загрузка...
загрузка...
На головну

Основні закони розподілу, що використовуються в теорії надійності

  1. B. Основні ефекти
  2. I- Політичні теорії
  3. I. Основні завдання
  4. I. Основні завдання ЗОВНІШНЬОЇ ПОЛІТИКИ
  5. I. Основні лінії зв'язку педагогіки з соціологією. Мікро- та макроанализ 1 сторінка
  6. I. Основні лінії зв'язку педагогіки з соціологією. Мікро- та макроанализ 2 сторінка
  7. I. Основні лінії зв'язку педагогіки з соціологією. Мікро- та макроанализ 3 сторінка

3.1.1 Експоненціальне закон розподілу

Експонентний закон розподілу званий також основним законом надійності, часто використовують для прогнозування надійності в період нормальної експлуатації виробів, коли поступові відмови ще не проявилися і надійність характеризується раптовими відмовами. Ці відмови викликаються несприятливим збігом багатьох обставин і тому мають постійну інтенсивність. Експоненціальне розподіл знаходить досить широке застосування в теорії масового обслуговування, описує розподіл наробітку на відмову складних виробів, час безвідмовної роботи елементів радіоелектронної апаратури.

Наведемо приклади несприятливого поєднання умов роботи деталей машин, що викликають їх раптову відмову. Для зубчастої передачі це може бути дією максимального навантаження на найбільш слабкий зуб при його зачепленні; для елементів радіоелектронної апаратури - перевищення допустимого струму або температурного режиму.

Коли за випадкову величину приймається час роботи об'єкта t, Ймовірність того, що виріб протягом часу t буде перебувати в працездатному стані, дорівнює

 , (31)

де  - Інтенсивність відмов об'єкта для експоненціального розподілу, ;

 - Час роботи об'єкта.

значення функції  представлені в додатку А таблиця А.1.

Імовірність відмови за час  визначається за формулою

 , (32)

де  - Ймовірність безвідмовної роботи виріб протягом часу t.

Щільність ймовірності відмов знаходимо за формулою

 . (33)

Графік експоненціального розподілу основних характеристик надійності представлений на малюнку 13.

Середнє напрацювання до відмови визначається за формулою

 . (34)

Дисперсія часу роботи до виникнення відмови:

 . (35)

Середньоквадратичне час роботи:

 . (36)

Час виникнення первинних відмов може бути розташоване на осі часу так, що сумарний потік відмов складного вироби стає близьким до найпростішого, т. Е. З постійною інтенсивністю відмов.

 
 Цими обставинами, а також тим, що припущення про експоненційному розподілі істотно спрощує розрахунки надійності, пояснюється широке застосування експоненціального закону в інженерній практиці.

Малюнок 13 - Експоненціальне розподіл основних кількісних характеристик надійності

3.1.2 Гамма-розподіл

Гамма-розподіл є двопараметричного розподілом. Воно займає важливе місце в теорії надійності. Щільність розподілу має обмеження з одного боку (0 ? х < ??). якщо параметр  форми кривої розподілу приймає ціле значення, то це свідчить про ймовірність появи такого ж числа подій (наприклад, відмов) за умови, що вони незалежні і з'являються з постійною інтенсивністю ?. Гамма-розподіл широко застосовують при описі появи відмов старіючих елементів, часу відновлення, напрацювання на відмову резервованих систем. При різних параметрах гамма-розподіл приймає різноманітні форми, що і пояснює його широке застосування.

Щільність ймовірності відмови пристрою за час t:

 . (37)

де ?0 - Вихідна інтенсивність відмов елементів пристрою, відмова якого викликається відмовою k елементів;

 - Параметр форми кривої розподілу.

Середнє напрацювання до відмови визначається за формулою

 . (38)

Інтенсивність відмови пристрою визначається за формулою

 . (39)

Імовірність безвідмовний роботи пристрою:

 . (40)

Гамма-розподіл основних кількісних характеристик надійності представлений на малюнку 14. При  = 1 ?-розподіл збігається з експоненціальним розподілом.

при збільшенні  ?-розподіл буде наближатися до симетричного розподілу, а інтенсивність відмов буде мати все більше виражений характер зростаючої функції часу.

Математичне сподівання і дисперсія соответвенно рівні

 , (41)

 . (42)

Малюнок 14 - Гамма-розподіл основних кількісних характеристик надійності

3.1.3 Розподіл Вейбулла

Закон Вейбуллапредставляет собою двопараметричного розподіл. Цей закон є універсальним, так як при відповідних значеннях параметрів перетворюється в нормальне, експоненціальне і інші види розподілів. Автор даного закону використовував його при описі експериментально спостерігалися разбросов втомної міцності стали, меж її пружності. Закон Вейбулла задовільно описує напрацювання до відмови підшипників, елементів радіоелектронної апаратури, його використовують для оцінки надійності деталей і вузлів машин, зокрема автомобілів, а також для оцінки надійності машин у процесі їх підробітки. Щільність розподілу відмов описується залежністю

 , (43)

де  - Параметр форми кривої розподілу;

 - Параметр масштабу;

 - Час роботи пристрою.

Імовірність безвідмовної роботи за час t визначається за формулою

 . (44)

Інтенсивність відмов визначається за формулою

 . (45)

параметр  визначає масштаб, при його зміні крива розподілу стискається або розтягується. при  = 1 функція розподілу Вейбулла збігається з експоненціальним розподілом; при  <1 інтенсивність відмов буде монотонно спадною функцією; при  > 1 - монотонно зростаючій. Ця обставина дає можливість підбирати для досвідчених даних найбільш підходящі параметри и  , З тим щоб рівняння функції розподілу найкращим чином збігалося з досвідченими даними.

Розподіл Вейбулла основних кількісних характеристик надійності представлені на малюнку 15.

Цей закон застосуємо для відмов пристрою, що складається з послідовно з'єднаних дубльованих елементів і інших подібних випадків.

Середнє напрацювання до відмови визначається з наступного виразу

 , (46)

де  - Значення гамма-функції, представлені в додаток Б таблиця Б.1.

Математичне сподівання випадкової величини  одно

 . (47)

Дисперсія випадкової величини дорівнює

 . (48)

Малюнок 15 - Розподіл Вейбулла основних кількісних характеристик надійності

3.1.4 Нормальний розподіл

Нормальний закон розподілу часто називають законом Гаусса. Цей закон відіграє важливу роль і найбільш часто використовується на практиці в порівнянні з іншими законами розподілу.

Основна особливість цього закону полягає в тому, що він є граничним законом, до якого наближаються інші закони розподілу. У теорії надійності його використовують для опису поступових відмов, коли розподіл часу безвідмовної роботи на початку має низьку щільність, потім максимальну і далі щільність знижується.

Розподіл завжди підпорядковується нормальному закону, якщо на зміну випадкової величини впливають багато, приблизно рівнозначні чинники.

Нормальний розподіл основних кількісних характеристик надійності представлені на малюнку 16.

Щільність розподілу відмов описується формулою

 , (49)

де  - Середнє напрацювання до відмови;

 - Середньоквадратичне відхилення часу безвідмовної роботи.

Імовірність відмови за час  можна описати за формулою

 . (50)

Значення функції розподілу визначається формулою

 (51)

де ,

 - Ймовірність відмови.

Імовірність безвідмовної роботи за час t:

 . (52)

значення  табульовані і представлені в додатку В таблиця В.1.

параметр  являє собою математичне сподівання випадкової величини  оцінюваної за формулою

 . (53)

Середнє квадратичне відхилення випадкової величини  оцінюється за формулою

 (54)

Малюнок 16 - Нормальний розподіл основних кількісних характеристик надійності

3.1.5 Розподіл Рейлі

Розподіл Рейлі основних кількісних характеристик надійності представлені на малюнку 17.

Розподіл Рейлі - неперервний розподіл ймовірностей з щільністю описуваної формулою

 (55)

 (56)

де  - Масштабний параметр, .

Також як розподіл Вейбулла або ?-розподіл, розподіл Релея придатне для опису поведінки зношуються або старіючих виробів.

Частота відмов (функція щільності розподілу ймовірності відмов) визначається

 . (57)

Імовірність безвідмовної роботи обчислюється з виразу:

 , (58)

Інтенсивність відмов визначається як

 (59)

Середнє напрацювання до відмови складе

 . (60)

Малюнок 17 - Розподіл Рейлі основних кількісних характеристик надійності

 




Вступ | Об'єкт, елемент, система | Абстрактне опис процесу функціонування об'єктів | Стан об'єкта і перехід об'єкта в різні стани | Класифікація відмов об'єкта | визначення надійності | Критерії надійності невідновлювальних об'єктів | Критерії надійності відновлюваних об'єктів | Комплексні показники надійності об'єктів | Класифікація факторів, що впливають на надійність |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати