Головна

IV. Інтегральний ознака Коші

  1. C) дається приклад країни, успішно поєднати у своїй правовій системі ознаки романо-германський системи права із загальним правом.
  2. I. Ознаки порівняння рядів
  3. А. Загальні ознаки.
  4. антропометричні ознаки
  5. Б. Специфічні ознаки.
  6. Бінокулярні ознаки віддаленості і глибини

Ознаки Даламбера і Коші не завжди є ефективними при дослідженні характеру даного ряду.

Розглянемо ще одну ознаку, який дозволяє іноді вирішувати питання про збіжність ряду з позитивними членами в тих випадках, коли розглянуті вище ознаки виявляються непріоднимі.

Ця ознака заснований на порівнянні даного ряду з деяким невласних інтегралом I роду від функції  , Значення якої при послідовних цілих значеннях аргументу дають всі члени цього ряду.

Теорема 6.2.10 .. Дан позитивний ряд  (6.2.1); якщо існує не зростаюча безперервна ф-ія  , де  , Така, що  , то

1) ряд (6.2.1) сходиться, якщо сходиться невласний інтеграл  ; і

2) розходиться, якщо цей інтеграл розходиться.

Приклад 6.2.16.

Припустимо  - Безперервна, при  функція, спадає зі збільшенням х.

Невласний інтеграл сходиться, отже, даний ряд сходиться.

Приклад 6.2.17. Дослідити на збіжність ряд  , Де a - будь-яке дійсне число, т. Е.

1) безпосередньо видно, що при  член ряду  прямує до нуля при необмеженому зростанні n, т. е. не виконується навіть необхідний ознака збіжності ряду, і, отже, ряд розходиться.

2) нехай тепер

Як легко перевірити, ознака Даламбера і Коші питання про збіжність цього ряду не вирішують. За допомогою ж інтегрального показника питання про збіжність цього ряду вирішується легко.

 - Ця функція задовольняє всім умовам теореми, розглянутої вище.

(  - Безупинна, позитивна і убуває при )

Питання про збіжність ряду еквівалентний питання про збіжність невласного інтеграла

 (*).

при будь  існує інтеграл (*)?

обчислимо

а) нехай

тоді  при  і інтеграл

ряд розходиться.

б) нехай

 - Ряд розходиться

в) нехай

тоді  при  Отже ряд сходиться, т. К.

Висновок. ряди виду  1) сходяться при  і 2) розходяться при  , де

Зауваження 6.2.3. при  ряд звертається в гармонійний:

Вище ми розглянули теореми порівняння, засновані на порівнянні один з одним двох рядів.

Які ж ряди використовуються для порівняння?

При безпосередньому застосуванні теореми порівняння в основному користуються рядами:

1) геометричним рядом  (Що сходяться при );

2) рядами  (Що сходяться при )

Приклад 6.2.18.

Оцінимо загальний член ряду:  , Але ряд із загальним членом =  сходиться (a = 3).

Тому за теоремою 1 ознак порівняння даний ряд також сходиться.

Приклад 6.2.19.

, ,

ряди сходяться або розходяться одночасно, т. к.  . Але ряд з  - Сходиться. Тому даний ряд також сходиться.

 




безперервність | II семестр | Розділ 10. Звичайні диференціальні рівняння | I семестр | САМОСТІЙНА РОБОТА СТУДЕНТІВ (СРС) | векторний аналіз | ЧИСЛОВІ РЯДИ | ПРОСТЕЙШИЕ властивості збіжних рядів | ЗАЛИШОК РЯДУ | НЕОБХІДНИЙ ОЗНАКА ЗБІЖНОСТІ РЯДУ |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати