Головна

Інтеграли від зворотних тригонометричних функцій. Інтеграли від зворотних тригонометричних функцій, помножених на многочлен

  1. XII. МЕДИКО-ПСИХОЛОГІЧНА ДІАГНОСТИКА: ПОРУШЕННЯ ПСИХІЧНИХ ФУНКЦІЙ, станів, МОВНОЇ ДІЯЛЬНОСТІ І ОСОБИСТІСНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ
  2. Анатомо-морфологічна база вищих психічних функцій.
  3. Види функцій.
  4. Зростання і спадання функцій. екстремум
  5. Графіки функцій, що містять модуль.
  6. інтеграли від функцій, содержащіч квадратний тричлен

Загальне правило: за u завжди позначається зворотна тригонометрическая функція!

11.

Інтегрування найпростіших раціональних дробів

многочленом ступеня n називається вираз виду  , де  - Дійсні числа  . Наприклад, 5-7x - многочлен першого ступеня ,

 = 2x3 - 3x2 + 8x - 1 - многочлен третього ступеня.

Раціональної дробом називається відношення двох многочленів. наприклад,  - Раціональні дроби. Будь-яка раціональна дріб має вигляд:

де - Багаточлени ступеня m и n відповідно.

 , якщо

Найпростішими раціональними дробами є наступні чотири типи дробів:

I)  ; II)  III)  ; IV)

Очевидно, що інтеграли від найпростіших дробів першого і другого типів знаходяться легко:

,

де k - Ціле, .

Від дробів третього і четвертого типів обчислюють заміною , або за такими формулами:

Розкладання многочленів на множники

Для будь-яких многочленів має місце теорема Безу:

 , Де z0 - Простий корінь

 , Де z0 - Корінь кратності k.

Якщо z - корінь комплексний:  , Де i =

и  , то  , де  - Пов'язаний корінь.

Будь многочлен можна розкласти на лінійні і квадратичні множники

 - Дійсні корені;  - Комплексні корені

Правильну раціональну дріб можна розкласти на суму найпростіших дробів, Якщо знаменник дробу представлений у вигляді співмножників :

12. Розкласти на суму найпростіших дробів наступні дроби:

а) ;

б) .

Рішення:

а)

б)

13. Обчислити інтеграл:

Рішення:

Розкладемо подинтегральную дріб на найпростіші дроби

прирівнюючи числители дробів, отримуємо:

визначимо коефіцієнти А и В, Надаючи будь-яких значень змінної x:

Отримуємо А = 1 і В = 1. Вихідний інтеграл знайдемо як суму інтегралів від отриманих дробів.

Інтегрування тригонометричних функцій

 Розглянемо інтеграли виду . Такі інтеграли можуть бути зведені до интегралам від раціональних функцій заміною змінної  , де

Така заміна називається універсальної тригонометрическая підстановкою.

В цьому випадку,

тоді

.

14. знайти

Рішення:

покладемо  . Тоді, використовуючи вирази через t для dx і sinxВищезазначені отримуємо, що шуканий інтеграл дорівнює

При обчисленні інтегралів виду

розглянемо окремі випадки:

n - непарне

n, m - парні, .

застосовують формули тригонометрії:

При обчисленні інтегралів виду роблять заміну  , тоді

 якщо інтеграл має вигляд

,

де n, m - парні, застосовують формулу:

15.Обчислити інтеграли:

а)

б)

Рішення:

а)

б)

при обчисленні

використовують формули

Інтегрування ірраціональних виразів

При обчисленні інтегралів, що містять ірраціональні вирази застосовують заміну змінної.

якщо ,

то  , де

якщо

то  , де

 




Габдрахманова К. Ф. 16 сторінка | Вступ | ІСТОРІЯ ІНТЕГРАЛЬНОГО І ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ісчесленіі | Вчені, які внесли значний вклад в розвиток диференціального обчислення | Лемма про первісних | Властивості невизначеного інтеграла | методи інтегрування | приклади | приклади | Приклади. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати