На головну

Послідовний розпад радіоактивних ядер. радіоактивне рівновагу

  1. V. Хімічна кінетика і хімічна рівновага
  2. Альфа-розпад
  3. Альфа-розпад
  4. Бета-розпад
  5. В умовах перебудови. Розпад СРСР
  6. Вегетативне рівновагу і реципрокная настройка
  7. Вплив температури на хімічну рівновагу. Рівняння ізобари хімічної реакції

Розпад вихідного або материнського ядра може відбуватися не тільки з утворенням стабільного ядра, але і ядра, яке є радіоактивним. У цьому випадку закон радіоактивного розпаду для всієї системи ядер буде виглядати по іншому.

Для системи з n генетично пов'язаних радіоактивних ядер значення  для кожного ядра в цьому завданні визначаються з системи рівнянь, що характеризують розпад і накопичення числа радіоактивних атомів нуклідів сімейства:

 , (3.24)

де  - Відповідає постійної розпаду  ядра.

Рішення системи рівнянь дає число радіоактивних атомів окремих нуклідів:

 (3.25)

Або якщо врахувати, що  , То отримаємо співвідношення для активностей дочірніх продуктів:

 (3.26)

Висновок рівнянь (3.25) і (3.26) в загальному вигляді досить складний, тому обмежимося лише висновком рівняння для найбільш важливого випадку: освіти дочірнього радіонукліда з материнського. Крім радіоактивних сімейств, де зазвичай для розрахунку активності досить використовувати представлені нижче рівняння, необхідно відзначити, що ці рівняння використовують і для розрахунку активності в так званих «ізотопних генераторах», коли період напіврозпаду материнського радіонукліда у багато разів більше періоду напіврозпаду дочірнього. Класичним прикладом ізотопного генератора є пара 90Sr (29,1 року) > 90Y (64,1 годину) >. Перевагою ізотопних генераторів є можливість багаторазово отримувати дочірній радіонуклід з активністю, що практично дорівнює активності материнського. Слід зазначити, що при цьому не відбувається ніякого порушення законів збереження. Закони збереження дійсні для маси, числа нуклонів, заряду і т.д., тоді як активність є похідною числа ядер певного виду за часом.

Диференціальне рівняння для розрахунку числа ядер дочірнього радіонукліда N2 має вигляд

, (3.27)

де індекс «1» ставиться до материнського радіонукліду.

Рівняння (3.27) відрізняється від диференціального рівняння закону радіоактивного розпаду (3.2) наявністю в правій частині другого члена, який показує безперервну освіту дочірнього радіонукліда з материнського. При відсутності другого члена інтегрування рівняння (3.27) призвело б до інтегрального рівняння закону радіоактивного розпаду (3.4).

Диференціальне рівняння (3.27) відноситься в математиці до класу диференціальних рівнянь з правою частиною. Для їх інтегрування застосовується заміна змінних:

; . (3.28)

Підставляючи (3.28) в (3.27) і групуючи аналогічні члени, отримаємо:

 . (3.29)

У рівнянні (3.29) перший член в лівій частині прирівнюють 0. Тоді

 . (3.30)

Підставляючи (3.30) в (3.29), отримаємо:

 . (3.31)

Інтегрування (3.31) приводить до

. (3.32)

або

 . (3.33)

постійну інтегрування C визначаємо з умови: при t = 0 N2 = N20:

 , (3.34)

 . (3.35)

Підставивши (3.35) в (3.33), отримаємо:

 . (3.36)

Рівняння (3.36) можна записати і через активності, помноживши ліву і праву частину на ?2:

 . (3.37)

Рівняння (3.36) і (3.37) можна спростити для деяких конкретних умов. Для початку можна знехтувати початковій активністю дочірнього радіонукліда і винести exp (-?1t) з-під дужки, тоді

 . (3.38)

1. Вікова рівновага. Покладемо, що період напіврозпаду материнського радіонукліда (Т1/2)1 багато більше, ніж у дочірнього (Т1/2)2. Це еквівалентно нерівності ?2 >> ?1.Тоді рівняння (3.38) набуде вигляду

 . (3.39)

Рівняння (3.39) показує, що зі збільшенням часу активність дочірнього радіонукліда наближається до активності материнського і в межі стає рівним їй. тоді при t > ?

. (3.40)

Рівняння (3.40) виражає вікова рівновага.

Щоб визначити швидкість досягнення вікового рівноваги, треба врахувати (3.11), і тоді рівняння (3.39) набуде вигляду

 , (3.39а)

де  - Число періодів напіврозпаду дочірнього радіонукліда.

Рівняння (3.39а) показує, що швидкість встановлення вікового рівноваги залежить тільки від періоду напіврозпаду дочірнього радіонукліда. Через один період напіврозпаду накопичується половина максимальної кількості дочірнього радіонукліда, через два - три чверті, через три - сім восьмих і т.д. Через 10 періодів напіврозпаду дочірнього радіонукліда його активність менше максимальної на 1/1024, і цей час зазвичай умовно приймається як час настання вікового рівноваги. Надалі активності, як першого, так і другого радіонуклідів, а також і наступних будуть змінюватися в часі однаково. Тобто, встановлюється вікова рівновага, при якому число ядер ізотопів в ланцюжку послідовних розпадів пов'язано з постійними розпаду (періодами напіврозпаду) співвідношенням:

 . (3.41)

радіоактивним рівновагою називають стан системи, що містить материнський і пов'язані з ними дочірні нукліди, при якому співвідношення кількостей материнського і дочірніх нуклідів не змінюється з часом. До стану радіоактивного рівноваги призводить конкуренція процесів розпаду і накопичення дочірніх нуклідів в тих випадках, коли (Т1/2)1 >> (Т1/2)2 и t >> (Т1/2)2.

Можна узагальнити цей результат для більшого числа послідовних розпадів за умови (Т1/2)1 >> (Т1/2)i:

 . (3.41а)

Тому в природному стані всі ізотопи, генетично пов'язані в радіоактивних рядах, зазвичай знаходяться в певних кількісних співвідношеннях, які залежать від їх періодів напіврозпаду.

2. Динамічна рівновага. якщо и  розрізняються не більше ніж в 5-10 разів, то в цьому випадку говорять про рухомому рівновазі, і тоді з рівняння (3.38) можна знайти співвідношення між кількостями ядер материнського і дочірнього нукліда

 . (3.42)

Переходячи від кількостей генетично пов'язаних радіонуклідів до їх активностей, отримаємо:

 . (3.43)

З рівняння видно, що при рухомому рівновазі активність дочірнього нукліда більше активності материнського в .

Характерні криві для вікового і рухомого рівноваг представлені на рис. 3.1 і 3.2.

Мал. 3.1. Динамічна рівновага при (Т1/2)1 = 8 год; (Т1/2)2 = 0,8 год.

a - повна активність препарату, що містить спочатку очищений материнський і накопичується дочірній ізотоп; б - пряма, що характеризує розпад материнського ізотопу; в - крива зміни активності дочірнього ізотопу; г - пряма, що характеризує розпад чистого дочірнього ізотопу.

3. Відсутність рівноваги. Якщо співвідношення періодів напіврозпаду материнського і дочірнього радіонуклідів такий, що (Т1/2)1 <(Т1/2)2, то це означає, що материнський радіонуклід розпадається швидше дочірнього і рівновага не досягається.

Мал. 3.2. Вікова рівновага при (Т1/2)1 = ?, (Т1/2)2 = 8 год.

(Позначення ті ж, що і на попередньому малюнку)

 




Глава 1. Історія розвитку вчення про радіоактивність | елементарні частинки | Властивості атомних ядер | Маса ядра і енергія зв'язку | ГЛАВА 3. Радіоактивний розпад | Основний закон радіоактивного розпаду | Статистичний характер радіоактивного розпаду | Визначення віку мінералів | Альфа-розпад | Особливості бета-розпаду |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати