загрузка...
загрузка...
На головну

Числові характеристики дискретної випадкової величини

  1. III.2.1) Поняття злочину, його основні характеристики.
  2. А) Головний фактор - польотний вага або льотні характеристики самого важкого літака, котрий має аеродромом
  3. Автоматична бортова система управління АБСУ-154. Призначення. Принцип роботи. Основні характеристики.
  4. Автоматичні компенсатори (типу КСП) для вимірювання напруги і температури. Типи. Схеми. Статичні і динамічні характеристики
  5. Акустичні та фізіологічні характеристики мови
  6. Акустичні характеристики усного мовлення
  7. Аналізатори спектра. Призначення. Елементи. Характеристики

Визначення: Математичним очікуванням м (Х)дискретної випадкової величини Х називається сума творів всіх її значень на відповідні їм ймовірності: м (Х)=? xiрi= x1р1 + x2р2+ ... + Xnрn

Математичне сподівання служить характеристикою середнього значення випадкової величини.

Властивості математичного очікування:

1) M (C) = C, де С-постійна величина;

2) м (С-Х) = С-м (Х),

3) м (Х ± Y) = м (Х) ± M (Y);

4) M (X-Y) = M (X) -M (Y), де X, Y- незалежні випадкові величини;

5) M (X ± C) = M (X) ± C, де С-постійна величина;

Визначення: Дисперсією D (X)випадкової величини Х називається математичне сподівання квадрата відхилення випадкової величини від її математичного очікування:

D (X) = M (X-M (X))2

Властивості дисперсії:

1) D (C) = 0, де С-постійна величина;

2) D (X)> 0, де Х- випадкова величина;

3) D (C-X) = C2-D (X), де С-постійна величина;

4) D (X + Y) = D (X) + D (Y), де X, Y- незалежні випадкові величини;

Для обчислення дисперсії часто буває зручно користуватися формулою:

D (X) = M (X2) - (M (X))2, Де м (Х) = ? xi2рi= x12р1 + x22р2+ ... + Xn2рn

Визначення: Середнім квадратичним відхиленням ? (Х) випадкової величини Х називається квадратний корінь з дисперсії:

Завдання 2.Дискретна випадкова величина Х задана законом розподілу:

х  -1
р  0,1 Р2  0,3  0,2  0,3

знайти Р2, Функцію розподілу F (x) і побудувати її графік, а також M (X), D (X), ? (Х).

Рішення: Так як сума ймовірностей можливих значень випадкової величини Х дорівнює 1, то

Р2= 1 (0,1 + 0,3 + 0,2 + 0,3) = 0,1

Знайдемо функцію розподілу F (х) = P (X

Геометрично це рівність можна витлумачити так: F (х) є ймовірність того, що випадкова величина прийме значення, яке зображується на числової осі точкою, що лежить лівіше точки х.

Якщо х?-1, то F (х) = 0, т. К. На (-?; х) немає жодного значення даної випадкової величини;

якщо -1 <х?0, то F (х) = р (Х = -1) = 0,1, т. к. в проміжок (-?; х) потрапляє тільки одне значення x1= -1;

якщо 0 <х?1, то F (х) = р (Х = -1) + р (Х = 0) = 0,1 + 0,1 = 0,2, т. к. в проміжок

(-?; Х) потрапляють два значення x1= -1 І x2= 0;

якщо 1 <х?2, то F (х) = р (Х = -1) + р (Х = 0) + р (Х = 1) = 0,1 + 0,1 + 0,3 = 0,5 , т. к. в проміжок (-?; х) потрапляють три значення x1= -1, X2= 0 і x3= 1;

якщо 2 <х?3, то F (х) = р (Х = -1) + р (Х = 0) + р (Х = 1) + р (Х = 2) = 0,1 + 0,1 + 0,3 + 0,2 = 0,7, т. к. в проміжок (-?; х) потрапляють чотири значення x1= -1, X2= 0, x3= 1 і х4= 2;

якщо х> 3, то F (х) = р (Х = -1) + р (Х = 0) + р (Х = 1) + р (Х = 2) + р (Х = 3) = 0,1 +0,1 0,3 + 0,2 + 0,3 = 1, т. к. в проміжок (-?; х) потрапляють чотири значення x1= -1, X2= 0, x3= 1, х4= 2 і х5= 3.

Отже,

0 при х?-1,

0,1 при -1 <х?0,

0,2 при 0 <х?1,

F (x) = 0,5 при 1 <х?2,

0,7 при 2 <х?3,

1 при х> 3

Зобразимо функцію F (x) Графічно (рис.2):

Мал. 2

Знайдемо числові характеристики випадкової величини:

м (Х)=? x?р? = x1р1 + x2р2+ ... + Xnрn

M (X) = - 1-0,1 + 0-0,1 + 1-0,3 + 2-0,2 + 3-0,3 = 1,5

D (X) = ? x2?р? - (M (X))2 = x21р1 + x22р2+ ... + X2nрn - (M (X))2

D (X) = (- 1)2 -0,1 + 12-3 + 22-0,2 + 32-0,3- (1,5)2= 1,65

?1,2845.

Предметом математичної статистики є вивчення випадкових величин (або випадкових подій, процесів) за результатами спостережень. Отримані в результаті спостереження (досвіду, експерименту) дані спочатку треба якимось чином обробити: упорядкувати, уявити в зручному для огляду і аналізу вигляді. Це перше завдання. Друге завдання, оцінити, хоча б приблизно, що цікавлять нас характеристики спостерігається випадкової величини. Наступним завданням, є перевірка статистичних гіпотез, т. Е. Вирішення питання узгодження результатів оцінювання з досвідченими даними.

Предметом дослідження в математичній статистиці є сукупність об'єктів, однорідних щодо деяких ознак. Сукупність усіх підлягають вивченню об'єктів або можливих результатів всіх мислимих спостережень, вироблених в незмінних умовах над одним об'єктом, називається генеральною сукупністю.

Зазвичай застосовують вибірковий метод, який полягає в тому, що з генеральної сукупності випадковим чином витягають n елементів. Ці елементи називаються вибіркової сукупністю або вибіркою. Кількість елементів у вибірці називається її обсягом. Дослідник вивчає і аналізує вибіркову сукупність і на підставі отриманих показників робить висновок про параметри генеральної сукупності.

Припустимо, з генеральної сукупності витягнута вибірка обсягом n, виміряна деяка величина Х, в результаті чого отримано ряд значень  . Цей ряд називається простим статистичним рядом.

Приклад. Виміряна маса тіла 10 дівчаток 6 років. Отримані дані утворюють простий статистичний ряд:

24 22 23 28 24 23 25 27 25 25

Окремі значення статистичного ряду називаються варіантами. якщо варіанти  з'явилася m раз, то число m називають частотою, а її відношення до обсягу вибірки p = m / n - відносної частотою.

Послідовність варіант, записана в зростаючому (спадному) порядку, називається ранжируваною поруч.

Приклад. Ранжируваний ряд: 22 23 23 24 24 25 25 25 27 28

Отримана таким чином послідовність

значень випадкової величини називається варіаційним рядом.

Існують характеристики варіаційного ряду: заходи рівня, або середні. Найбільш вживаними в статистичних дослідженнях є три види середніх: середня арифметична, мода і медіана.

Середня арифметична

модою називається варіанта, що має найбільшу частоту.

розмах - Це різниця між найбільшим і найменшим значеннями ряду.

медианой називається варіанта, розташована в центрі рангового ряду. Якщо ряд складається з парного числа варіант, то медіаною вважають середнє арифметичне двох варіант, розташованих в центрі рангового ряду.

вибіркова дисперсія

Вибіркове стандартне відхилення

ЗАВДАННЯ З РІШЕННЯМИ

завдання 1. У зв'язці з 3 ключів тільки один ключ підходить до дверей. Ключі перебирають до тих пір, поки не знайдеться відповідний ключ. Побудувати закон розподілу для випадкової величини x - числа випробуваних ключів.

Рішення.Число випробуваних ключів може дорівнювати 1, 2 або 3. Якщо відчули тільки один ключ, це означає, що цей перший ключ відразу підійшов до дверей, а ймовірність такої події дорівнює 1/3. Отже,  Далі, якщо випробуваних ключів було 2, т. Е. X = 2, це означає, що перший ключ не підійшов, а другий - підійшов. Така ймовірність події дорівнює 2/3 ? 1/2 = 1/3. Тобто,  Аналогічно обчислюється ймовірність  В результаті виходить наступний ряд розподілу:

x
P  1/3  1/3  1/3

завдання 2.Побудувати функцію розподілу Fx(X) для випадкової величини x з завдання 1.

Рішення. Випадкова величина x має три значення 1, 2, 3, які ділять всю числову вісь на чотири проміжку:  . Якщо x <1, то нерівність x ? x неможливо (лівіше x немає значень випадкової величини x) і означає, для такого x функція Fx(X) = 0.

Якщо 1 ? x <2, то нерівність x ? x можливо тільки якщо x = 1, а ймовірність такої події дорівнює 1/3, тому для таких x функція розподілу Fx(X) = 1/3.

Якщо 2 ? x <3, нерівність x ? x означає, що або x = 1, або x = 2, тому в цьому випадку ймовірність P (x x(X) = 2/3.

І, нарешті, в разі x?3 нерівність x ? x виконується для всіх значень випадкової величини x, тому P (x x(X) = 1.

Отже, ми отримали наступну функцію:

завдання 3. Спільний закон розподілу випадкових величин x і h заданий c допомогою таблиці

 x h
 -1  1/16  3/16
 1/16  3/16
 1/8  3/8

Обчислити приватні закони розподілу складових величин x і h. Визначити, залежні вони. обчислити ймовірність .

Рішення. Приватне розподіл для x виходить підсумовуванням ймовірностей в рядках:

;

;

.

Аналогічно виходить приватне розподіл для h:

;

.

Отримані ймовірності можна записати в ту ж таблицю навпроти відповідних значень випадкових величин:

 x h px
 -1  1/16  3/16  1/4
 1/16  3/16  1/4
 1/8  3/8  1/2
ph  1/4  3/4

Тепер відповімо на питання про незалежність випадкових величин x і h. З цією метою для кожної клітини спільного розподілу обчислимо твір  (Т. Е. Сум по відповідному рядку і стовпцю) і порівняємо його зі значенням ймовірності  в цій клітці. Наприклад, в клітці для значень x = -1 і h = 1 стоїть ймовірність 1/16, а добуток відповідних приватних ймовірностей 1/4 ? 1/4 одно 1/16, т. Е. Збігається зі спільною ймовірністю. Ця умова так само перевіряється в останніх п'яти клітинах, і воно виявляється вірним у всіх. Отже, випадкові величини x і h незалежні.

Зауважимо, що якби наша умова порушувалося хоча б в одній клітці, то величини слід було б визнати залежними.

Для обчислення ймовірності відзначимо клітини, для яких виконана умова  . Таких клітин всього три, і відповідні ймовірності в цих клітинах рівні 1/8, 3/16, 3/8. Їх сума дорівнює 11/16, це і є шукана ймовірність. Обчислення цієї ймовірності можна записати так:

завдання 4.Нехай випадкова величина ? має наступний закон розподілу:

x  -1
P  1/4  1/4  1/2

Обчислити математичне сподівання Mx, дисперсію Dx і середньоквадратичне відхилення s.

Рішення. За визначенням математичне очікування x одно

.

далі

,

а тому

.

середньоквадратичне відхилення .

завдання 5. Для пари випадкових величин з завдання 3 обчислити .

Рішення. скористаємося формулою  . А саме, в кожній клітині таблиці виконуємо множення відповідних значень и  , Результат множимо на ймовірність pij, І все це підсумовуємо по всіх клітках таблиці. В результаті отримуємо:

Завдання 6. Вихідні дані: Студенти деякої групи, що складається з 30 чоловік здали екзамен з курсу «Інформатика». Отримані студентами оцінки утворюють наступний ряд чисел:

Рішення:

I. Складемо варіаційний ряд

x mx wx mxнак wxнак
 0,2  0,2
 0,37  0,57
 0,3  0,87
 0,13
 Разом: - -

II. Графічне представлення статистичних відомостей.

III. Числові характеристики вибірки.

1. Середнє арифметичне

2. Середнє геометричне

3. Мода

4. Медіана

222222333333333 | 334444444445555

5. Вибіркова дисперсія

6. Вибіркове стандартне відхилення

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

Завдання 1. Дискретна випадкова величина Х задана законом розподілу:

х  -2
р  0,3  0,2 Р3  0,1

знайти р4, Функцію розподілу F (X) і побудувати її графік, а також M (X), D (X), ? (Х).

Завдання 2. Дискретна випадкова величина Х задана законом розподілу:

х  -1
р  0,3  0,1  0,2 Р4  0,3


знайти р4, Функцію розподілу F (X) і побудувати її графік, а також M (X), D (X), ? (Х).

Завдання 3. У коробці 9 фломастерів, з яких 2 фломастера вже не пишуть. Навмання беруть 3 фломастера. Випадкова величина Х число пишуть фломастерів серед узятих. Скласти закон розподілу випадкової величини.

Завдання 4. На стелажі бібліотеки в випадковому порядку розставлено 6 підручників, причому 4 з них в палітурці. Бібліотекар бере навмання 4 підручника. Випадкова величина Х-число підручників в палітурці серед узятих. Скласти закон розподілу випадкової величини.

Завдання 5.У квитку два завдання. Імовірність правильного вирішення першого завдання дорівнює 0,9, другий-0,7. Випадкова величина Х число правильно вирішених завдань в квитку. Скласти закон розподілу, обчислити математичне сподівання і дисперсію цієї випадкової величини, а також знайти функцію розподілу F (x) і побудувати її графік.

Завдання 6. Три стрільці стріляють по мішені. Ймовірність влучення в мішень при одному пострілі для першого стрільця дорівнює 0,5, для другого-0,8, для третього -0,7. Випадкова величина Х число влучень у мішень, якщо стрілки роблять по одному пострілу. Знайти закон розподілу, M (X), D (X).

Завдання 7. Баскетболіст кидає м'яч в кошик з ймовірністю попадання при кожному кидку 0,8. За кожне попадання він отримує 10 очок, а в разі промаху окуляри йому не нараховують. Скласти закон розподілу випадкової величини Х-числа очок, отриманих баскетболістом за 3 кидка. Знайти M (X), D (X), а також ймовірність того, що він отримає більше 10 очок.

завдання 8.На картках написані літери, всього 5 голосних і 3 приголосних. Навмання вибирають 3 картки, причому кожен раз взяту картку повертають назад. Випадкова величина Х-число голосних букв серед узятих. Скласти закон розподілу і знайти M (X), D (X), ? (Х).

Завдання 9. В середньому по 60% договорів страхова компанія виплачує страхові суми у зв'язку з настанням страхового випадку. Скласти закон розподілу випадкової величини Х числа договорів, за якими була виплачена страхова сума серед навмання відібраних чотирьох договорів. Знайти числові характеристики цієї величини.

Завдання 10. Радіостанція через певні проміжки часу посилає позивні сигнали (не більше чотирьох) до встановлення двостороннього зв'язку. Імовірність отримання відповіді на позивний сигнал дорівнює 0,3. Випадкова величина Х-число посланих позивних сигналів. Скласти закон розподілу і знайти F (x).

Завдання 11. Виробляються послідовні незалежні випробування трьох приладів на надійність. Кожен наступний прилад випробовується тільки в тому випадку, якщо попередній виявився надійним. Імовірність витримати випробування для кожного приладу дорівнює 0,9. Скласти закон розподілу випадкової величини Х-числа випробуваних приладів.

завдання 12 . дискретна випадкова величина Х має три можливі значення: х1= 1, х2, х3, Причому х123. Імовірність того, що Х прийме значення х1 і х2, Відповідно рівні 0,3 і 0,2. Відомо, що м (Х) = 2,2, D (X) = 0,76. Скласти закон розподілу випадкової величини.




Exercises (using probability of compound events) | Exercises (using conditional probability) | Exercises (using independent events) | Формула повної ймовірності, формула Байеса і формула Бернуллі | ЗАВДАННЯ З РІШЕННЯМИ | ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ | EXAMPLES | Solution | Solution | EXERCISES |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати