Головна

Автори: Дулепа В. і., Лєскова О. а., Майоров І. с. : Владивосток, 2004. 35 с. (В форматі книги), в doc. 209 с. 10 сторінка

  1. 1 сторінка
  2. 1 сторінка
  3. 1 сторінка
  4. 1 сторінка
  5. 1 сторінка
  6. 1 сторінка
  7. 1 сторінка

Кореляція між головними компонентами Yk і змінної Хi задається величиною , де si - Стандартне відхилення змінної х. Отже, для порівняння вкладів змінних Хi в Yk необхідно порівняти величини aki/ si. Коли відома кореляційна матриця, досить порівняти коефіцієнти aki. У цьому випадку найбільший коефіцієнт показує, яка змінна внесла найбільший внесок в k-у головну компоненту.

Мал. 4.7. Геометрична інтерпретація методу головних компонент  Можна навести таку геометричну інтерпретацію методу головних компонент (рис. 4.7). змінні х1, ..., Хm можуть бути представлені координатними осями, початок координат знаходиться в точці  - Вектор середніх. Таким чином в m вимірному просторі кожна реалізація вектора х= (х1, ..., Хm) Представляється крапкою з координатами Х1= х1, ..., Хm= хm.

В аналізі головних компонент шукається такий поворот системи координат, щоб змінна у1, Відповідна однієї з нових осей, мала максимальну дисперсію (найбільшу витягнутість хмари точок вздовж осі), а змінна у2, Відповідна інший осі, була ортогональна (НЕ корельована) з у1 і мала б при цьому максимальну дисперсію. Мінлива уq, Повинна бути ортогональна у1, ..., Уq-1 і мати максимальну дисперсію. область mмірного простору називається еліпсоїдом концентрації. змінні х1, х2 породжують двомірний простір - еліпс. Перша головна компонента визначає напрямок великої осі еліпса, друга - малої. Якщо знайдено простір головних компонент, то за допомогою повороту осей можна отримати нескінченно багато рішень. Завдання полягає в тому, щоб підібрати осі таким чином, щоб можна було дати нових змінних конкретний біологічний сенс.

Практично задовольняються виділенням 3-5 головних компонент. Справа в тому, що обсяг інформації, який отримують кожної наступної головною компонентою, швидко убуває, а біологічна інтерпретація факторів стає все більш складною. У звичайних дослідженнях можна обмежитися тим числом головних компонент, який забезпечує вилучення 80-90% загальної дисперсії ознак: набагато важливіше правильно витлумачити сенс невеликого числа провідних головних компонент, ніж намагатися інтерпретувати наступні, виходячи з незначною частки вноситься ними інформації.

Підводячи підсумок, можна сказати, що сенс способу головних компонент полягає в послідовному усунення впливу кожного виділеного фактора на систему зв'язку між ознаками. По суті аналіз головних компонент заснований на знаходженні власних чисел і відповідних власних векторів матриці коефіцієнтів кореляції або коваріації між вихідними змінними. Що виходять власні числа і власні вектори визначають компоненти повної варіабельності (закладеної в початкових змінних) як лінійні функції цих змінних з коефіцієнтами, обраними так, що функції виявляються математично незалежними, або ортогональними один одному.

Найкраще проілюструвати цей метод простим прикладом Джеферс, 1981).

В ході дослідження можливих наслідків для навколишнього середовища, до яких могло призвести зведення дамби в затоці, було здійснено ряд спостережень. У кожній з 274 вибіркових точок в різних частинах затоки було взято за десять 10-сантиметрових колонок грунту; вибірковий матеріал тут же обробляли. Для кожної з вибірок визначали значення восьми змінних:

1. Частку часток розміром> 250 мкм.

2. Частку часток розміром 125-250 мкм.

3.Частку частинок розміром 62,5-125 мкм.

4. Частку часток розміром <62,5 мкм.

5. Втрати в результаті прожарювання при 5500С.

6. Зміст кальцію.

7. Зміст фосфору.

8. Змісту азоту.

Ставилося завдання за вихідними даними визначити властивості грунту в затоці. У табл. 4.25 підсумовано основні результати спостережень для 274 вибіркових точок.

Таблиця 4.25

Змінні, що характеризують властивості середовища в затоці Моркам

 Мінлива  Мінімум,%  Середнє,%  Максимум,%  Стандартне відхилення
 1. Частка частинок розміром> 250 мкм.2. Частка частинок розміром 125-250 мкм.3. Частка частинок розміром 62,5-125 мкм.4. Частка частинок розміром <62,5 мкм.5. Втрати в результаті прожарювання при 5500С.6. Зміст кальція.7. Зміст фосфора.8. вміст азоту.  0,10,050,10,50,441,50,0160,001  1,20720,3153,6724,741,5042,4010,0280,013  439497883,72 90,0480,054  4,47923,2721,3620,770,5550,7040,00560,0093

У табл. 4.26 наведені коефіцієнти кореляції між вихідними змінними. Дослідження таблиці кореляцій показало, що частки частинок більше 250 мкм і частинок розміром 125-250 мкм значимо і позитивно корелюють між собою і негативно корелюють з часткою частинок розміром 62,5-125 і дрібніше 62,5 мкм. Останні показники також значимо і негативно корелюють між собою. На противагу цьому всі чотири змінні, що характеризують хімічні властивості грунту, були значимо і позитивно взаємно корельовані. Втрати при прожарюванні позитивно корелювали з частками частинок розміром 62,5-125 і дрібніше 62,5 мкм і негативно корелювали з часткою частинок розміром 125-250 мкм. Вміст кальцію позитивно корелювало з часткою частинок більше 50 мкм і дрібніше 62,5 мкм і негативно корелювало з часткою частинок розміром від 125 до 250 мкм. Зміст фосфору позитивно корелювало з часткою частинок менше 125 мкм і негативно корелювало з часткою частинок розміром більше 125 мкм. Зміст азоту позитивно корелювало з часткою частинок дрібніше 62,5 мкм і негативно корелювало з часткою частинок розміром від 125 до 250 мкм.

Таблиця 4.26

Коефіцієнти кореляції між змінними середовища

Х1              
 0,1471 Х2            
 -0,283  -0,5651 Х3          
 -0,095  -0,5721  -0,331 Х4        
 -0,001  -0,4621  0,1272  0,3881 Х5      
 0,7131  -0,2531  -0,051  0,1751  0,3591 Х6    
 -0,1482  -0,4051  0,2171  0,2641  0,5661  0,1671 Х7  
 0,072  -0,4261  0,005  0,4531  0,7351  0,4211  0,436 Х8

1 - Значимо на рівні 0,01

2 - Значимо на рівні 0,05

З простого розгляду кореляційної матриці, т. Е. По суті, самих даних, важко витягти що-небудь, крім твердження, що між цими вісьмома змінними існує тісний взаємний кореляція, а вже зробити висновок про властивості грунту неможливо. Для цього застосуємо метод головних компонент, щоб змінити структуру вихідних ознак таким чином, щоб можна було зробити відповідний висновок. Аналіз головних компонент починається з обчислення такої лінійної функції восьми змінних, яка дає якомога більшу частину всієї варіабельності, що міститься в 274 вибірках.

Власні числа і власні вектори обчислюються на основі кореляційної матриці ознак. Власне число першої компоненти одно 3,12; воно показує, яку частку повної варіабельності враховує даний компонент. Аналогічно інші власні числа відображають ті частки варіабельності, які враховуються відповідними компонентами, а в сумі вони дають кумулятивні частки повної варіабельності, що враховуються незалежними по визначенню головними компонентами. З табл. 4.27 видно, що перша лінійна функція восьми змінних відповідає за 39% повної варіабельності, а наступні три компоненти - за 23,4, 15,7 і 10,3% відповідно. У сумі чотири компоненти дають 88,4% варіабельності, що міститься в восьми вихідних змінних. Обчислювати наступні компоненти, мабуть, не варто, так як навряд чи компоненти з власними числами, меншими приблизно 0,8, матимуть якесь практичне значення.

Таблиця 4.27

Власні числа для перших чотирьох головних компонент

 компонента  власне число  частка варіабельності  Кумулятивна частка варіабельності
Y1 Y2 Y3 Y4  3,12 1,87 1,26 0,83  39 23,4 15,7 10,3  39 62,4 78,1 88,4

У табл. 4.28 наведені власні вектори, елементи яких є коефіцієнти лінійних функцій, що визначають компоненти повної варіабельності. Якщо нанести на графік розсіювання наявні дані, то вони не будуть розкидані, як до застосування методу головних компонент, а згруповані в чотири частини по числу головних компонент. Їх можна використовувати для інтерпретації екологічного сенсу компонент, використовуючи знак і відносну величину коефіцієнтів як показники ваги, які слід присвоїти кожній змінної в цих чотирьох головних компонентах. Перша компонента відображає в основному протилежність фактора Х5 (Втрати при прожарюванні зразка) і чинників Х7 и Х8 (Вміст фосфору й азоту), з одного боку, і фактора Х2 (Частка частинок розміром 125-250 мкм) - з іншого, і являє собою деяку міру загального «родючості» піску і мулу. Другий компонент є показником частки найбільших часток (т. Е. Частинок> 250 мкм) і вмісту кальцію і служить мірою кількості розбитих раковин. Третя компонента відображає протилежності факторів Х3 (Частка частинок розміром 62,5-125 мкм) і Х4 (Частка частинок, розмір яких менше 62,5 мкм) і розглядається як міра накопичення морського мулу. Четверта компонента знову відображає протилежності чинників, але в даному випадку факторів Х2 (Частка частинок розміром 125-250 мкм) і Х7 (Вміст фосфору), з одного боку, і фактора Х4 (Число часток дрібніше 62,5 мкм) - з іншого, і інтерпретується як міра річкових наносів.

Таблиця 4.28

Власні вектори перших чотирьох компонент
змінних середовища

 Мінлива  Коефіцієнти для компонент
  Y1 Y2 Y3 Y4
Х1 Х2 Х3 Х4 Х5 Х6 Х7 Х8  0,05 -0,9 0,25 0,74 1 0,61 0,8 0,97  1 0,4 -0,72 0,07 0,01 0,79 -0,27 0,17  0,49 -0,23 1 -0,87 -0,03 0,53 0,04 -0,16  0,17 -1 0,24 0,84 -0,64 0,24 -0,86 -0,42

Аналіз показує, що для обліку основної мінливості хімічних і фізичних властивостей піску і мулу в затоці досить обмеженого числа вимірювань варіабельності. В даному випадку було досить чотирьох компонент, щоб врахувати 88% повної варіабельності, а самі компоненти легко інтерпретувалися через цілком конкретні типи мінливості, які піддаються визначенню. Насправді знаходження окремих компонент для окремих вибірок і нанесення їх значень на карту затоки допомагають виявити області високої продуктивності, межі поширення морських опадів і річкових наносів, а також області з високим вмістом кальцію, що вказує на наявність великої кількості розбитих раковин. Отримувані при цьому карти допомагають виявити джерело варіабельності, який в іншому випадку був би невідомим.

Крім визначення розміру часток і хімічного складу піску і мулу, проводилися вибіркові дослідження для визначення численностей 22 видів або видових груп безхребетних, що мешкають в затоці. У табл. 4.29 наведені чисельності на 1м2 тільки семи з цих видів, оскільки інші види безхребетних зустрічалися занадто рідко, щоб аналізувати їх чисельність. Загальна кількість вибірок, за якими складена ця таблиця, так само 329, т. К. Крім вибірок для визначення фізичних і хімічних властивостей середовища робилися деякі додаткові вибірки з метою з'ясувати розподіл видів, оскільки вважалося, що число видів більш вариабельно, ніж змінні середовища. Як показує аналіз табл. 4.29, це припущення було, безсумнівно, справедливим, оскільки число окремих організмів семи видів в вибірках мулу дійсно дуже сильно варіював.

Таблиця 4.29

Чисельності різних видів безхребетних в затоці Моркам

 вид  Чисельність на 1м2  Стандартне відхилення
   мінімум  середнє  максимум  
Y1 Macoma baltica Y2 Tellina tenuis Y3 Hydrobia ulvae Y4 Corophium volutator Y5 Nereis diversicolor Y6 Arenicola marina Y7 Nephthys hombergii  0 0 0 0 0 0 0  2325 49,2 374,2 540,5 63,5 16,7 4,94  56325 9800 8525 8700 750 222 100  5966 544 1014 1180 116 26 17

У табл. 4.30 наведені коефіцієнти кореляції між численностями видів в окремих вибірках. І знову звичайний критерій значущості для коефіцієнтів кореляції між двома змінними тут навряд чи можна застосувати - не тільки тому, що ми перевіряємо кілька коефіцієнтів одночасно, але і тому, що розподіл вихідних даних далеко від нормального. Проте, відповідно до звичайного критерієм значимості, чисельність Macoma baltica позитивно корелювала з численностями Hydrobia ulvae, Nereis diversicolor и Arenicola marina і негативно корелювала з чисельністю Nephthys hombergii. чисельності Hydrobia ulvae, Corophium volutator и Nereis diversicolor взаємно корелювали, а чисельність Corophium volutator негативно корелювала з чисельністю Nephthys hombergii. чисельність Tellina tenuis не виявляється помітних кореляцій з численностями всіх інших видів.

Таблиця 4.30

Коефіцієнти кореляції між численностями
різних видів безхребетних

Y1 -0,028 0,3581 0,051 0,5691 0,1741 -0,171 Y2 0,032 0,054 0,009 -0,003 -0 Y3 0,3131 0,3021 0,081 -0,099 Y4 0,1621 -0,095 -0,1182 Y5 0,084 -0,092 Y6 -0,011 Y7

1 - Значимо на рівні 0,01,

2 - Значимо на рівні 0,05.

Як і раніше, головні компоненти для кореляційної матриці табл. 4.30 визначаються за власними числам і власним векторах цієї матриці. Перші п'ять власних чисел кореляційної матриці наведені в табл. 4.31, яка показує, що п'ять відповідних компонент враховують майже 86% повної варіабельності. Решта дві компоненти, які можна обчислити, відповідають, мабуть, лише випадковим варіаціям.

Таблиця 4.31

Власні числа перших п'яти компонент для численностей
різних видів безхребетних

 компонента  власне число  Частка варіабельності,%  Кумулятивна частка варіабельності,%
W1 W2 W3 W4 W5  1,98 1,2 1 0,95 0,85  28,3 17,1 14,3 13,6 12,2  28,3 45,4 59,7 73,3 85,5

Згідно з наведеними в табл. 4.32 власним векторах перша компонента, що відповідає за 28,3% повної варіабельності чисельності видів, є показником чисельності Macoma baltica, Hydrobia ulvae и Nereis diversicolor. друга компонента, що враховує 17,1% варіабельності, відображає протилежність змін численностей Corophium volutator и Arenicola marina. інші компоненти, що відповідають за 14,3, 13,6 і 12,2% відповідно, є прямий мірою численностей Tellina tenuis, Nephthys hombergii і Arenicola marina відповідно.

Таблиця 4.32

Власні вектори перших п'яти компонент
для численностей різних видів безхребетних

 Мінлива  Коефіцієнти для компонент
  W1 W2 W3 W4 W5
Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 Y7  1 0,04 0,89 0,51 0,99 0,29 -0,32  -0,48 0,4 0,32 1 -0,22 -0,86 -0,44  -0,01 1 0,04 -0,05 -0,01 0,25 0,34  0,13 -0,2 0,11 0,13 0,19 -0,54 1  -0,43 -0,41 0,59 0,71 -0,59 1 0,47

Таким чином, за допомогою аналізу знову вдається уявити всю масу інформації у відносно простому вигляді, де п'ять компонент враховують близько 86% повної варіабельності. Як і при аналізі хімічних і фізичних властивостей піску і мулу, обчислення значень окремих компонент для різних вибірок та нанесення цих значень на карту затоки дає ясну картину розподілу організмів у рамках цих п'яти незалежних компонент. І знову виходять карти допомагають виявити джерело варіабельності, який в іншому випадку залишався б невідомим.

Ще більш цікавим виявилося, однак, розгляд кореляцій між значеннями компонент для середовища і для чисельності безхребетних. Ці кореляції були простежені за тими 272 вибірках, по яким були обидва набору компонент; відповідні дані наведені в табл. 4.33.

Таблиця 4.33

Коефіцієнти кореляції між компонентами середовища
і компонентами для чисельності безхребетних

 Компонента для чисельності безхребетних  Коефіцієнт кореляції з компонентою середовища
  Y1 Y2 Y3 Y4
W1 W2 W3 W4 W5  0,4081 -0,047 -0,78 -0,029 -0,004  -0,029 -0,1641 -0,007 -0,1871 0,042  0,039 -0,097 0,122 0,062 0,095  -0,031 0,1532 0 -0,1 0,1561

1 - Значимо на рівні 0,01,

2 - Значимо на рівні 0,05.

З колишніми застереженнями з приводу обгрунтованості звичайних критеріїв значимості для подібних кореляцій ми можемо зробити висновок, що, судячи з даних таблиці, між компонентами для середовища і компонентами для чисельності безхребетних існують цікаві взаємозв'язку. Перша компонента, що відноситься до популяції безхребетних, - показник чисельності Macoma baltica, Hydrobia ulvae и Nereis diversicolor - позитивно корелюють з першої з компонент для середовища - загальною продуктивністю. Протилежність між численностями Corophium volutator и Arenicola marina негативно корелює з другої компонентою для середовища і позитивно корелює з четвертої компонентою, т. е. негативно корелює з наявністю розбитих раковин і позитивно - з річковими наносами. чисельність Tellina tenuis позитивно корелює з третьої компонентою для середовища, яка служить мірою накопичення морського мулу, а чисельність Arenocola marina негативно корелює з наявністю розбитих раковин. чисельність Arenicola marina позитивно корелює з кількістю осадового матеріалу морського походження. Схематично всі ці кореляції зображені на рис. 4.8.

Мал. 4.8. Кореляції між численностями безхребетних
і властивостями середовища проживання

Два розглянутих вище дослідження дають приклад цікавого описового аналізу взаємозв'язків між фізико-хімічними властивостями піску та мулу і чисельністю популяцій безхребетних в затоці Моркам. До цього прикладу ми повернемося пізніше при розгляді ще однієї альтернативної моделі - моделі канонічних кореляцій.

4.5. Факторний аналіз

Факторний аналіз багато в чому нагадує процедуру знаходження головних компонент і являє собою найбільш загальний підхід до перетворення структури залежності вихідних змінних. У сучасних пакетах статистичної обробки даних на ПЕОМ ці два методи об'єднані в один, під назвою «факторний аналіз», в якому метод головних компонент є складовою частиною, способом виділення факторів.

Нехай є р об'єктів, для яких проведені вимірювання m ознак. У факторному аналізі вводиться факторна модель:

, (4.66)

де lij - Постійні, а m, Як правило, менше р. змінні F1, ..., Fm називаються загальними (первинними) факторами, оскільки вони використовуються для подання всіх р вихідних змінних. Передбачається, що загальні фактори не корельовані і мають одиничні дисперсії. змінні е1, ..., Еp називаються специфічними (характерними) факторами, оскільки для кожної вихідної змінної Хi визначається своя змінна еi, i = 1, ... р. Передбачається, що характерні чинники теж корельовані і що , i = 1, ... р, Де ti - Так звана специфічна дисперсія, або специфічність i-й початкової змінної. змінні Fi и ei передбачаються некоррелірованнимі. змінні lij називаються факторними навантаженнями.

Дисперсія і коваріація вихідних змінних буде дорівнює

. (4.67)

величина  називається спільністю i-й початкової змінної і дорівнює різниці її варіації і специфічності.

Таким чином, р компонент моделі головних компонент можна розглядати як р загальних факторів, що описують структуру залежно р вихідних змінних, в той час як m  загальних факторів факторної моделі описують основну частину структури залежності, а специфічні фактори - решту. Іншими словами, в моделі головних компонент вся дисперсія приписується р головних компонентів, тоді як в факторному аналізі дисперсія кожної вихідної змінної ділиться на дві частини: дисперсію, обумовлену наявністю загальних факторів (спільність), і дисперсію, обумовлену варіацією кожної вихідної змінної (специфічність).

Техніка факторного аналізу спрямована на оцінку факторних навантажень і специфічних дисперсій, а також на визначення для кожного об'єкта значень загальних факторів за допомогою значень вихідних змінних, т. Е. На обчислення так званих факторних значень. Після того, як факторні навантаження знайдені, залишається ще завдання кращої інтерпретації загальних факторів. Для цього використовується метод обертання факторів.

4.5.1. Визначення головних чинників

Передбачається наявність випадкової вибірки з багатовимірного нормального розподілу з вектором середніх  і ковариационной матрицею . нехай Sp * p = (sij) - Вибіркова ковариационная матриця і Rp * p= (rij) - Вибіркова кореляційна матриця, де rij= sij/ (siisij)1/2, i, j = 1, ..., p.

Першим завданням факторного аналізу є визначення по матриці S або R оцінок lij факторних навантажень lij і оцінок ti специфічних дисперсій ti, i = 1, ..., p, j = 1, .., m. Слід зазначити, що перевага віддається кореляційної матриці, оскільки дослідники переважно працюють зі стандартизованими змінними.

Перш за все визначаються оцінки р головних компонент:

 (4.68)

Нагадаємо, що р головних компонент взаємно некорреліровани і дисперсія i-й компоненти дорівнює i-му за величиною своїм значенням вибіркової ковариационной або кореляційної матриці з відповідним власним вектором ai= (ai1, ..., Aip)', i = 1, .., p. Має місце наступна система рівнянь щодо вихідних змінних:

Згідно з методом визначення головних чинників в якості загальних факторів береться m перших головних компонент, зважених в такий спосіб:

, (4.69)

де [V (Yj)]1/2 - середньоквадратичне відхилення

Оцінками факторних навантажень служать величини:

lij= aji[V (Yj)]1/2, I = 1, ..., p, j = 1, ..., m, (4.70)

а оцінки специфічних факторів задаються рівностями:

. (4.71)

Таким чином, виходить наступна оцінка факторної моделі:

. (4.72)

Тут все загальні фактори мають одиничні дисперсії і взаємно корельовані. Крім того, вони некорреліровани і зі специфічними факторами.

оцінки спільнот h2i і специфічності ti для Xi, I = 1, ..., p мають відповідно вид ^

 (4.73)

Нагадаємо, що в аналізі головних компонент зберігається дисперсія, що міститься в загальних факторах (головних компонентах). У факторному аналізі часто потрібно отримати оцінки загальних факторів, що зберігають спільність  або всю дисперсію загальних факторів. Тому користувач може визначити початкові оцінки спільнот всіх вихідних змінних і максимально допустиму кількість ітерацій, що забезпечує збіжність до сумарної спільності. Ці оцінки підставляються замість діагональних елементів матриці, що підлягає факторному аналізу. Отримання оцінок факторних навантажень і нових спільнот становить крок ітерації. На наступному кроці діагональні елементи матриці, що підлягає факторному аналізу, замінюються на отримані спільності. Потім заново визначаються факторні навантаження і спільності. Процес повторюється, поки не буде перевищено максимально допустиму кількість ітерацій або поки максимальна різниця спільнот, отриманих на сусідніх кроках ітерації, не стане менше заданого числа. Користувач може залишити діагональні елементи без змін і задати тільки припустиме число ітерацій, що забезпечує збіжність до сумарної спільності.




Автори: Дулепа В. і., Лєскова О. а., Майоров І. с. : Владивосток, 2004. 35 с. (В форматі книги), в doc. 209 с. 1 сторінка | Автори: Дулепа В. і., Лєскова О. а., Майоров І. с. : Владивосток, 2004. 35 с. (В форматі книги), в doc. 209 с. 2 сторінка | Автори: Дулепа В. і., Лєскова О. а., Майоров І. с. : Владивосток, 2004. 35 с. (В форматі книги), в doc. 209 с. 3 сторінка | Автори: Дулепа В. і., Лєскова О. а., Майоров І. с. : Владивосток, 2004. 35 с. (В форматі книги), в doc. 209 с. 4 сторінка | Автори: Дулепа В. і., Лєскова О. а., Майоров І. с. : Владивосток, 2004. 35 с. (В форматі книги), в doc. 209 с. 5 сторінка | Автори: Дулепа В. і., Лєскова О. а., Майоров І. с. : Владивосток, 2004. 35 с. (В форматі книги), в doc. 209 с. 6 сторінка | Автори: Дулепа В. і., Лєскова О. а., Майоров І. с. : Владивосток, 2004. 35 с. (В форматі книги), в doc. 209 с. 7 сторінка | Автори: Дулепа В. і., Лєскова О. а., Майоров І. с. : Владивосток, 2004. 35 с. (В форматі книги), в doc. 209 с. 8 сторінка | Автори: Дулепа В. і., Лєскова О. а., Майоров І. с. : Владивосток, 2004. 35 с. (В форматі книги), в doc. 209 с. 12 сторінка | Автори: Дулепа В. і., Лєскова О. а., Майоров І. с. : Владивосток, 2004. 35 с. (В форматі книги), в doc. 209 с. 13 сторінка |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати