Головна

Умови розкладання функції в ряд Тейлора

  1. F52.3 Организмическая дисфункції
  2. I. За яких умов ця психологічна інформація може стати психодиагностической?
  3. I. Психологічні умови ефективності бойової підготовки.
  4. II. Призначення лікарських препаратів при наданні медичної допомоги в стаціонарних умовах
  5. II. Розмір, умови і строки внесення плати за користування водним об'єктом
  6. IV. Військовий обов'язок громадян в умовах мобілізації
  7. IX. Зворотні тригонометричні функції

Вид коефіцієнтів ряду Тейлора вказує на те, що ставити задачу про розкладання  в ряд Тейлора можна лише по відношенню до нескінченно диференційованою в точці х0 функції; але це є тільки необхідна умова розкладання  в ряд Тейлора: далеко не всяка нескінченно диференційована функція може бути представлена ??своїм поруч Тейлора.

Може виявитися, що складений за  ряд Тейлора: 1) хоча і сходиться в деякому інтервалі. Але його сума не збігається з  , Крім як в т. Х = х0; або 2) він навіть взагалі може виявитися розходяться для х?х0.

Іншими словами, залишається поки відкритим питання: 1) сходиться мул ряд де-небудь, крім точки х = х0 ?; 2) виникає також і друге питання: якщо ряд сходиться в деякому інтервалі, то яка функція є сумою цього ряду?

та функція  , За допомогою якої обчислювалися коефіцієнти ряду, або будь-яка інша функція? (Див. Увар., Стор. 77; Бермант, стор. 591). нехай функція нескінченно диференційована в деякій околиці точки х0.

Знайдемо значення функції і її похідних в т. Х0 в складемо для  ряд Тейлора.

З'ясуємо, за яких умов можна стверджувати, що складений ряд сходиться до

Т. к. поведінку ряду (Збіжність або розбіжність) залежить від коефіцієнтів ряду, а коефіцієнти визначаються функцією  , То, очевидно, питання про збіжність ряду Тейлора треба вивчати за допомогою властивостей самої функції  Т. к. Функція  має в околиці т. х0 похідні будь-яких порядків, То для всіх значень х з цього інтервалу і для будь-якого n має місце формула Тейлора (виводиться в диференціальному обчисленні).

 (6.2.10)

де  - Залишковий член цієї формули.

За допомогою цієї формули можна дати відповідь на поставлене вище питання.

Теорема 6.2.18. (необхідна і достатня умова). Для того, щоб ряд Тейлора функції сходився до неї, Необхідно і достатньо, щоб залишковий член формули Тейлора для  наближався до нуля при

Теорема 6.2.19. (достатній ознака). Якщо в деякому інтервалі, що містить т. Х0, модулі всехпроізводних функції  обмежені одним і тим же числом:  , То функція в цьому інтервалі розкладається в ряд Тейлора.

 




НЕОБХІДНИЙ ОЗНАКА ЗБІЖНОСТІ РЯДУ | I. Ознаки порівняння рядів | IV. Інтегральний ознака Коші | Знакозмінні ряди | Достатній ознака збіжності знакозмінних рядів | Поняття функціонального ряду і його області збіжності | Мажоріруемость функціонального ряду | Рівномірна збіжність функціонального ряду | статечні ряди | Область збіжності степеневого ряду |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати