На головну

Розкладання В ряд Маклорена ДЕЯКИХ ЕЛЕМЕНТАРНИХ ФУНКЦІЙ

  1. Список похідних найпростіших елементарних функцій
  2. III. Простір елементарних подій.
  3. XII. МЕДИКО-ПСИХОЛОГІЧНА ДІАГНОСТИКА: ПОРУШЕННЯ ПСИХІЧНИХ ФУНКЦІЙ, станів, МОВНОЇ ДІЯЛЬНОСТІ І ОСОБИСТІСНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ
  4. Аналіз деяких популярних ОС з точки зору їх захищеності
  5. Анатомо-морфологічна база вищих психічних функцій
  6. Анатомо-морфологічна база вищих психічних функцій.
  7. У деяких творах А. і. Купріна виявляються тенденції натуралізму.

I Розкладання функції

Ця функція має похідних всіх порядків при будь-якому х:  (N = 1,2,3, ...)

Перевіримо виконання умов теореми 2:

якщо взяти будь-який проміжок  , То в ньому вірна оцінка

(Т. Е. Для всіх значень х модулі всіх похідних обмежені одним і тим же числом ).

Тому за теоремою 2 функція  розкладається в збіжний до неї ряд Маклорена в будь-якому проміжку  , Т. Е. Інакше кажучи, при всіх х (всюди).

Знайдемо коефіцієнти ряду:

таким чином, при будь-яких х вірно розкладання:

Приклад 6.2.31. Розкласти в ряд Маклорена функцію  ; певними інтервалами збіжності

Рішення ,

II Розкладання функції

Вона має похідні всіх порядків:

Очевидно, умови теореми 2 виконуються: при всіх х і n похідна функції  по модулю не перевищує одиниці.

отже,  розкладається в ряд Маклорена і розкладання справедливо при всіх х.

Знайдемо коефіцієнти ряду:

 Таким чином, при будь-яких х вірно розкладання:

(*) ,

У ряді присутні тільки непарні ступеня х; це природно, т. к.  - Непарна функція.

Можна вважати рівність (*) визначенням функції  , Т. К. Радіус збіжності ряду дорівнює нескінченності, і, отже, сума ряду визначена і неперервна на всій числовій осі. Цю суму і можна за визначенням вважати функцією  таке визначення  не пов'язане з геометричним побудовою, З якими ця функція так тісно пов'язана в шкільному курсі математики.

III Розкладання функції

Розкладання в ряд цієї функції можна отримати так само, як і для

Але можна отримати його шляхом диференціювання розкладання для :

,

Приклад 6.2.32. розкласти функцію  в ряд за ступенями х.

Рішення:

IV Розкладання функції

Ми повинні отримати розкладання логарифмічною функції (в ряд Маклорена) за ступенями х. Треба, щоб сама функція і всі її похідні мали сенс при х = 0.

якщо взяти , ,  і т.д.

Як бачимо, f (0) і f(n)(0) при всякому n позбавлені сенсу. Тому розглядаємо функцію  Ця функція і всі її похідні визначені при х = 0.

Отже, ;

Розкладемо цю функцію в ряд, використовуючи можливість почленного інтегрування статечних рядів.

знайдемо  ; похідна може бути розкладена в ряд Маклорена, т. к. дріб  може розглядатися як сума геометричної прогресії (зменшенням) при  (Знаменник прогресії q = -x):

де  (Радіус збіжності ряду)

проинтегрируем цей статечної ряд почленно в проміжку  , де  (Інтервал інтегрування не виходить за межі інтервалу збіжності ряду):

,

Чи зберігається ця рівність при х = ± 1?

При х = ± 1 втрачає сенс функція  , Тому рівність при х = -1 позбавлене сенсу.

При х = 1 зберігає зміст функція  , Вона звертається до числа  ряд  сходиться (за ознакою Лейбніца).

Залишається перевірити, чи має місце рівність:

(*)

З розглянутих вище міркувань справедливість рівності (*) поки ще не випливає, т. К. Довели тільки, що розкладання функції  вірно при  .! Для перевірки рівності (*) проведемо оцінку залишкового члена при х = 1:

Закон освіти похідних знайти легко:

Остаточний член (в формі Лагранжа):

 знайдемо  при х = 1:

Т. к.  , То при  прямує до нуля:  при  . А це означає (теорема 1), що ряд (*) сходиться і має своєю сумою число  , Т. Е. Рівність (*) вірно.

Отже, ,

V Розкладання функції

 ; цей дріб при  можна розглядати як суму спадної геометричної прогресії зі знаменником :

Інтегруючи в межах від 0 до х, де  , Отримуємо:  ; звідки маємо:

,  (Що буде показано нижче)

Перевіримо, не зберігається це рівність і при х = ± 1.

При х = -1 - самостійно!

При х = 1: ряд набуває вигляду:

який сходиться (по теоремі Лейбніца).

! Залишається перевірити, чи має місце рівність:

(*)

Для цього поступимо таким чином:

 т. е. призупиняється на (n + 1) члені !!!

Інтегруємо це рівність (кінцеве число доданків) в проміжку від 0 до 1:

т. к.  при  , То, отже права частина  при  (В силу рівності (* *)):  при  ; це і означає, що сума ряду (*)  , Т. Е. Рівність вірно.

 




I. Ознаки порівняння рядів | IV. Інтегральний ознака Коші | Знакозмінні ряди | Достатній ознака збіжності знакозмінних рядів | Поняття функціонального ряду і його області збіжності | Мажоріруемость функціонального ряду | Рівномірна збіжність функціонального ряду | статечні ряди | Область збіжності степеневого ряду | Знаходження інтервалу і радіуса збіжності ряду |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати