На головну

Рівняння Лагранжа і Клеро

  1. IV. Теплові ефекти хімічних реакцій. Термохимические рівняння і розрахунки
  2. VIII. Іонні рівняння реакцій
  3. Аналіз загального рівняння площини і побудова площин
  4. Аналіз рівняння теплового балансу
  5. Аналіз стійкості системи по розташуванню коренів характеристичного рівняння на комплексній площині
  6. атеросклероз
  7. атеросклероз

Рівняння Лагранжа. рівнянням Лагранжа називається рівняння виду

 , (6.4.16)

тобто лінійне щодо x і y з коефіцієнтами, залежними від y|, Причому коефіцієнт при x НЕ дорівнює y|.

Для інтегрування рівняння Лагранжа скористаємося параметричним методом. вважаючи y|= P, перепишемо рівняння (6.4.16) у вигляді

 . (6.4.17)

Диференціюючи по x, маємо

,

звідки після заміни y| на p, множення на  і відповідних алгебраїчних перетворень [зокрема, поділу обох частин рівняння на  ] отримаємо

 . (6.4.18)

Це рівняння є лінійним відносно функції x і похідною  . Його спільне рішення має вигляд

x = F (p, C). (6.4.19)

Підставляючи знайдене для x вираз в співвідношення (6.4.16), отримаємо

 . (6.4.20)

Співвідношення (6.4.19) і (6.4.20) дають спільне рішення рівняння Лагранжа в параметричної формі:

Зауважимо, що якщо рівняння  = 0 має дійсні корені, то підставляючи ці коріння в рівняння (6.4.17), ми також отримаємо рішення рівняння Лагранжа, які можуть виявитися як ч а з т н и м і, так і про з про б и м і. (Рішення, в кожній точці якого порушується єдиність рішення задачі Коші, називається особливим рішенням.)

Рівняння Клеро. рівнянням Клеро називається рівняння виду

 , (6.4.21)

тобто окремий випадок рівняння Лагранжа, коли .

покладемо y|= P, тоді

 . (6.4.22)

Диференціюючи по x, маємо

Останнє рівняння розпадається на два:

 (6.4.23)

з рівняння  випливає, що p = C. Підставляючи цей вираз в рівність (6.4.21), отримаємо спільне рішення рівняння Клеро:

 (6.4.24)

Формально загальне рішення виходить з рівняння (6.4.21) заміною y| на C.

Рівняння Клеро має особливе рішення, що виходить в результаті виключення параметра C з системи рівнянь

 (6.4.25)




статечні ряди | Область збіжності степеневого ряду | Знаходження інтервалу і радіуса збіжності ряду | Умови розкладання функції в ряд Тейлора | Розкладання В ряд Маклорена ДЕЯКИХ ЕЛЕМЕНТАРНИХ ФУНКЦІЙ | Комплексні числа | Використовуючи правило піднесення до степеня, отримаємо | ДИФЕРЕНЦІЙНЕ РІВНЯННЯ | однорідні рівняння | лінійні рівняння |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати