На головну

Перетин двох багатогранників

  1. Взаємне перетинання багатогранників
  2. види багатогранників
  3. зображення багатогранників
  4. Операції над множинами (Об'єднання (сума), перетин, різниця, симетрична різниця, доповнення).
  5. Перетин зовнішніх кордонів
  6. Перетин двох площин загального положення

Для побудови лінії перетину багатогранних поверхонь визначають точки, в яких ребра однієї з поверхонь перетинають межі інший і ребра другий перетинають межі першої (завдання на перетин прямої лінії з площиною). Через знайдені точки в певній послідовності проводять ламану лінію.

У тому випадку, коли один з багатогранників займає приватна положення (тобто його бічні грані проектуються на одну з площин проекцій в багатокутник), завдання побудови лінії їх перетину вирішується досить просто. Проекція лінії перетину збігається з проекцією багатогранника на тій площині проекцій, де він - багатокутник. Завдання зводиться до побудови відсутніх проекцій ламаної лінії.

Приватне положення може займати тільки призма.

Приклад 7.1.Побудувати проекції лінії перетину піраміди і призми приватного положення (рис. 7.1).

1. Призма розташована так, що всі її бічні грані перпендикулярні П1. на П1 її бокова поверхня проектується в лінію, точніше в трикутник D1E1F1. І горизонтальною проекцією лінії перетину призми DEFD * E * F * і піраміди SABC є ламана лінія 11Е151.

2. Грані призми перетинають також межі SBC і SAB піраміди. Відзначимо точки зламу лінії перетину 11Е151, Розташовані на перетині її з ребрами піраміди. А саме точки 11, 21, 31, 41, 51, 61. Оскільки ребро ЇЇ * призми перетинає дві грані SAB і SAC піраміди, то 31 ?61.

 3. Горизонтальна проекція лінії перетину даних поверхонь - ламана лінія 112131415161. Будуємо фронтальні проекції цих точок. Т. к. Точки 1, 2, 4, 5 лежать на ребрах піраміди, то їх фронтальні проекції 12, 22, 42, 52 отримуємо по лініях зв'язку. Для знаходження фронтальних проекцій 32 і 62 точок 3 і 6, що лежать на гранях SAB і SAC відповідно, проводимо через точки 31 і 61утворюють S171 b S181. По лініях зв'язку знаходимо проекції точок 72 і 82 на ребрах підстави А2С2 і А2В2 піраміди. Відзначаємо на них точки 32 і 62. З'єднуємо точки, отримуємо замкнуту ламану 12223242526212. Послідовність з'єднання визначаємо по горизонтальній проекції за правилом приналежності сусідніх точок перетину однієї і тієї ж межі.

 Мал. 7.1
 4. Видимість точок і ліній на П1 визначаємо за належністю гранях піраміди. Оскільки грані S2A2C2 і S2В2С2 невидимі, то і лінії, що лежать на них, теж невидимі

Приклад 7.2.Побудувати проекції лінії перетину поверхонь загального положення: чотирикутної піраміди SABCD і трикутної призми TFGE * F * G * (рис. 7.2).

 Лінія перетину багатогранників проходить через точки перетину ребер першого багатогранника з гранями другого. Для вирішення застосуємо метод допоміжних площин як при побудові точок перетину прямої лінії з площиною.

1. Через ребра призми EE ', FF', GG 'проводимо допоміжні площини рівня Ф, Ф', Ф ''. Горизонтальні проекції ліній перетину цих площин з призмою збігаються з проекціями ребер призми.

 Мал. 7.2
 2. Горизонтальна проекція допоміжної площини Ф1 проходить по ребру G1G1'. Лінія перетину з пірамідою проходить через точку підстави 11 і паралельна ребру S1A1. По лініях зв'язку знаходимо фронтальну проекцію 12 і через неї проводимо пряму, паралельну А2S2, Яка є фронтальній проекції лінії перетину площини Ф і піраміди.

Там, де ця лінія перетинає ребро G2G2', Лежить фронтальна проекція 72 точки перетину ребра GG 'і межі SAD піраміди. По лініях зв'язку знаходимо горизонтальну проекцію точки - 71.

3. Застосовуючи допоміжну площину Ф ', аналогічно будуємо точку 52, А по ній знаходимо горизонтальну проекцію - 51.

4. Застосовуючи допоміжну площину Ф '', аналогічно будуємо точку 42, А по ній знаходимо горизонтальну проекцію точки - 41.

5. Горизонтальна проекція лінії перетину площини Ф '' 'і граней EGG'E' і FGG'F 'призми проходить уздовж А1С1, Через точки 91 і 101 на підставі призми. По лініях зв'язку знаходимо положення точок 92 і 102, Через які проводимо утворюють призми, паралельні її бічним ребрам. На перетині з ребрами S2A2 отримаємо точки 62 і 82. Потім по лініях зв'язку визначаємо горизонтальні проекції цих точок - 61 і 81.

6. Поєднавши однойменні проекції точок, отримуємо фронтальну 425262728242 і горизонтальну 415161718141 проекції замкнутої ламаної лінії перетину призми і піраміди.

7. Визначаємо видимість окремих ділянок лінії перетину і ребер багатогранників.

 Завдання 7.1. Побудувати проекції піраміди з наскрізним призматичним отвором.    Завдання 7.2. Побудувати проекції лінії перетину піраміди з призмою.    
 Завдання 7.3. Побудувати проекції лінії перетину піраміди з призмою.  Завдання 7.4. Побудувати проекції лінії перетину призми з пірамідою.



перетин площин | Заміна площин проекцій | плоскопараллельное переміщення | Обертання навколо проектують прямих | зображення багатогранників | Перетин багатогранників прямою лінією і площиною | розгортки багатогранників | Поверхні обертання. Належність точки поверхні | Перетин поверхні обертання прямою лінією | Перетин поверхні обертання площиною |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати