 30 хвилин. З якою швидкістю йшли туристи спочатку?

Рішення. Це завдання є практичною (текстової). Для подібних завдань ніякого загального правила визначає точну програму їх вирішення, не існує. Однак це не означає, що взагалі немає якихось загальних вказівок для вирішення таких завдань. Детально сутність цих вказівок ми розглянемо в наступному розділі. А поки лише покажемо, як ці вказівки практично використовуються.

Позначимо шукану первісну швидкість туристів через х км / год. Тоді за 6 год, за які вони розраховували пройти відстань від річки до турбази, вони пройшли 6 х км. Фактично цей шлях вони пройшли в такий спосіб: 2 ч вони йшли з первісної швидкістю, а потім ще 4,5 год (бо вони запізнилися на 0,5 ч до терміну) - зі зменшеною швидкістю (x - 0,5) км / год. Отже, вони пройшли 2х км і 4,5 (x -0,5) км, а всього 2х +4,5 (X-0,5) км, що дорівнює відстані від річки до турбази, т. Е. 6 х км. Отримуємо рівняння: 2х + 4,5 (x -0,5) = 6x.

Вирішивши це рівняння, знайдемо: x = 4,5.

Значить, первісна швидкість туристів дорівнює 4,5 км / год. Проаналізуємо процес наведеного рішення задачі 2. Спочатку ми визначили вид завдання, і, виходячи з цього, виникла ідея рішення. Для цього, користуючись вельми загальними вказівками і зразками вирішення подібних завдань, отриманих в шкільному курсі математики (треба позначити одне з невідомих буквою, наприклад х, І висловити інші невідомі через х, Потім скласти рівність з отриманих виразів), ми побудували рівняння. Зауважимо, що ці вказівки, якими ми користувалися, не є правилами, бо в них нічого не сказано, яке з невідомих позначити через х, Як висловити інші невідомі через х, Як отримати потрібну рівність і т. Д. Все це робиться щораз по-своєму, виходячи з умов завдання і набутого досвіду вирішення подібних завдань.

Отримане рівняння є вже стандартне завдання. Вирішивши її, ми тим самим вирішили і вихідну нестандартну задачу.

Таким чином, зміст рішення даного завдання полягає в тому, що за допомогою особливого прийому (складання рівняння) ми звели її рішення до вирішення еквівалентної стандартної задачі.

На наступному прикладі покажемо рішення однієї задачі кількома способами.

Завдання 3. Мандрівник йде з одного міста 10 днів. Одночасно назустріч йому виходить інший мандрівник, який на той же шлях витрачає 15 днів. Через скільки днів вони зустрінуться?

Рішення. Спосіб 1 (арифметичний перебір). За один день мандрівники проходять 1/15 + 1/10 = 1/6 частина всього шляху, за два дні 2/15 + 2/10 = 1/3 шляху, за три 3/15 + 3/10 = 1/2, За чотири 4/15 + 4/10 = 2/3, За п'ять 5/15 + 5/10 = 5/6, А за шість днів 6/15 + 6/10 = 1, Т. Е. Весь шлях проходять за 6 днів.

Спосіб 2 (графічний перебір).

Рішення цим методом показано на малюнку.

Спосіб 3 (арифметичний). За один день мандрівники проходять 1/15 + 1/10 = 1/6 частина всього шляху. Значить, весь шлях пройдуть за 1: 1/6 = 6 днів.

Спосіб 4 (алгебраїчний). за х позначимо час, через яке вони зустрінуться, весь шлях приймемо за 1. Тоді складаємо наступне рівняння 1/10 · х + 1/15 · х = 1. Вирішуючи його, знаходимо х = 6.

Потрібно також підкреслити, що якщо різні способи і методи вирішення випробувані на одній і тій же задачі, то найбільш опукло виступають їх відмінні риси, їх сильні і слабкі сторони. Перше рішення задачі рідко буває кращим, і природно прагнути до того, щоб знайти більш просте і красиве рішення.

Переважна більшість шкільних завдань припускають однозначне трактування умови задач. Така практика формує певний стереотип і в результаті надаються неповні рішення. І тому дуже корисно включення в процес навчання рішення різноманітних завдань. Покажемо рішення такого завдання.

Завдання 4. Відстань між двома машинами, що їдуть по шосе, дорівнює 200 км. Швидкості машин - 60 км / год і 80 км / год. Чому дорівнюватиме відстань між ними через 1 годину?

Рішення. можливі чотири випадки (зробіть малюнок!): 1) Машини їдуть назустріч один одному: 200- (60 + 80) = 60 км; 2) Машини їдуть в різні боки: 200+ (60 + 80) = 340 км; 3) Машини їдуть в одну сторону, друга наздоганяє першу: 200+ (60-80) = 180 км;

4) Машини їдуть в одну сторону, друга попереду: 200+ (80-60) = 220 км.

Метою вирішення нестандартних завдань є використання всіх можливостей для того, щоб більшість учнів побачили кращі сторони математики, можливості в подоланні труднощів. А також викликати у них інтерес до справи, пробудити бажання і завзятість шукати, вирішувати, обчислювати, відкривати нове. На нестандартні завдання треба дивитися як на творчу діяльність в тісному зв'язку з іншими видами навчальної роботи.

Цінність рішення нестандартних завдань полягає в тому, що в процесі їх вирішення учні значною мірою самостійно набувають нових знань, у них з'являється інтерес до дослідницьким завданням. І дуже важливо стежити за збереженням цього інтересу школярів до завдань.

Включення в урок нестандартних завдань робить процес навчання цікавим і цікавим, створює робочий настрій, полегшує труднощі в засвоєнні навчального матеріалу. Тому треба постаратися підібрати нестандартні завдання по ключових темах навчального курсу математики.

Покажемо кілька прикладів завдань, які можна запропонувати на уроках математики з ключових тем шкільного курсу математики 5-6 класів.

Додавання і віднімання натуральних чисел:

1. Як швидко обчислити: а) 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 99;

б) 99 + 95 + 91 + ... + 7 + 3-1-5 -...- 89-93-97?

Вказівка: а) (1 + 99) + (3 + 97) + ... + (19 + 51);

б) (99-97) + (95-93) + ... + (7-5) + (3-1).

2. Чи можна число 45 представити у вигляді суми декількох натуральних чисел так, щоб твір всіх цих чисел теж дорівнювало 45?

Відповідь: Так, можна. наприклад, .

Подільність натуральних чисел:

3. Дано рівність

1 2  3 + 2 3  4 + ... + 98  99  100 = 16738922. Довести, що це рівність невірно.

Вказівка: Оскільки кожний доданок ділиться на 3, то сума повинна ділитися на 3.

4. Чи існує квадрат, у якого довжина сторони - ціле число, площа дорівнює 201201201201?

Вказівка: Число ділиться на 3, але не ділиться на 9.

Прості і складені числа:

5. Учні 5 класу купили 203 підручника. Кожен купив однакову кількість книг. Скільки було п'ятикласників і скільки підручників купив кожен з них?

Відповідь: Учнів - 29, по 7 книг купив кожен.

6. Чи вірно що при будь-якому натуральному n число n2+ 5n-1 просте?

Відповідь: Ні, наприклад n = 6, 216 + 30-1 = 245.

відсотки:

7. По дорозі йдуть два туриста. Перший з них робить кроки на 10% коротше і в той же час на 10% частіше, ніж другий. Хто з туристів йде швидше і чому?

Рішення. Коли другий турист робить 10 кроків довжини а кожен, перший турист робить 11 своїх кроків довжини 0,9 А кожен. Таким чином, перший турист проходить відстань 9,9а за той же час, за яке другий проходить відстань 10а, але 10а> 9,9а при а> 0. Значить, повільніше йде той з туристів, хто робить кроки коротше і частіше (т. Е. Перший).

Відповідь: перший турист.

8. Периметр прямокутника зменшили на 5%, Потім периметр отриманого прямокутника збільшили на 5%. У кожного з трьох прямокутників велика площа?

Відповідь: у першого.

Дії зі звичайними дробами:

9. Обчисліть суму: + +  + ... + .

Рішення. Для знаходження раціонального способу вирішення даного завдання нам допоможе наступна ідея. Зауважимо, що ; ; = - ; = -  і т. д. Звернувши увагу на записи, можна легко бачити, що

+ +  + ... +  = 1 .

відповідь: .

10. Довести, що для будь-якого натурального n справедливо рівність: .

11. У футбольному турнірі кожна команда зіграла з кожною по одному разу. Ігри з нічийними результатами були у 1/3 команд, а 3/4 решти команд мали ураження. Скільки результативних зустрічей було в турнірі?

Рішення. Без нічиїх провели турнір 1-1 / 3 = 2/3 від загального числа команд, т. Е. 2/3 всіх команд мали тільки перемоги і поразки. З умови отримуємо, що ураження мали 3/4 від цих двох третин, т. Е. 2/3 · 3/4 = 1/2 від загального числа команд. Отже, що залишилися команди мали тільки перемоги. Але така команда в турнірі може бути тільки одна, а за умовою їх число становить 1-1 / 2-1 / 3 = 1/6 від загального числа команд. Таким чином, в турнірі брало участь 6 команд.

Відповідь: 6 команд.

Порівняння дробів:

12. Порівняйте вирази 2007/2008 и 2008/2009.

Рішення. Дробу представимо в наступному вигляді:

2007/2008 = 1-1 / 2008 и 2008/2009 = 1-1 / 2009. Залишилося порівняти дроби 1/2008 и 1/2009.

відповідь: 2007/2008 <2008/2009.

13. Яке число треба відняти з чисельника дробу  і додати до знаменника, щоб вийшла дріб, що дорівнює .

Відповідь: 1.

Прямокутна система координат:

14. Вершини трикутника розташовані в точках а (2; 12), В (26; 19) І з (14; 13). Побудуйте цей трикутник і все трикутники, симетричні даним щодо осей координат і початку координат.

Позитивні і негативні числа:

15. Чи вірно, що якщо до негативного числа додати його квадрат, то вийде позитивне число?

Відповідь: Ні. наприклад, (-0,1) + (- 0,1)2= -0,09 <0.

16. Чи можна написати поспіль 17 цілих чисел так, щоб твір будь-яких чотирьох сусідніх чисел було негативно, а твір всіх чисел позитивно?

Відповідь: Так. наприклад, 2; 2; 2; -3; 2; 2; 2; -3; 2; 2; 2; -3; 2.

Запитання і завдання:

1. Як визначається поняття «нестандартна завдання»?

2. Складіть набір нестандартних завдань по всім ключовим темам курсу математики 5-6 класів.

3. Розробіть план навчання учнів вмінню аналізувати умова при вирішенні завдань 1, 2, 3, 15, 16.

4. Здійсніть пошук рішення задачі на прикладі вирішення завдань 5-8.

5. Розробіть зразки записи вирішення завдань 10, 11, 14.

6. Придумайте організацію діяльності учнів на уроці з пошуку ідеї рішення на прикладі рішення задач 4; 9; 12; 13.

література

1. Болтянский, В. м, Сидоров, Ю. ст., Шабунін, М. і. Лекції та завдання з елементарної математики. - М .: Наука, 1971. - 592 с.

2. Гусєв В. а., Орлов В. в., Панщина, В. а. та ін. Методика викладання геометрії: навч. посібник для студ. вищ. пед. навч. закладів. - М .: Видавничий центр «Академія», 2004. - 368 с.

3. Ігнатьєв, Є. і. Математична кмітливість. Цікаві завдання, ігри, фокуси, парадокси. - М .: Омега, 1994. - 192 с.

4. Пойа, Д. Як вирішувати завдання. - Львів: Журнал «Квантор», 1991. - 215 с.

§3. Різні способи вирішення завдань
в курсі алгебри 7-9 класів

У цьому параграфі зібрані математичні завдання, кожну з яких можна вирішити різними способами. Прийоми і способи вирішення математичних задач дуже різноманітні. Але якщо спосіб або метод демонструється на спеціально підібраних прикладах, то в свідомості учнів він мимоволі пов'язується з певним завданням. А коли різні способи випробувані на одній меті, можна краще пізнати специфіку того чи іншого способу, його переваги і недоліки в залежності від змісту завдання.

Рішення однієї задачі кількома способами приносить більше користі, ніж рішення поспіль декількох стереотипних завдань. Розгляд учнем різних варіантів рішення, уміння вибрати з них найбільш раціональні, прості, витончені свідчать про вміння учня мислити, міркувати, проводити правильні висновки. Різні варіанти вирішення одного завдання дають можливість учневі застосовувати весь арсенал його математичних знань. Таким чином, розгляд різних варіантів рішення задачі виховує в учнів гнучкість мислення. Пошук оптимального варіанта рішення лише на перших порах вимагає додаткових витрат часу на вирішення завдання. Надалі ці витрати з лишком окупаються.

Треба відзначити, що раціональні прийоми рішення не з'являються самі, по одному тільки бажанням. Раціональним способам рішень треба навчати. Один із шляхів навчання і є вирішення завдань кількома способами, вибір кращого з них.

Важливо і те, що прийшовши різними шляхами до одного і того ж результату, отримуємо впевненість у правильності рішення. Рішення задач, що допускають різні рішення дуже захоплююче заняття, що вимагає знання багатьох розділів математики.

 Розглянемо приклади завдань курсу алгебри 7-9 класів, що допускають різні способи вирішення.

1. Дан графік лінійної функції y = ax + b (див. Рис. 1). Знайдіть значення виразу b - а.

Рішення. Спосіб 1. Зауважимо, що значення виразу b - а є значенням цієї функції при x = -1. З графіка видно, що це значення дорівнює нулю.

Спосіб 2. Можливий також більш громіздкий спосіб вирішення: обчислити значення коефіцієнтів а і b, підставивши в рівняння, що задає функцію, координати будь-яких двох точок графіка.

Відповідь: 0.

2. Вчителька написала на дошці три числа, відмінні від нуля, і веліла Дімі одне з них зменшити на третину, інше збільшити на чверть, а третє зменшити на одну п'яту і результати записати в зошити. Виявилося, що в зошиті Діма записав ті ж числа, що і на дошці, але в іншому порядку. Доведіть, що Діма помилився.

Рішення. Нехай x, yіz- числа, записані вчителькою. Тоді числа, записані Дімою, в якомусь порядку рівні ; и  . Припустимо, що Діма не помилився. Далі можна міркувати по-різному.

Спосіб 1. Твір чисел, записаних Дімою, має дорівнювати добутку чисел, записаних вчителькою, тобто  . Так як xyz?0 і  , То записане рівність виконуватися не може.

Спосіб 2. З огляду на, що серед записаних чисел немає нулів, отримаємо два варіанти можливих рівності: 1) ; и  ; 2) ; и .

1) З першої рівності випливає, що 4x = 5y, а з другого - що 5y = 4z, тому x = z, що суперечить третьому рівності.

2) З першої рівності випливає, що 4z = 5y, а з другого - що 5x = 4z, тому x = y, що суперечить третьому рівності.

Таким чином, Діма помилився, що й треба було довести.

3. Двоє робітників можуть встигнути за день або напіліть п'ять дровітні дров, або наколоти вісім таких дровітні. Яку найбільшу кількість дров вони можуть напіліть, щоб встигнути наколоти їх в той же день?

Рішення. спосіб 1. нехай x - Шукана кількість дров. На розпилювання одній дровітні йде  дня, а на те, щоб потім її наколоти -  дня, тому, на обробку x полонянок буде витрачено и  днів відповідно. Так як вся робота повинна бути зроблена за день, то +  ? 1. Вирішуючи це нерівність, отримаємо, що x ?  . Це означає, що найбільша кількість дров, яке можна розпиляти, а потім -наколоть, становить  дровітні.

спосіб 2. Зауважимо, що оптимальна організація роботи полягає в тому, щоб працювати без пауз. Так як НОК (5; 8) = 40, то знайдемо, за який час (при кращу організацію роботи) робочі Напиляєте і наколють 40 дровітні дров. Виходячи з умови, 40 дровітні дров робочі будуть 8 днів пиляти і 5 днів колоти. Отже, всю роботу вони зроблять за 13 днів, значить, за день вони зможуть повністю обробити  дровітні.

відповідь:  дровітні.

4. Відомо, що число p є одним з коренів квадратного рівняння 5x2 + bx + 10 = 0. Виразіть через p корені рівняння 10x2 + bx + 5 = 0.

Рішення. Зауважимо, що дискримінанти зазначених рівнянь однакові: D = b2 - 200, тому, незалежно від значення b, Якщо перше рівняння має коріння, то і друге також має коріння. Далі можна діяти різними способами.

Спосіб 1. З умови випливає, що виконується числове рівність: 5p2 + bp + 10 = 0, де p ? 0. Розділивши його почленно на p2, Отримаємо: U  , Тобто, число  є коренем другого рівняння. Інший корінь другого рівняння знаходимо за теоремою Вієта  або .

Відзначимо, що можна також використовувати, що обидва кореня другого рівняння є числами, зворотними коріння першого.

Спосіб 2. Запишемо коріння кожного з рівнянь за формулами: 1)  ; 2)  . Отже, якщо один з коренів першого рівняння дорівнює p, То відповідний корінь другого рівняння дорівнює . Інший корінь знаходимо за теоремою Вієта.

відповідь: и .

5. Щоб перевезти 323 коробки з телевізорами, вантажники змогли придумати систему завантаження, яка дозволила в кожну автомашину поміщати на 2 коробки більше і тому використовувати на 2 машини менше, ніж передбачалося. Скільки машин їм знадобилося?

Рішення. Стандартне алгебраїчне рішення цього завдання призводить до рівняння =  + 2, де x - шукане число.

Рішення цього дрібно-раціонального рівняння стандартним чином призводить до громіздким обчисленням, тоді як можна здогадатися, що числа x і x-2 є дільниками натурального числа 323, а цій умові задовольняє тільки x = 17, яке і є рішенням даного рівняння.

Відповідь: x = 17.

6. Пішохід, велосипедист і мотоцикліст рухаються в одну сторону з постійними швидкостями. У той момент, коли пішохід і велосипедист перебували в одній точці, мотоцикліст був в 6 км позаду них. У той момент, коли мотоцикліст наздогнав велосипедиста, пішохід відставав від них на 3 км. На скільки кілометрів велосипедист обганяв пішохода в той момент, коли пішохода наздогнав мотоцикліст?

 Рішення. Спосіб 1 ( «фізичний»). Будемо вважати, що пішохід нерухомий. Мотоцикліст спочатку відставав від пішохода на 6 км, а потім обігнав його на 3 км, а велосипедист спочатку знаходився врівень з пішоходом, а потім обігнав його на 3 км. Отже, швидкість мотоцикліста щодо пішохода в 3 рази більше швидкості велосипедиста щодо пішохода.

Так як мотоцикліст, наздогнавши пішохода, проїхав щодо пішохода 6 км, то велосипедист проїхав щодо пішохода в три рази менше, тобто 2 км.

Спосіб 2 ( «алгебраїчний»). Нехай швидкості мотоцикліста, велосипедиста і пішохода рівні відповідно а км / год, b км / год і c км / год. Нехай також з моменту «зустрічі» пішохода і велосипедиста до моменту «зустрічі» мотоцикліста й велосипедиста пройшло t годин, а з моменту «зустрічі» пішохода і велосипедиста до моменту «зустрічі» пішохода і мотоцикліста пройшло T годин. Тоді складаємо три рівняння: (a - c)t = 9; (b - c)t = 3; (a - c)T = 6. Знайдемо шукане відстань S = (b - c)T. Розділивши перше рівняння на друге, отримаємо, що  . тоді  , тобто , S = 2.

Спосіб 3 ( «геометричний»). Зобразимо графіки залежності переміщення S від часу t для всіх учасників процесу в одній системі координат (див. рис. 2, промені ОА, ОС и МА - Графіки руху велосипедиста, пішохода і мотоцикліста відповідно). З умови задачі випливає, що ОМ = 6; АС = 3.

Для того щоб знайти шукане відстань ВР, Розглянемо дві пари подібних трикутників: DАВР~ DАОМ, DОВР~ DОАС. З першого подібності випливає, що  , А з другого, що  . отже,  . тоді .

Відповідь: 2 км.

Запитання і завдання:

1. Як можна організувати роботу вчителя з розгляду різних способів вирішення однієї і тієї ж задачі?

2. Запропонуйте вирішення однієї задачі різними способами, яке демонструє взаємозв'язку різних частин математики.

3. Вирішіть наступні задачі різними способами.

1. Знайдіть a6 + 3a2b2 + b6, якщо а2 + b2 = 1. Відповідь: 1.

2. Про коефіцієнти лінійної функції у = KХ + b відомо що k + b > 0, а 2k + b <0. Чи може графік цієї функції перетинати вісь абсцис в точці х = 3? Відповідь: ні, не може.

3. Чи існують числа a, b, c и d, Що задовольняють нерівності 0 < a , Такі що рівняння x4 + bx + c = 0 і x4 + ax + d = 0 мають хоча б один спільний корінь? Відповідь: ні, не існують.

4. Знайдіть x + y, якщо x3 + y3 = 9, а x2y + xy2 = 6. Відповідь: 3.

5. Порівняйте дроби: и  . відповідь: .

6. Позитивні числа x, y и z задовольняють нерівності x2 + y2 + z2 ? 3. Доведіть, що .

7. Знайдіть x3 + y3, Якщо відомо, що x + y = 5 і x + y + x2y+xy2= 24. Відповідь: 68.

8. Після того, як вчителька Марія Іванівна пересадила Вовочку з першого ряду на другий, Іванка - з другого ряду на третій, а Машеньку - з третього ряду на перший, середній вік учнів, що сидять в першому ряду, збільшився на тиждень, що сидять в другому ряду - збільшився на два тижні, а тих, хто сидить в третьому ряду - зменшився на чотири тижні. Відомо, що на першому і на другому ряду сидять по 12 чоловік. Скільки людей сидить в третьому ряду? Відповідь: 9 осіб.

9. У Золотої рибки записані і пронумеровані підряд всі знайомі. Половина з них - щуки, третина - окуні, а всі знайомі з номерами, які діляться на 4, - карасі. Скільки всього знайомих у Золотої рибки? Відповідь: 6 знайомих.

10. Кілька гномів, нав'ючивши свою поклажу на поні, вирушили в дальній шлях. Їх помітили тролі, які нарахували в каравані 36 ніг і 15 голів. Скільки було гномів, і скільки поні? Відповідь: 12 гномів і 3 поні.

література

1. Антонов, Н. п., Вигодський, М. я., Нікітін, В. в. та ін. Збірник завдань з елементарної математики. - М .: Наука, 1968. - 528 с.

2. Болтянский, В. м, Сидоров, Ю. ст., Шабунін, М. і. Лекції та завдання з елементарної математики. - М .: Наука, 1971. - 592 с.

3. Горнштейн, П. і., Хацкевич, А. р Полонський, В. б. та ін. Іспит з математики і його підводні рифи. - М .: Ілекса, Харків: Гімназія, 1998. - 236 с.

4. Готман, Е. г. Завдання одне - рішення різні: Геометр. завдання: кн. для учнів. - М .: Просвещение, 2000. - 224 с.

5. Ігнатьєв, Є. і. Математична кмітливість. Цікаві завдання, ігри, фокуси, парадокси. - М .: Омега, 1994. - 192 с.

6. Пойа, Д. Як вирішувати завдання. - Львів: Журнал «Квантор», 1991. - 215 с.

§4. Використання властивостей функції при вирішенні задач
по курсу алгебри і початків аналізу

Незважаючи на велику кількість вирішуваних завдань, учні відчувають певні труднощі при самостійному пошуку вирішення завдань, особливо якщо пошук теоретичних обгрунтувань не обмежений рамками конкретного параграфа підручника. Щоб частково зняти труднощі, необхідно більше уваги приділити пошуку плану розв'язування задачі. До основних прийомів пошуку рішення задачі можна віднести: 1) аналіз вимоги завдання і співвіднесення вимоги з умовою; 2) аналіз умови, його розгортання і встановлення зв'язків з вимогою завдання; 3) розгортання вимоги завдання.

Набагато більшу користь принесе учням рішення однієї задачі кількома способами, ніж рішення великої кількості завдань одним способом. При цьому серед різних способів можна виділити способи як раціональні, так і нераціональні.

Часто раціональні способи не використовуються учнями в силу тих чи інших особливостей мислення, звички і т. Д. Перед учнями виникають своєрідні психологічні бар'єри, переступивши через які вони далі без особливих зусиль можуть вирішити пропоновану завдання способом більш раціональним і легким, ніж способом стандартним або удаваним легким на перший погляд. Для організації пошуку раціональних способів вирішення завдання необхідно більше уваги приділяти роботі з вирішеним завданням: отримання теоретичних відомостей з вирішення завдання; узагальнення результатів; відшукання інших способів вирішення. Зауважимо, що пошуку раціонального способу розв'язання сприяє порівняння різних способів вирішення завдання, вибір найбільш сподобався і пояснення, чому той чи інший спосіб видався більш привабливим (тут грає роль стислість рішення задачі, несподіваний підхід, наочність, зв'язок між різними темами шкільного курсу математики і т . д.).

Прийоми для організації пошуку раціонального способу розв'язання задач:

· Використання набутих знань і досвіду з різних областей шкільної математики;

· Створення ситуації, що спонукає учня аналізувати умову задачі, глибше осмислювати знання;

· Спонукання до пошуку різних способів вирішення завдання, розгляду питання з різних точок зору;

· Створення ситуації самоперевірки, аналізу власних знань і практичних умінь.

З кожної алгебри завданням пов'язані складові їх аналітичні вирази. Ці аналітичні вирази можуть задавати функції однієї або кількох змінних. Тому досить часто алгебраїчну задачу вдається вирішити після дослідження підходящої допоміжної функції методами математичного аналізу. Звичайно, не всі завдання вирішуються за допомогою властивостей функцій, але, тим не менш, такий спосіб вирішення в багатьох випадках полегшує вирішення подібних завдань.

Завдання, які вирішуються за допомогою властивостей функції можуть бути використані при повторенні властивостей функції, при підготовці до випускних і вступних іспитів.

Приклад 1. Розв'яжіть рівняння: .

Рішення: Очевидно, х = 1 є рішенням рівняння. Доведемо єдиність знайденого рішення. Записавши рівняння у вигляді  , І знаючи, що сума відбувають функцій  , Є також спадною, бачимо, що значення 1 функція  приймає тільки один раз при х = 1.

відповідь: х = 1.

Приклад 2. Розв'яжіть рівняння:

.

Рішення: Розглянемо функцію =  . Тоді вихідне рівняння приводиться до вигляду  . З непарності функції воно рівносильне рівнянню  . Помітивши, що функція  є зростаючою, переходимо до равносильному рівняння .

відповідь: .

Приклад 3. Вирішіть нерівність .

Рішення. Тут, використовуючи властивості монотонності трансцендентних функцій, перейдемо від рішення трансцендентного нерівності до вирішення раціонального нерівності.

Скористаємося тим, що, по-перше, авс и (А-1) (в-с) мають один знак, по-друге, logab и (A-1) (b-1) також мають один знак в області визначення logab. Але при цьому не можна забувати, що формальна заміна множника logab виразом (A-1) (b-1) призводить до розширення області визначення. Тоді, замінюючи кожен множник на вираз того ж знака, приходимо до нерівності  в області визначення x> 1/5, x?1 / 2, x?1 / 3. Вирішуючи отримане раціональне нерівність і враховуючи область визначення, отримаємо

відповідь:

Приклад 4. Розв'яжіть рівняння: .

Рішення: Областю визначення вихідного рівняння є безліч G =  . На цій множині обидві частини рівняння приймають невід'ємні значення. Отже, на безлічі G вихідне рівняння рівносильне такому:  . покладемо  . Звідси легко помітити, що в лівій частині рівняння стоїть функція, обернена до функції  на безлічі G. І, значить, рівняння має вигляд  . оскільки функція  зростаюча, то вихідне рівняння рівносильне системі  , або ,

відповідь:  або .

При вирішенні завдань, пов'язаних з пошуком найменших і найбільших значень функції, доводиться комбінувати прийоми і методи з різних розділів шкільного курсу математики. Перше, що спадає на думку, - дослідити функцію на найбільше і найменше значення за допомогою похідної. Але у такого підходу є недолік: цей звичний шлях може бути пов'язане зі значними технічними труднощами. Розглянемо це на прикладах.

Приклад 5. Знайдіть найбільше і найменше значення функції

Спосіб 1. Вирішимо задачу за допомогою похідної, перетворивши умова до виду  (1). тоді .

Знайдемо критичні точки: т. К. Знаменник похідною більше нуля, то вирішуючи рівняння cos2x = 0, знайдемо , .

Досліджуємо функцію на екстремуми знайдені значення. З перетвореного виду умови (1) видно, що функція має найменший період ?. Скористаємося наступним міркуванням: якщо деяка функція має період Т, То і будь-яка її похідна (за умови, що похідна існує) також має період, рівний Т. У точках  похідна змінює знак з мінуса на плюс, а в точках  - Навпаки. Значить, найбільше значення функції досягається в точках  і так само 4,5, А найменше значення в точках  і так само 1,5.

Спосіб 2. Знайдемо область значень під знаком кореня:  Т. к.  , то  , Т. Е.  Отже, найбільше значення функції одно 4,5, А найменше значення дорівнює 1,5.

Як ми бачимо, приступаючи до вирішення завдання, особливо важливо вміти оцінювати трудомісткість методу і знаходити раціональний шлях, уникаючи в деяких випадках спокуси вирішити задачу універсальним шляхом - за допомогою похідної, проте, розуміючи, що далеко не всі завдання на дану тему можна вирішити елементарними методами без допомоги похідної.

Але в деяких випадках застосування похідної є найбільш раціональним способом вирішення, хоча дослідження функцій відходить на другий план. Наприклад, за допомогою спеціально введених узагальнюючих функцій і аналізу їх властивостей, можна довести числові нерівності, вирішити рівняння, або нерівність, або встановити число коренів.

Приклад 6. Що більше е? або ?е?

Рішення. Спосіб 1. Розглянемо функцію f (x)=  . Ця функція визначена при x> 0, Функція зростає на (0; е), убуває (Е; + ?) і має найбільше значення при х = е . (Перевірте!) Значить f (?)  або  , звідси е?> ?е.

Cпособ 2. Можна розглянути й іншу функцію: g (x) = x-elnx, g (e) = 0, g/(X) = при х?е. значить, g (x) зростає і g (?)> 0,

?-eln?> 0, е?> ?е.

Приклад 7. Скільки дійсних коренів має рівняння х5+ х3+1= 0?

Рішення. нехай р (х) = х5+ х3+1, тоді р/(Х) = 5х4+3 х2?0. функція р (х) зростаюча, тому не може мати більше одного дійсного кореня. але р (-1) = - 1 <0, а р (0) = 1> 0. Значить на інтервалі (-1; 0) існує таке х0, що р (х0) = 0. Значить, дане рівняння має один дійсний корінь.

Приклад 8. Вирішіть нерівність: .

Рішення: Функція  визначена на всій числовій прямій. Вона досягає найбільшого значення в точці х = 0. отже,  при всіх  . функція  також визначена на всій числовій прямій і в точці х = 0 досягає найменшого значення рівного 1, т. е.  . Тому рішенням вихідної нерівності є тільки х = 1.

Відповідь: х = 1.

Наприкінці розглянемо використання властивостей функції при вирішенні завдань з параметром.

Приклад 9. Вказати всі значення а, для яких рівняння  має рішення.

Рішення. нехай cosx = t, | t | ? 1. Тоді за допомогою нескладних викладень приходимо до рівносильній системі  . Застосуємо властивості оборотності функції. функція y = t2-a при 0 ? t ? 1 оборотна і зворотна їй функція  . Таким чином, в лівій і правій частинах рівняння системи стоять взаємодоповнюючі функції на відрізку [0; 1]. Причому ці функції зростаючі, і, тому їх загальні точки лежать на прямій y = t. значить, o  . Розглянемо функції y(T) = t2-t на відрізку [0; 1]. Тоді областю значеніяданной функцііявляется проміжок [-1/4; 0] (Рис. 1).

 відповідь: аI [-1/4; 0].

Приклад 10. Розв'яжіть рівняння  для всіх .

Рішення. Перепишемо рівняння у вигляді  (1). введемо позначення  Тоді отримаємо, що  . Підставляючи отримані значення в рівняння (1), після нескладних перетворень отримаємо (Х + а)2+ (Х + а) = t2+ t. Розглянемо функцію f (y) = y2+ y. Тоді рівняння набуде вигляду f (x + a) = f (t). функція f (y) зростає на проміжку (-1/2; + ?). оскільки  (З подкоренного вираження даного рівняння) і 0 (З умови задачі), то х + а> 0. Таким чином, х + а и t належать проміжку монотонності функції. Отже, маємо х + а = t. Звідси отримаємо  . Порівняємо з даними рівнянням і отримаємо  . Дискримінант отриманого квадратного рівняння неотрицателен при 0 . Тому підходять обидва кореня отриманого квадратного рівняння.

відповідь: .

Головні труднощі в навчанні математики становить перехід від чуттєвого до раціонального. Щоб подолати ці труднощі, необхідно враховувати, що навчання має відбуватися за активної діяльності учнів. Чим різноманітніше ця діяльність, тим вище якість засвоєння знань. Рівень знань залежить і від характеру діяльності - репродуктивної (відтворює) або творчої.

Запитання і завдання:

1. Які прийоми можна використовувати для організації пошуку способу вирішення завдання?

2. Вирішіть наступну задачу: При всіх позитивних значеннях параметра а вирішите рівняння  . І придумайте організацію діяльності учнів на уроці з пошуку ідеї його рішення.

3. Виконайте пошук способу розв'язання таких завдань:

а) При якому значенні m функція  має мінімум в точці х0 =




Методика вивчення теорем і їх доказів | Наукові методи в математиці і її викладанні | Урок як основна форма організації навчання математики | Система підготовки вчителя до уроків. аналіз уроку | Перевірка і оцінка знань учнів на уроках математики | Позакласна робота з математики 1 сторінка | Позакласна робота з математики 2 сторінка | Позакласна робота з математики 3 сторінка | Позакласна робота з математики 4 сторінка | РОЗДІЛ III. СУЧАСНІ ТЕХНОЛОГІЇ НАВЧАННЯ МАТЕМАТИКИ |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати